线性代数/空间中的向量/解答

解答

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问题 1

找出每个向量的规范名称。

从 $(2,1)$ 到 $(4,2)$ 在 $\mathbb {R} ^{2}$ 中的向量
从 $(3,3)$ 到 $(2,5)$ 在 $\mathbb {R} ^{2}$ 中的向量
从 $(1,0,6)$ 到 $(5,0,3)$ 在 $\mathbb {R} ^{3}$ 中的向量
从 $(6,8,8)$ 到 $(6,8,8)$ 在 $\mathbb {R} ^{3}$ 中的向量

答案

${\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}4\\0\\-3\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}$

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问题 2

判断这两个向量是否相等。

从 $(5,3)$ 到 $(6,2)$ 的向量，以及从 $(1,-2)$ 到 $(1,1)$ 的向量。
从 $(2,1,1)$ 到 $(3,0,4)$ 的向量，以及从 $(5,1,4)$ 到 $(6,0,7)$ 的向量。

答案

不，它们的标准位置不同。
${\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}0\\3\end{pmatrix}}$
是的，它们的标准位置相同。
${\begin{pmatrix}1\\-1\\3\end{pmatrix}}$

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问题 3

点 $(1,0,2,1)$ 是否在经过 $(-2,1,1,0)$ 和 $(5,10,-1,4)$ 的直线上？

答案

该直线是这个集合。

\{{\begin{pmatrix}-2\\1\\1\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}7\\9\\-2\\4\end{pmatrix}}t\,{\big |}\,t\in \mathbb {R} \}

注意，这个系统

{\begin{array}{*{2}{rc}r}-2&+&7t&=&1\\1&+&9t&=&0\\1&-&2t&=&2\\0&+&4t&=&1\end{array}}

无解。因此，给定点不在直线上。

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问题 4

描述经过点 $(1,1,5,-1)$ 、 $(2,2,2,0)$ 和 $(3,1,0,4)$ 的平面。
原点在这个平面上吗？

答案

请注意
${\begin{pmatrix}2\\2\\2\\0\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}1\\1\\5\\-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\1\\-3\\1\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}3\\1\\0\\4\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}1\\1\\5\\-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\\0\\-5\\5\end{pmatrix}}$
因此，该平面是以下集合。
$\{{\begin{pmatrix}1\\1\\5\\-1\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}1\\1\\-3\\1\end{pmatrix}}t+{\begin{pmatrix}2\\0\\-5\\5\end{pmatrix}}s\,{\big |}\,t,s\in \mathbb {R} \}$
不，该方程组
${\begin{array}{*{3}{rc}r}1&+&1t&+&2s&=&0\\1&+&1t&&&=&0\\5&-&3t&-&5s&=&0\\-1&+&1t&+&5s&=&0\end{array}}$
无解。

问题 5

描述包含该点和直线的平面。

{\begin{pmatrix}2\\0\\3\end{pmatrix}}\qquad \{{\begin{pmatrix}-1\\0\\-4\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}}t\,{\big |}\,t\in \mathbb {R} \}

答案

向量

{\begin{pmatrix}2\\0\\3\end{pmatrix}}

不在直线上。因为

{\begin{pmatrix}2\\0\\3\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}-1\\0\\-4\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3\\0\\7\end{pmatrix}}

该平面可以这样描述。

\{{\begin{pmatrix}-1\\0\\-4\end{pmatrix}}+m{\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}}+n{\begin{pmatrix}3\\0\\7\end{pmatrix}}\,{\big |}\,m,n\in \mathbb {R} \}

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问题 6

求这些平面的交线。

\{{\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}}t+{\begin{pmatrix}0\\1\\3\end{pmatrix}}s\,{\big |}\,t,s\in \mathbb {R} \}\qquad \{{\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\3\\0\end{pmatrix}}k+{\begin{pmatrix}2\\0\\4\end{pmatrix}}m\,{\big |}\,k,m\in \mathbb {R} \}

