线性代数/主题：射影几何/解答

解答

问题 1

这个点的方程是什么？

${\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}$

答案

从点积

$0={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}L_{1}&L_{2}&L_{3}\end{pmatrix}}=L_{1}$

我们得到方程为$L_{1}=0$.

问题 2

1. 在射影平面上找到与这两个点相交的直线。

   ${\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}4\\5\\6\end{pmatrix}}$

2. 找到与这两条射影线相交的点。

   ${\begin{pmatrix}1&2&3\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}4&5&6\end{pmatrix}}$

答案

1. 这个行列式

   $0={\begin{vmatrix}1&4&x\\2&5&y\\3&6&z\end{vmatrix}}=-3x+6y-3z$

   表明这条直线是$L={\begin{pmatrix}-3&6&-3\end{pmatrix}}$.
2. ${\begin{pmatrix}-3\\6\\-3\end{pmatrix}}$

问题 3

找到与两个射影点相交的直线的公式。找到与两条射影线相交的点的公式。

答案

与

$u={\begin{pmatrix}u_{1}\\u_{2}\\u_{3}\end{pmatrix}}\qquad v={\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\end{pmatrix}}$

可以从这个行列式方程中找到。

$0={\begin{vmatrix}u_{1}&v_{1}&x\\u_{2}&v_{2}&y\\u_{3}&v_{3}&z\end{vmatrix}}=(u_{2}v_{3}-u_{3}v_{2})\cdot x+(u_{3}v_{1}-u_{1}v_{3})\cdot y+(u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1})\cdot z$

两条直线交点处的方程式相同。

问题 4

证明入射的定义与$p$和$L$的代表选取无关。也就是说，如果$p_{1}$，$p_{2}$，$p_{3}$，和$q_{1}$，$q_{2}$，$q_{3}$是$p$的两个齐次坐标三元组，而$L_{1}$，$L_{2}$，$L_{3}$，和$M_{1}$，$M_{2}$，$M_{3}$是$L$的两个齐次坐标三元组，证明当且仅当$p_{1}L_{1}+p_{2}L_{2}+p_{3}L_{3}=0$时，$q_{1}M_{1}+q_{2}M_{2}+q_{3}M_{3}=0$。

答案

如果 $p_{1}$，$p_{2}$，$p_{3}$ 和 $q_{1}$，$q_{2}$，$q_{3}$ 是 $p$ 的两个齐次坐标三元组，那么这两个列向量成比例，也就是说，它们位于通过原点的同一条直线上。类似地，这两个行向量也成比例。

$k\cdot {\begin{pmatrix}p_{1}\\p_{2}\\p_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}q_{1}\\q_{2}\\q_{3}\end{pmatrix}}\qquad m\cdot {\begin{pmatrix}L_{1}&L_{2}&L_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}M_{1}&M_{2}&M_{3}\end{pmatrix}}$

然后相乘得到答案 $(km)\cdot (p_{1}L_{1}+p_{2}L_{2}+p_{3}L_{3})=q_{1}M_{1}+q_{2}M_{2}+q_{3}M_{3}=0$。

问题 5

绘制一个图形以表明中心投影不保留圆形，即圆形可能会投影为椭圆形。一个（非圆形）椭圆形可以投影为圆形吗？

答案

日食的图片——除非像平面恰好垂直于从太阳穿过针孔的直线——会显示太阳的圆形投影为一个椭圆形的图像。（另一个例子是，在本主题中的许多图片中，球体的赤道圆被绘制为椭圆形，也就是说，被观看图片的观众看到为椭圆形。）

日食图片也显示了反过来。如果我们把投影想象成从左到右穿过针孔，那么椭圆形 $I$ 通过 $P$ 投影到圆形 $S$。

问题 6

给出投影平面的对映模态的非赤道部分与平面 $z=1$ 之间的对应关系的公式。

答案

单位球体上的一个点

${\begin{pmatrix}p_{1}\\p_{2}\\p_{3}\end{pmatrix}}$

当且仅当 $p_{3}\neq 0$ 时，它是非赤道的。在这种情况下，它对应于 $z=1$ 平面上的这一点。

${\begin{pmatrix}p_{1}/p_{3}\\p_{2}/p_{3}\\1\end{pmatrix}}$

因为这是包含向量直线和平面的交点。

问题 7

(帕普斯定理) 假设 $T_{0}$、$U_{0}$ 和 $V_{0}$ 是共线的，并且 $T_{1}$、$U_{1}$ 和 $V_{1}$ 是共线的。考虑以下三个点：(i) 直线 $T_{0}U_{1}$ 和 $T_{1}U_{0}$ 的交点 $V_{2}$，(ii) 直线 $T_{0}V_{1}$ 和 $T_{1}V_{0}$ 的交点 $U_{2}$，以及 (iii) 直线 $U_{0}V_{1}$ 和 $U_{1}V_{0}$ 的交点 $T_{2}$。

1. 画一张（欧几里得）图。
2. 应用德扎格定理中使用的引理，为 $T$ 和 $V_{0}$ 获得简单的齐次坐标向量。
3. 求 $U$ 的齐次坐标向量（这些向量必须包含参数，例如 $U_{0}$ 可以位于 $T_{0}V_{0}$ 直线上）。
4. 求 $V_{1}$ 的齐次坐标向量。（提示：它包含两个参数。）
5. 求 $V_{2}$ 的齐次坐标向量。（它也包含两个参数。）
6. 证明三个参数的乘积为 $1$。
7. 验证 $V_{2}$ 位于 $T_{2}U_{2}$ 直线上。

