线性代数/主题：投入产出分析

经济是一个极其复杂的相互依存网络。一个部分的变化会波及到其他部分。经济学家一直在努力描述并预测如此复杂的物体。使用线性方程组的数学模型已成为一项关键工具。其中之一是投入产出分析，由 W. Leontief 开创，他获得了 1973 年诺贝尔经济学奖。

考虑一个由许多部分组成的经济体，其中两个是钢铁行业和汽车行业。在满足来自经济体其他部分（即钢铁和汽车部门以外的用户）对其产品的需求的过程中，这两个部门之间紧密互动。例如，如果对汽车的外部需求增加，会导致汽车行业对钢铁的使用量增加。或者，如果对钢铁的外部需求下降，则会导致钢铁对汽车的购买量下降。我们将考虑的投入产出模型类型将吸收外部需求，然后预测这两个部门如何互动以满足这些需求。

我们从生产和消费统计列表开始。（这些数字以百万美元表示，摘自 (Leontief 1965)，描述了 1958 年的美国经济。由于通货膨胀和行业技术变化，今天的统计数据会有很大不同。）

	由......使用     钢铁	由......使用     汽车	由......使用     其他	总数
价值     钢铁	5 395	2 664		25 448
价值     汽车	48	9 030		30 346

例如，当年汽车行业使用的钢铁的价值为 $2,664$ 百万美元。请注意，行业可能会消耗部分自身的产出。

我们可以填补外部需求的空白。当年其他行业使用的钢铁的价值为 $17,389$，当年其他行业使用的汽车的价值为 $21,268$。有了这些，我们就完整地描述了外部需求以及汽车和钢铁在当年如何互动以满足这些需求。

现在，假设对钢铁的外部需求最近一直在以 $200$ 的速度增长，因此我们估计明年将达到 $17,589$。假设由于类似的原因，我们估计明年的汽车外部需求将下降 $25$，降至 $21,243$。我们希望预测明年的总产出。

该预测并不像将 $200$ 添加到今年的钢铁总产量中，然后从今年的汽车总产量中减去 $25$ 那样简单。一方面，钢铁的增长会导致该行业对汽车的需求增加，这将在一定程度上减轻对汽车的外部需求损失。另一方面，对汽车的外部需求下降会导致汽车行业使用更少的钢铁，从而在一定程度上减少钢铁业务的上升趋势。简而言之，这两个行业形成了一个系统，我们需要预测整个系统将趋于稳定的总量。

对于该预测，令 $s$ 代表明年的钢铁总产量，令 $a$ 代表明年的汽车总产量。我们形成这些方程。

${\begin{array}{rl}{\text{next year}}{\textrm {'}}{\text{s production of steel}}&={\text{next year}}{\textrm {'}}{\text{s use of steel by steel}}\\&\quad +{\text{next year}}{\textrm {'}}{\text{s use of steel by auto}}\\&\quad +{\text{next year}}{\textrm {'}}{\text{s use of steel by others}}\\{\text{next year}}{\textrm {'}}{\text{s production of autos}}&={\text{next year}}{\textrm {'}}{\text{s use of autos by steel}}\\&\quad +{\text{next year}}{\textrm {'}}{\text{s use of autos by auto}}\\&\quad +{\text{next year}}{\textrm {'}}{\text{s use of autos by others}}\end{array}}$

在这些方程的左侧是未知数$s$ 和 $a$。在右侧的末尾是我们的下一年的外部需求估计$17,589$ 和 $21,243$。对于其余四项，我们查看今年关于行业如何互动的信息表。

例如，对于下一年的钢铁行业对钢铁的需求，我们注意到今年钢铁行业使用了$5395$ 个单位的钢铁投入来生产$25,448$ 个单位的钢铁产出。所以明年，当钢铁行业将生产$s$ 个单位的产出时，我们预计这样做将需要$s\cdot (5395)/(25\,448)$ 个单位的钢铁投入——这仅仅是假设投入与产出成正比。（我们假设投入产出比在一段时间内保持不变；实际上，模型可能会尝试考虑投入产出比变化趋势。）

下一年汽车行业对钢铁的需求类似。今年，汽车行业使用了$2664$ 个单位的钢铁投入来生产$30346$ 个单位的汽车产出。所以明年，当汽车行业的总产出为$a$ 时，我们预计它将消耗$a\cdot (2664)/(30346)$ 个单位的钢铁。

以相同的方式填充另一个方程，我们得到了这个线性方程组。

${\begin{array}{*{3}{rc}r}{\displaystyle {\frac {5\,395}{25\,448}}}\cdot s&+&{\displaystyle {\frac {2\,664}{30\,346}}}\cdot a&+&17\,589&=&s\\[1em]{\displaystyle {\frac {48}{25\,448}}}\cdot s&+&{\displaystyle {\frac {9\,030}{30\,346}}}\cdot a&+&21\,243&=&a\end{array}}$

对该系统使用高斯消元法。

${\begin{array}{*{2}{rc}r}(20\,053/25\,448)s&-&(2\,664/30\,346)a&=&17\,589\\-(48/25\,448)s&+&(21\,316/30\,346)a&=&21\,243\end{array}}$