答案

重合点是这个方程组的解。

{\begin{array}{*{2}{rc}r}t&&&=&1+2m\\t&+&s&=&1+3k\\t&+&3s&=&4m\end{array}}

高斯消元法

\left({\begin{array}{*{4}{c}|c}1&0&0&-2&1\\1&1&-3&0&1\\1&3&0&-4&0\end{array}}\right)\;{\xrightarrow[{-\rho _{1}+\rho _{3}}]{-\rho _{1}+\rho _{2}}}\;\left({\begin{array}{*{4}{c}|c}1&0&0&-2&1\\0&1&-3&2&0\\0&3&0&-2&-1\end{array}}\right)\;{\xrightarrow[{}]{-3\rho _{2}+\rho _{3}}}\;\left({\begin{array}{*{4}{c}|c}1&0&0&-2&1\\0&1&-3&2&0\\0&0&9&-8&-1\end{array}}\right)

得到 $k=-(1/9)+(8/9)m$ ，因此 $s=-(1/3)+(2/3)m$ 和 $t=1+2m$ 。交线如下。

\{{\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\3\\0\end{pmatrix}}(-{\frac {1}{9}}+{\frac {8}{9}}m)+{\begin{pmatrix}2\\0\\4\end{pmatrix}}m\,{\big |}\,m\in \mathbb {R} \}=\{{\begin{pmatrix}1\\2/3\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}2\\8/3\\4\end{pmatrix}}m\,{\big |}\,m\in \mathbb {R} \}

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问题 7

如果可能，求每对直线的交点。

$\{{\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}}+t{\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}}\,{\big |}\,t\in \mathbb {R} \}$ , $\{{\begin{pmatrix}1\\3\\-2\end{pmatrix}}+s{\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}}\,{\big |}\,s\in \mathbb {R} \}$
$\{{\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}}+t{\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}}\,{\big |}\,t\in \mathbb {R} \}$ , $\{s{\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}}+w{\begin{pmatrix}0\\4\\1\end{pmatrix}}\,{\big |}\,s,w\in \mathbb {R} \}$

答案

方程组
${\begin{array}{*{1}{rc}r}1&=&1\\1+t&=&3+s\\2+t&=&-2+2s\end{array}}$
得到 $s=6$ 和 $t=8$ ，因此这就是解集。
$\{{\begin{pmatrix}1\\9\\10\end{pmatrix}}\}$
这个系统
${\begin{array}{*{1}{rc}r}2+t&=&0\\t&=&s+4w\\1-t&=&2s+w\end{array}}$
给出 $t=-2$ ， $w=-1$ ，以及 $s=2$ ，所以它们的交点是这个点。
${\begin{pmatrix}0\\-2\\3\end{pmatrix}}$

问题 8

当平面不经过原点时，对位于平面上的向量的操作比平面经过原点时更复杂。考虑本节中平面

\{{\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}-0.5\\1\\0\end{pmatrix}}y+{\begin{pmatrix}-0.5\\0\\1\end{pmatrix}}z\,{\big |}\,y,z\in \mathbb {R} \}

以及它所显示的三个向量，其端点为 $(2,0,0)$ ， $(1.5,1,0)$ ，以及 $(1.5,0,1)$ 。

重新绘制图像，包括平面中长度是端点为 $(1.5,1,0)$ 的向量的两倍的向量。你的向量的端点不是 $(3,2,0)$ ；它是什么？
重新绘制图像，包括平面中显示端点为 $(1.5,0,1)$ 和 $(1.5,1,0)$ 的向量的和的平行四边形。和的端点，在对角线上，不是 $(3,1,1)$ ；它是什么？

答案

所示向量

不是将

${\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}-0.5\\1\\0\end{pmatrix}}\cdot 1$

加倍的结果，而是

${\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}-0.5\\1\\0\end{pmatrix}}\cdot 2={\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}}$