答案

1. 可能存在其他图，但这是一个示例。

   

   交点 $T_{0}U_{1}\,\cap T_{1}U_{0}=V_{2}$，$T_{0}V_{1}\,\cap T_{1}V_{0}=U_{2}$ 和 $U_{0}V_{1}\,\cap U_{1}V_{0}=T_{2}$ 标记为，使得每条线上都有一个 $T$，一个 $U$ 和一个 $V$。

2. 德扎格定理中使用的引理给出了一个基底 $B$，相对于这个基底，这些点具有以下齐次坐标向量。

   ${\rm {Rep}}_{B}({\vec {t}}_{0})={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}\quad {\rm {Rep}}_{B}({\vec {t}}_{1})={\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}\quad {\rm {Rep}}_{B}({\vec {t}}_{2})={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\quad {\rm {Rep}}_{B}({\vec {v}}_{0})={\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}}$

3. 首先，任何$U_{0}$ 在 $T_{0}V_{0}$ 上

   ${\rm {Rep}}_{B}({\vec {u}}_{0})=a{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}+b{\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a+b\\b\\b\end{pmatrix}}$

   具有此形式的齐次坐标向量

   ${\begin{pmatrix}u_{0}\\1\\1\end{pmatrix}}$

   ($u_{0}$ 是一个参数；它取决于点 $U_{0}$ 在 $T_{0}V_{0}$ 线上的位置，但该线上任何点都具有这种形式的齐次坐标向量，对于某些 $u_{0}\in \mathbb {R}$）。类似地，$U_{2}$ 在 $T_{1}V_{0}$ 上

   ${\rm {Rep}}_{B}({\vec {u}}_{2})=c{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}+d{\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}d\\c+d\\d\end{pmatrix}}$

   因此，该向量具有以下齐次坐标向量。

   ${\begin{pmatrix}1\\u_{2}\\1\end{pmatrix}}$

   类似地，$U_{1}$ 与 $T_{2}V_{0}$ 相交。

   ${\rm {Rep}}_{B}({\vec {u}}_{1})=e{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}+f{\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}f\\f\\e+f\end{pmatrix}}$

   该向量具有以下齐次坐标向量。

   ${\begin{pmatrix}1\\1\\u_{1}\end{pmatrix}}$

4. 因为 $V_{1}$ 是 $T_{0}U_{2}\,\cap \,U_{0}T_{2}$，所以我们有以下结果。

   $g{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}+h{\begin{pmatrix}1\\u_{2}\\1\end{pmatrix}}=i{\begin{pmatrix}u_{0}\\1\\1\end{pmatrix}}+j{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\qquad \Longrightarrow \qquad {\begin{aligned}g+h&=iu_{0}\\hu_{2}&=i\\h&=i+j\end{aligned}}$

   将 $hu_{2}$ 代入第一个方程中的 $i$

   ${\begin{pmatrix}hu_{0}u_{2}\\hu_{2}\\h\end{pmatrix}}$

   表明 $V_{1}$ 具有这个双参数齐次坐标向量。

   ${\begin{pmatrix}u_{0}u_{2}\\u_{2}\\1\end{pmatrix}}$

5. 由于 $V_{2}$ 是交点 $T_{0}U_{1}\,\cap \,T_{1}U_{0}$

   $k{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}+l{\begin{pmatrix}1\\1\\u_{1}\end{pmatrix}}=m{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}+n{\begin{pmatrix}u_{0}\\1\\1\end{pmatrix}}\qquad \Longrightarrow \qquad {\begin{aligned}k+l&=nu_{0}\\l&=m+n\\lu_{1}&=n\end{aligned}}$

   并用 $lu_{1}$ 代替第一个等式中的 $n$

   ${\begin{pmatrix}lu_{0}u_{1}\\l\\lu_{1}\end{pmatrix}}$

   表明 $V_{2}$ 具有这个双参数齐次坐标向量。

   ${\begin{pmatrix}u_{0}u_{1}\\1\\u_{1}\end{pmatrix}}$

6. 因为 $V_{1}$ 在 $T_{1}U_{1}$ 直线上，它的齐次坐标向量形式为

   $p{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}+q{\begin{pmatrix}1\\1\\u_{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}q\\p+q\\qu_{1}\end{pmatrix}}\qquad (*)$

   但这个问题的前一部分已经确定 $V_{1}$ 的齐次坐标向量具有以下形式

   ${\begin{pmatrix}u_{0}u_{2}\\u_{2}\\1\end{pmatrix}}$

   因此，这是 $V_{1}$ 的齐次坐标向量。

   ${\begin{pmatrix}u_{0}u_{1}u_{2}\\u_{1}u_{2}\\u_{1}\end{pmatrix}}\qquad (**)$

   根据 ($*$) 和 ($**$)，三个参数之间存在关系： $u_{0}u_{1}u_{2}=1$。
7. $V_{2}$ 的齐次坐标向量可以这样写。

   ${\begin{pmatrix}u_{0}u_{1}u_{2}\\u_{2}\\u_{1}u_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\u_{2}\\u_{1}u_{2}\end{pmatrix}}$

   现在，$T_{2}U_{2}$ 线由齐次坐标具有以下形式的点组成。

   $r{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}+s{\begin{pmatrix}1\\u_{2}\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}s\\su_{2}\\r+s\end{pmatrix}}$

   取 $s=1$ 和 $r=u_{1}u_{2}-1$ 表明 $V_{2}$ 的齐次坐标向量具有以下形式。