线性代数/向量空间与子空间

向量空间是一种泛化向量集的概念的方法。例如，复数 2+3i 可以被视为一个向量，因为它在某种程度上是向量 ${\begin{bmatrix}2\\3\end{bmatrix}}$ .

向量空间是这种抽象对象的“空间”，我们称之为“向量”。

一些熟悉的朋友

在我们目前对向量的研究中，我们已经研究了具有实数项的向量： $\mathbb {R} ^{2},\mathbb {R} ^{3},...,\mathbb {R} ^{n}$ ，等等。这些都是向量空间。我们在抽象到向量空间中获得的优势是能够在不选择任何特定对象（定义我们的向量）、运算（作用于我们的向量）或坐标（在空间中识别我们的向量）的情况下谈论一个空间。更进一步的结果可以应用于可能具有无限维度的更一般空间，例如在泛函分析中。

符号和概念

我们像以前一样写一个向量，用粗体，但你应该在纸上写下划线或在上面加一个箭头。所以我们写 $\mathbf {v} ={\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}}$ 表示那个向量。

当我们用标量数乘以一个向量时，我们通常用希腊字母表示它，写 λv 表示向量 v 被标量 λ 乘以。我们将向量的加法和减法写成我们以前做过的，x+y 表示向量 x 和 y 的和。

有了标量乘法和向量加法，我们可以转向我们对向量空间的定义。

当我们说一个运算在定义中是“封闭”时，我们是在说这个运算的结果没有违反我们的定义。例如，如果我们查看所有整数的集合，我们可以说它是关于加法封闭的，因为任何整数的加法都会得到整数集合中的一个元素。但是整数集合关于除法不封闭，因为 3 除以 2（例如）不会得到整数集合中的一个元素。

定义

向量空间是一个非空集合 V，其中包含称为向量的对象，并定义了两个运算，分别称为向量加法和标量乘法，使得对于 $x,y\in V$ 和 α $\in F$ ，x+y 和 αx 是 V 中定义明确的元素，具有以下性质

加法的交换律：x+y=y+x
加法的结合律：x+(y+z)=(x+y)+z
加法单位元：存在一个向量 0 使得对于所有 x，0+x=x
加法逆元：对于每个向量 x，都存在另一个向量 y 使得 x+y =0
标量结合律：α(βx) = (αβ)x
标量分配律：(α + β)x=αx+βx
向量分配律：α(x+y)=αx+αy
标量单位元：1x=x

另一种定义

熟悉群论和域论的人可能会发现以下另一种定义更简洁

$(V,+)$ 是一个阿贝尔群.
$\forall \alpha \in F,(\forall x,y\in V),\alpha (x+y)=\alpha x+\alpha y$
$\forall \alpha ,\beta \in F,\forall x\in V,(\alpha +\beta )x=\alpha x+\beta x$
$\forall \alpha ,\beta \in F,\forall x\in V,(\alpha \beta )x=\alpha (\beta x)$
$\forall x\in V,1x=x$