它的参数是原来的两倍。
向量

不是由以下式子相加的结果

$({\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}-0.5\\1\\0\end{pmatrix}}\cdot 1)+({\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}-0.5\\0\\1\end{pmatrix}}\cdot 1)$

加倍的结果，而是

${\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}-0.5\\1\\0\end{pmatrix}}\cdot 1+{\begin{pmatrix}-0.5\\0\\1\end{pmatrix}}\cdot 1={\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}}$

它只是将参数相加。

问题 9

证明线段 ${\overline {(a_{1},a_{2})(b_{1},b_{2})}}$ 和 ${\overline {(c_{1},c_{2})(d_{1},d_{2})}}$ 的长度和斜率相同，如果 $b_{1}-a_{1}=d_{1}-c_{1}$ 且 $b_{2}-a_{2}=d_{2}-c_{2}$ 。这是唯一的条件吗？

答案

"如果"部分的证明很简单。如果 $b_{1}-a_{1}=d_{1}-c_{1}$ 且 $b_{2}-a_{2}=d_{2}-c_{2}$ ，那么

{\sqrt {(b_{1}-a_{1})^{2}+(b_{2}-a_{2})^{2}}}={\sqrt {(d_{1}-c_{1})^{2}+(d_{2}-c_{2})^{2}}}

因此它们的长度相同，斜率也易于计算。

{\frac {b_{2}-a_{2}}{b_{1}-a_{1}}}={\frac {d_{2}-c_{2}}{d_{1}-a_{1}}}

(如果分母为 $0$ ，则它们都具有未定义的斜率)。

对于“当且仅当”，假设两条线段具有相同的长度和斜率（未定义斜率的情况很容易；我们将处理两条线段都具有斜率 $m$ 的情况）。此外，不妨假设 $a_{1}<b_{1}$ 且 $c_{1}<d_{1}$ 。第一条线段是 ${\overline {(a_{1},a_{2})(b_{1},b_{2})}}=\{(x,y)\,{\big |}\,y=mx+n_{1},\;x\in [a_{1}..b_{1}]\}$ （对于某些截距 $n_{1}$ ），第二条线段是 ${\overline {(c_{1},c_{2})(d_{1},d_{2})}}=\{(x,y)\,{\big |}\,y=mx+n_{2},\;x\in [c_{1}..d_{1}]\}$ （对于某些 $n_{2}$ ）。然后这些线段的长度为

{\sqrt {(b_{1}-a_{1})^{2}+((mb_{1}+n_{1})-(ma_{1}+n_{1}))^{2}}}={\sqrt {(1+m^{2})(b_{1}-a_{1})^{2}}}

并且，类似地， ${\sqrt {(1+m^{2})(d_{1}-c_{1})^{2}}}$ 。因此， $|b_{1}-a_{1}|=|d_{1}-c_{1}|$ 。因此，正如我们假设的 $a_{1}<b_{1}$ 并且 $c_{1}<d_{1}$ ，我们有 $b_{1}-a_{1}=d_{1}-c_{1}$ 。

另一个等式类似。

问题 10

如何定义 $\mathbb {R} ^{0}$ ？

答案

我们将在后面定义它为一个包含一个元素的集合——一个“原点”。

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问题 11

一个人以 $3$ 英里/小时的速度向东行驶，发现风看起来是从正北方向吹来的。当他将速度提高到两倍时，风看起来是从东北方向吹来的。风的实际速度是多少？（Klamkin 1957）

答案

考虑这个人以 3 英里/小时的速度行驶，同一个人以 6 英里/小时的速度行驶，真风，人以 3 英里/小时的速度行驶时的视风以及人以 6 英里/小时的速度行驶时的视风，分别作为向量 ${\vec {p}}_{1}=\left(3,0\right),{\vec {p}}_{2}=\left(6,0\right),{\vec {w}}=\left(x,y\right),{\vec {a}}_{1}$ 和 ${\vec {a}}_{2}$ 在一个二维空间中，其中东和北分别位于 x 轴和 y 轴的正方向。

