环上的线性代数/有限生成自由模的链复形

命题（在 Bézout 域上的有限生成自由模的每个链复形都是其子复形的直接和，每个子复形最多有两个非零项）:

设

\cdots {\overset {\partial }{\longrightarrow }}C_{n+1}{\overset {\partial }{\longrightarrow }}C_{n}{\overset {\partial }{\longrightarrow }}C_{n-1}{\overset {\partial }{\longrightarrow }}\cdots

是一个对象为 Bézout 域 $R$ 上的有限生成自由模的链复形。那么这个链复形是以下形式的链复形的可数直和

\cdots \longrightarrow 0\longrightarrow 0\longrightarrow L_{n+1}\longrightarrow R_{n}\longrightarrow 0\longrightarrow 0\longrightarrow \cdots

,

其中 $L_{n+1}\leq C_{n+1}$ 且 $R_{n}\leq C_{n}$ .

（关于可数选择条件。）

证明：我们将构造一个直和分解

C_{n}=L_{n}\oplus R_{n}

,

其中 $R_{n}=\ker \partial$ 。一旦完成了这一点，实际上我们就得到了初始链复形的直和分解，因为 $R_{n}$ 的元素被 $\partial$ 映射到零，而 $L_{n}$ 的元素被映射到 $R_{n-1}$ ，这是由于链复形条件 $\partial \circ \partial =0$ 。

为了实现这种分解，我们调用Bézout 域上的 Dedekind 定理，它告诉我们 $\operatorname {im} \partial \leq C_{n-1}$ 是有限生成的且自由的；实际上，它是有限生成的，因为生成集由 $\partial$ ）的 $C_{n}$ 的生成集的图像给出。因此，设 $b_{1},\ldots ,b_{n}$ 是 $\operatorname {im} \partial \leq C_{n-1}$ 的基。对于每个 $j\in \{1,\ldots ,n\}$ ，我们选择一个任意的，但固定的 $a_{j}\in \partial ^{-1}(b_{j})$ ，然后我们定义 $L_{n}:=\langle a_{1},\ldots ,a_{n}\rangle$ 。这产生了我们想要的直和分解。实际上， $L_{n}\cap R_{n}=\{0\}$ ，因为每当