子空间

子空间是向量空间内部的向量空间。当我们观察各种向量空间时，经常需要考察它们的子空间。

向量空间 V 的子空间 S 是指 S 是 V 的子集，并且它具有以下关键特征：

S 对标量乘法封闭：如果 λ∈R，v∈S，则 λv∈S。
S 对加法封闭：如果 u，v ∈ S，则 u+v∈S。
S 包含 0，即零向量。

任何具有这些特征的子集都是子空间。

示例

让我们考察一些常见向量空间的子空间，并看看如何证明向量空间的某个子集实际上是一个子空间。

平凡子空间

在 R² 中，包含零向量 ({0}) 的集合是 R² 的子空间。

标量乘法封闭性：对于 R 中的所有 a，有 a 0=0。

加法封闭性：0+0=0。由于 0 是该集合中唯一的成员，因此我们只需要检查 0。

零向量：0 是该集合中唯一的成员，它也是零向量。

一个稍微不平凡的子空间

在 R² 中，所有来自 R² 的形式为 (0,α) 的向量集合 V，其中 α∈R，是一个子空间。

标量乘法封闭性：a (0,α) = (0,a α)，其中 a α∈R。

加法封闭性：(0,α) +(0,β) =(0, α + β)，其中 α + β∈R。

零向量：在 V 中，将 α 取为零，我们得到零向量 (0,0)。

一系列子空间

从 R 中选择任意数字，比如 ρ。那么形式为 (α, ρα) 的所有向量的集合 V 是 R² 的子空间。

标量乘法封闭性：a (α, ρα) = (aα, ρaα)，它属于 V。

加法封闭性：(α, ρα) +(β, ρβ) =(α + β, ρα + ρβ) = (α+β, ρ(α+β))，它属于 V。

零向量：将 α 取为零，我们得到 (0, ρ0) = (0,0)，它属于 V。

这意味着 V₂ = 所有形式为 (α,2α) 的向量的集合是 R² 的子空间。

而 V₃ = 所有形式为 (α,3α) 的向量的集合是 R² 的子空间。

而 V₄ = 所有形式为 (α,4α) 的向量的集合是 R² 的子空间。

而 V₅ = 所有形式为 (α,5α) 的向量的集合是 R² 的子空间。

而 V_π = 所有形式为 (α,πα) 的向量的集合是 R² 的子空间。

而 V_√2 = 所有形式为 $(\alpha ,{\sqrt {2}}\alpha )$ 的向量的集合是 R² 的子空间。

正如你所见，即使是像 R² 这样的简单向量空间也可以有许多不同的子空间。

线性组合、生成空间和生成集、线性相关性和线性

线性组合

定义：假设 $V$ 是一个在域 $(F,+,\cdot )$ 上的 向量空间，并且 $S$ 是 $V$ 的一个非空子集。那么，向量 $x\in V$ 被称为是 $S$ 中元素的 线性组合，如果存在有限数量的元素 $y_{1},y_{2},...,y_{n}\in S$ 以及 $a_{1},a_{2},...,a_{n}\in F$ 使得 $x=a_{1}y_{1}+a_{2}y_{2}+...a_{n}y_{n}$ 。

生成空间

定义：假设 $V$ 是一个在域 $(F,+,\cdot )$ 上的 向量空间。所有 $y_{1},y_{2},...,y_{n}\in V$ 的线性组合的集合称为 $y_{1},y_{2},...,y_{n}$ 的 生成空间。有时用 $Span(y_{1},y_{2},...,y_{n})$ 表示。

注意 $Span(y_{1},y_{2},...,y_{n}\in V)$ 是 $V$ 的子空间。

证明：考虑两个向量 x 和 y 在向量 ${v_{1},v_{2},...,v_{n}}.$ 的跨度内进行加法和标量乘法的封闭性。

$x=a_{1}v_{1}+a_{2}v_{2}+...+a_{n}v_{n}$

$y=b_{1}v_{1}+b_{2}v_{2}+...+b_{n}v_{n}$

$x+y=(a_{1}+b_{1})*v_{1}+(a_{2}+b_{2})*v_{2}+...+(a_{n}+b_{n})*v_{n}$ ，它也包含在集合中。

$k*x=(k*a_{1})v_{1}+(k*a_{2})v_{2}+...+(k*a_{n})v_{n}$ ，它也包含在集合中。

生成集

定义：假设 $V$ 是一个在域 $(F,+,\cdot )$ 上的 *向量空间*， $y_{1},y_{2},...,y_{n}$ 是该向量空间中的向量。集合 ${y_{1},y_{2},...,y_{n}}$ 是向量空间 $V$ 的 **生成集** 当且仅当 $V$ 中的每个向量都是 $y_{1},y_{2},...,y_{n}$ 的线性组合。或者， $\forall x\in V,(\exists a_{1},a_{2},...,a_{n}\in F),x=a_{1}y_{1}+a_{2}y_{2}+...+a_{n}y_{n}$

线性无关

定义：假设 $V$ 是一个在域 $(F,+,\cdot )$ 上的 *向量空间*， $S=\{x_{1},x_{2},...,x_{n}\}$ 是 $V$ 的一个有限子集。那么我们说 $S$ 是线性无关的，如果 $a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+...a_{n}x_{n}=0$ 意味着 $a_{1}=a_{2}=...=a_{n}=0$ 。线性无关是线性代数中一个非常重要的主题。这个定义意味着线性相关的向量可以形成零向量作为非平凡的组合，由此我们可以得出结论，其中一个向量可以表示为其他向量的线性组合。