线性代数/主题：投入产出分析/解答

解答

提示：这些系统在计算机上最容易求解。

问题 1

根据上面给出的钢铁-汽车系统，估计下一年的总产量。

1. 下一年的外部需求为：钢铁比今年增加$200$，汽车不变。
2. 下一年的外部需求为：钢铁增加$100$，汽车增加$200$。
3. 下一年的外部需求为：钢铁增加$200$，汽车增加$200$。

答案

这些答案由Octave给出。

1. 当钢铁的外部使用量为$17\,789$，汽车的外部使用量为$21\,243$时，我们得到$s=25\,952$，$a=30\,312$。
2. $s=25\,857$，$a=30\,596$
3. $s=25\,984$，$a=30\,597$

问题 2

在钢铁-汽车系统中，汽车行业对钢铁的使用比例为$2\,664/30\,346$，大约为$0.0878$。假设一种新的汽车制造工艺将该比例降低至$.0500$。

1. 与上面讨论的第一个例子相比，下一年的总产量预测将如何变化（即，将下一年的外部需求分别设为钢铁$17,589$和汽车$21,243$）？
2. 此外，如果由于新车的价格更便宜，汽车的外部需求上升到$21,500$，预测下一年的总产量。

答案

Octave给出了这些答案。

1. s = 24,244，a = 30,307
2. s = 24,267，a = 30,673

问题 3

此表给出了不同年份（1947 年，参见Leontief 1951）的汽车钢铁系统的数字。这里的单位是1947 年的十亿美元。

	被…使用     钢铁	被…使用     汽车	被…使用     其他	总计
价值     钢铁	6.90	1.28		18.69
价值     汽车	0	4.40		14.27

1. 如果明年的外部需求为：钢铁需求增长 10%，汽车需求增长 15%，则求解总产量。
2. 这些比率与上面 1958 年经济讨论中给出的比率相比如何？
3. 用 1958 年的外部需求求解 1947 年的方程（注意单位的不同；1947 年的 1 美元大约相当于 1958 年的 1.30 美元）。预测的总产量误差有多大？

答案

1. 这些是方程。

   ${\begin{array}{*{2}{rc}r}(11.79/18.69)s&-&(1.28/14.27)a&=&11.56\\-(0/18.69)s&+&(9.87/14.27)a&=&11.35\end{array}}$

   Octave 给出 s = 20.66 和 a = 16.41。
2. 这些是比率。

   1947     由钢铁     由汽车     钢铁的使用     0.63     0.09     汽车的使用     0.00     0.69

   1958     由钢铁     由汽车     钢铁的使用     0.79     0.09     汽车的使用     0.00     0.70

3. Octave 给出（以 1947 年的十亿美元计）s = 24.82 和 a = 23.63。以 1958 年的十亿美元计，即 s = 32.26 和 a = 30.71。

问题 4

预测下面所示假设经济中三个部门的下一年的总产量。

	被…使用     农业	被…使用     铁路	被…使用     航运	被…使用     其他	总计
价值     农业	25	50	100		500
价值     铁路	25	50	50		300
价值     航运	15	10	0		500

如果明年的外部需求如所述。

1. 农业 625，铁路 200，航运 475

2. 农场 $650$，铁路 $150$，航运 $450$

问题 5

此表给出了经济体三个部门之间的相互关系（参见 Clark & Coupe 1967）。

	被…使用     食品	被…使用     批发	被…使用     零售	被…使用     其他	总计
价值     食品	0	2 318	4 679		11 869
价值     批发	393	1 089	22 459		122 242
价值     零售	3	53	75		116 041

我们将对该系统进行投入产出分析。

1. 填写今年外部需求的数字。
2. 建立线性系统，将明年外部需求留空。
3. 求解系统，其中明年外部需求通过将今年外部需求提高 10% 计算得出。所有三个部门的总业务量是否都增加了 10%？它们是否都以相同的速率增长？
4. 求解系统，其中明年外部需求通过将今年外部需求减少 7% 计算得出。（进行这些数字研究得出的结论是，由于当地军事设施的关闭，该地区的整体个人收入将下降 7%，因此这可能是对实际情况的初步估计。）

参考文献

• 列昂惕夫，瓦西里·W. (1951)，“投入产出经济学”，科学美国人，185 (4): 15 {{引用}}: 未知参数 |month= 被忽略（帮助）.
• 克拉克，大卫·H.；库普，约翰·D. (1967)，“班戈地区经济现状及未来”，致缅因州班戈市报告 {{引用}}: 引用包含空未知参数：|1=（帮助）；未知参数 |month= 被忽略（帮助）.