从之前的考虑和视风是真风速度减去人运动速度的向量和的事实来看，我们有 ${\begin{cases}{\vec {a}}_{1}=\left(x,y\right)-\left(3,0\right)\\{\vec {a}}_{2}=\left(x,y\right)-\left(6,0\right)\end{cases}}$ 。

从题目中我们知道 ${\vec {a}}_{1}$ 与 ${\vec {p}}_{1}$ 正交。这意味着 ${\vec {a}}_{1}\cdot {\vec {p}}_{1}=0\implies \left(\left(x,y\right)-\left(3,0\right)\right)\cdot \left(3,0\right)=0\implies \left(x-3\right)3+\left(y-0\right)0=0\implies 3x-9=0\implies x=3$ .

题目还指出，方向向量为 ${\vec {a}}_{2}$ 的直线与方向向量为 ${\vec {p}}_{2}$ 的直线形成 45° 角。这意味着 ${\vec {a}}_{2}\cdot {\vec {p}}_{2}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\left|{\vec {a}}_{2}\right|\left|{\vec {p}}_{2}\right|\implies \left(\left(x,y\right)-\left(6,0\right)\right)\cdot \left(6,0\right)={\frac {\sqrt {2}}{2}}\left|\left(x,y\right)-\left(6,0\right)\right|\left|\left(6,0\right)\right|\implies \left(x-6\right)6+\left(y-0\right)0={\frac {\sqrt {2}}{2}}\left({\sqrt {\left(x-6\right)^{2}+\left(y-0\right)^{2}}}\right)6\implies x-6={\frac {\sqrt {2}}{2}}{\sqrt {x^{2}-12x+36+y^{2}}}$ .

从上面我们知道 $x=3$ ，所以： $x-6={\frac {\sqrt {2}}{2}}{\sqrt {x^{2}-12x+36+y^{2}}}\implies 3-6={\frac {\sqrt {2}}{2}}{\sqrt {9-36+36+y^{2}}}\implies -3={\frac {\sqrt {2}}{2}}{\sqrt {9+y^{2}}}\implies 9={\frac {9+y^{2}}{2}}\implies 9=y^{2}\implies y=\pm 3$

方程 ${\vec {a}}_{1}=\left(x,y\right)-\left(3,0\right)$ 以及视风 ${\vec {a}}_{1}$ 来自北方的这一事实意味着 $y<0$ ，所以 $y=-3$

真风的速率 ${\vec {w}}$ 是 $\left(3,-3\right)$ ，其大小为 ${\sqrt {3^{2}+\left(-3\right)^{2}}}={\sqrt {18}}=3{\sqrt {2}}$ .

这是引用的来源中给出的答案。

矢量三角形如下，所以 ${\vec {w}}=3{\sqrt {2}}$ 来自西北方向。

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问题 12

欧几里得将平面描述为“一个与它自身上的直线均匀平行的表面”。评论家（如希罗）将此解释为“(平面表面是) 这样的，如果一条直线穿过它上面的两点，这条线在各个方面的所有地方完全与它重合”。（来自希思 1956 年的翻译，第 171-172 页。）在本节中描述的平面是否具有这种性质？这种描述是否充分定义了平面？

答案

欧几里得无疑是在设想 $\mathbb {R} ^{3}$ 中的平面。然而，请注意， $\mathbb {R} ^{1}$ 和 $\mathbb {R} ^{3}$ 也满足该定义。

参考文献

Klamkin, M. S. (提出者) (1957), "Trickie T-27", 数学杂志, 30 (3): 173 {{引用}}: 未知参数 |month= 被忽略 (帮助).
Heath, T. (1956), 欧几里得几何原本, 第 1 卷, Dover.