得出$s=25\,698$ 和 $a=30\,311$。

回顾一下，我们之前解释了为什么预测明年的总量并不像简单地将$200$加到去年的钢铁总量上，再从去年的汽车总量中减去$25$那样简单。事实上，将明年的这些总量与今年年初给出的总量进行比较表明，尽管外部需求下降，但汽车行业的总产量预计会上升。钢铁行业业务大幅增长带来的对汽车的内部需求增长，抵消了汽车外部需求的损失。

拥有数学模型的优势之一是我们能够提出“如果……会怎样？”的问题。例如，我们可以问“如果明年外部需求的估计值稍微偏离了呢？”为了了解模型的预测结果在我们的估计值发生变化时会如何改变，我们可以尝试将明年外部钢铁需求的估计值从$17,589$下调到$17,489$，同时保持明年汽车外部需求的假设不变，即为$21,243$。由此产生的系统为

${\begin{array}{*{2}{rc}r}(20\,053/25\,448)s&-&(2\,664/30\,346)a&=&17\,489\\-(48/25\,448)s&+&(21\,316/30\,346)a&=&21\,243\end{array}}$

当求解时，得到 $s=25\,571$ 以及 $a=30\,311$。这种对模型的探索称为 **敏感性分析**。我们正在查看模型预测对假设准确性的敏感程度。

显然，我们可以考虑更大的模型，详细说明经济中更多部门之间的相互作用。这些模型通常在计算机上求解，使用我们在第三章中将要介绍的矩阵代数技术。一些例子将在练习中给出。同样明显的是，单个模型并不适合所有情况；需要专家判断来确定模型背后的假设对于特定情况是否合理。然而，有了这些注意事项，该模型在实践中已被证明是经济分析的有用且准确的工具。如需进一步阅读，请尝试 (Leontief 1951) 和 (Leontief 1965).

练习

提示：这些系统最容易在计算机上求解。

问题 1

使用上面给出的钢铁-汽车系统，估计下一年的总产量（在以下情况下）。

1. 下一年的外部需求为：钢铁比今年增长 $200$，汽车不变。
2. 下一年的外部需求为：钢铁增长 $100$，汽车增长 $200$。
3. 下一年的外部需求为：钢铁增长 $200$，汽车增长 $200$。

问题 2

在钢铁-汽车系统中，汽车行业对钢铁的使用比例为 $2\,664/30\,346$，约为 $0.0878$。假设制造汽车的新工艺将该比例降至 $.0500$。

1. 与上面讨论的第一种情况（即下一年的外部需求为钢铁 $17,589$，汽车 $21,243$）相比，下一年的总产量预测将如何变化？
2. 如果汽车的外部需求进一步上升到 $21,500$（因为新车更便宜），预测下一年的总产量。

问题 3

此表给出了汽车-钢铁系统在不同年份（1947 年）的数字（参见 Leontief 1951）。这里的单位是十亿 1947 年美元。

	由......使用     钢铁	由......使用     汽车	由......使用     其他	总数
价值     钢铁	6.90	1.28		18.69
价值     汽车	0	4.40		14.27

1. 如果下一年的外部需求为：钢铁需求增长 10%，汽车需求增长 15%，求解总产量。
2. 这些比率与上面讨论的 1958 年经济中的比率相比如何？
3. 用 1958 年的外部需求求解 1947 年的方程（注意单位的不同；1947 年的 1 美元大约相当于 1958 年的 1.3 美元）。总产量预测的偏差有多大？

问题 4

预测下面显示的假设经济中三个部门在下一年的总产量。

	由......使用     农业	由......使用     铁路	由......使用     航运	由......使用     其他	总数
价值     农业	25	50	100		500
价值     铁路	25	50	50		300
价值     航运	15	10	0		500

如果下一年的外部需求如所述。

1. 农场需求为 $625$，铁路需求为 $200$，海运需求为 $475$。
2. 农场需求为 $650$，铁路需求为 $150$，海运需求为 $450$。

问题 5

该表格显示了经济中三个部门之间的相互关系（参见 Clark & Coupe 1967）。

	由......使用     食品	由......使用     批发	由......使用     零售	由......使用     其他	总数
价值     食品	0	2 318	4 679		11 869
价值     批发	393	1 089	22 459		122 242
价值     零售	3	53	75		116 041

我们将对该系统进行投入产出分析。

1. 填写今年的外部需求数字。
2. 建立线性系统，将明年的外部需求留空。
3. 求解系统，其中明年的外部需求通过将今年的外部需求膨胀 10% 来计算。三个部门的总业务量是否都增加了 10%？它们甚至都以相同的速度增长吗？
4. 求解系统，其中明年的外部需求通过将今年的外部需求减少 7% 来计算。（这些数据来源的研究得出结论，由于当地军事设施的关闭，该地区的总个人收入将下降 7%，因此这可能是对实际发生情况的初步猜测。）

解决方案

参考资料

• Leontief, Wassily W. (1951), "Input-Output Economics", Scientific American, 185 (4): 15 {{引用}}: 未知参数 |month= 被忽略 (帮助).
• Leontief, Wassily W. (1965), "The Structure of the U.S. Economy", Scientific American, 212 (4): 25 {{引用}}: 未知参数 |month= 被忽略 (帮助).
• Clark, David H.; Coupe, John D. (1967), "The Bangor Area Economy Its Present and Future", Reprot to the City of Bangor, ME {{引用}}: 引用有一个空的未知参数: |1= (帮助); 未知参数 |month= 被忽略 (帮助).