环上的线性代数/贝祖域上的模

命题（将贝祖域上有限维自由模的单个元素扩展到基底）:

令 $R$ 为贝祖域，令 $R^{n}$ 为 $n$ 维 $R$ 上的自由模。令 $v=(v_{1},\ldots ,v_{n})\in R^{n}$ 使得 $\gcd(v_{1},\ldots ,v_{n})=1$。则存在元素 $w_{2},\ldots ,w_{n}\in R^{n}$ 使得 $v,w_{2},\ldots ,w_{n}$ 是 $R^{n}$ 的基底。

证明：我们对 $n$ 使用归纳法。如果 $n=1$，命题就变得平凡，因此归纳基底得到了处理。现在令一个一般的 $n$ 给定；我们将该命题简化为对 $n-1$ 的相同命题。

事实上，如果 $v=(v_{1},\ldots ,v_{n})$ 给定，我们可以设

$d:=\gcd(v_{2},\ldots ,v_{n})$,

然后 $\gcd(v_{1},d)=\gcd(v_{1},\ldots ,v_{n})=1$。因此，存在元素 $r,s\in R$ 使得

$rv_{1}+sd=1$.

我们定义

$w:=(s,-rv_{2}/d,\ldots ,-rv_{n}/d)$,

使得

$rv+dw=e_{1}$ 并且 $sv-v_{1}w=(0,v_{2}/d,\ldots ,v_{n}/d)$，

其中对于 $j\in \mathbb {N}$，通常，$e_{j}$ 表示一个向量，其所有分量均为零，除了第 $j$ 个分量为 1。从这些等式可以明显看出

$\langle v,w\rangle =\langle e_{1},(0,v_{2}/d,\ldots ,v_{n}/d)\rangle$.

此外，$v$ 和 $w$ 线性无关，因为如果存在 $b,c\in R$ 使得 $bv+cw=0$，则 $b(0,v_{2}/d,\ldots ,v_{n}/d)=(v_{1}-sc)w$，特别是 $0=(v_{1}-sc)s$，因此要么 $s=0$ 且 $v$ 和 $w$ 按定义（几乎）线性无关，或者 $v_{1}=sc$，因此只要 $v_{1}\neq 0$，则 $b=1$（再次，如果 $v_{1}=0$，则向量自动线性无关）。但这意味着 $c|v_{j}$ 对于所有 $j\in \{1,\ldots ,n\}$ 都成立，因此与假设 $\gcd(v_{1},\ldots ,v_{n})\neq 1$ 相矛盾。

现在只需注意

$R^{n}/\langle v,w\rangle =R^{n}/\langle e_{1},(0,v_{2}/d,\ldots ,v_{n}/d)\rangle \cong R^{n-1}/\langle (v_{2}/d,\ldots ,v_{n}/d)\rangle$

根据第一个 Noether 同构定理应用于忘记第一个分量的同态，由于我们有 $\gcd(v_{2}/d,\ldots ,v_{n}/d)=1$，该问题维度降低了一维。$\Box$

定理（有限生成无挠模在 Bézout 域上的最小基数生成集是基）:

令 $R$ 为 Bézout 域，并令 $M$ 为 $R$ 上的有限生成无挠模。那么 $M$ 的每个基数最小的生成集都是 $M$ 的基。

证明：我们对 $n$ 进行归纳，其中 $n$ 是 $M$ 的最小基数生成集的基数。令 $x_{1},\ldots ,x_{n}$ 为 $M$ 的最小基数生成集。然后我们有同态

$\varphi :R^{n}\to M$

使得 $\varphi (e_{k})=x_{k}$ 对于 $k\in \{1,\ldots ,n\}$，其中 $e_{k}$ 是 $R^{n}$ 中的元素，其每个元素都是零，除了 $k$ 个元素，它是 1。由于 $\varphi$ 是满射，第一个同构定理意味着

$M\cong R^{n}/K$,

其中 $K=\ker \varphi$。如果 $K=\{0\}$，那么结论就得到了证明。我们假设 $K\neq \{0\}$，并推导出矛盾。事实上，在这种情况下存在一个非零向量 $0\neq v\in K$。我们记 $v:=(v_{1},\ldots ,v_{n})$，并令 $d:=\gcd(v_{1},\ldots ,v_{n})$。那么 $v/d\in K$，否则 $v/d$ 在 $R^{n}/K$ 中的像通过标准投影将是一个扭元。由于 我们有 $\gcd(v_{1}/d,\ldots ,v_{n}/d)=1$，我们 可以将 $v$ 扩展为 $R^{n}$ 的一个基 $\{v,w_{2},\ldots ,w_{n}\}$，然后 $R^{n}/K$ 由 $w_{2},\ldots ,w_{n}$ 通过标准投影的像生成。但这与 $n$ 的最小性矛盾。 $\Box$

定理（戴德金定理）:

令 $R$ 为一个贝祖域，并令 $M$ 为一个 $R$ 上的无挠模。则 $M$ 的每个有限生成子模 $N\leq M$ 是自由的。

证明：如果 $M$ 是无挠的，则 $M$ 的每个子模也是无挠的。因此，$N$ 如定理所述是无挠的且有限生成的。因此，存在 $N$ 的一个基。 $\Box$

命题（在贝祖域上的基扩展）:

令 $R$ 为一个贝祖域，并令 $M$ 为一个 $R$ 上的无挠模。如果 $v_{1},\ldots ,v_{k}$ 是 $M$ 中线性无关的向量，使得 $M/\langle v_{1},\ldots ,v_{k}\rangle$ 是无挠的且有限生成的，那么我们可以找到一个 $n\in \mathbb {N}$ 和向量 $v_{k+1},\ldots ,v_{n}\in M$ 使得向量 $v_{1},\ldots ,v_{k},v_{k+1},\ldots ,v_{n}$ 构成 $M$ 的一个基。

证明： 由于 $M/\langle v_{1},\ldots ,v_{k}\rangle$ 是无挠的且有限生成的，在选择一个最小基数的生成集后，我们得到了该模的基。我们将此基记为 $g_{1},\ldots ,g_{m}$。此外，如果

$\pi :M\to M/\langle v_{1},\ldots ,v_{k}\rangle$

是标准投影，我们选择一个 $w_{j}\in \pi ^{-1}(g_{j})$ 对于每个 $j\in \{1,\ldots ,m\}$。我们断言 $\{v_{1},\ldots ,v_{k},w_{1},\ldots ,w_{m}\}$ 是一个基。首先，我们证明这些向量是线性无关的。事实上，假设 $a_{1},\ldots ,a_{m},b_{1},\ldots ,b_{k}\in R$ 使得

$0=a_{1}w_{1}+\cdots +a_{m}w_{m}+b_{1}v_{1}+\cdots +b_{k}v_{k}$.

由于 $\pi$ 是一个同态，

$0=\pi (0)=\pi (a_{1}w_{1}+\cdots +a_{m}w_{m}+b_{1}v_{1}+\cdots +b_{k}v_{k})=a_{1}g_{1}+\cdots +a_{m}g_{m}$,

因此 $a_{1}=a_{2}=\cdots =a_{m}=0$。因此

$b_{1}v_{1}+\cdots +b_{k}v_{k}=0$,

由于 $v_{1},\ldots ,v_{k}$ 线性无关，因此 $b_{1}=b_{2}=\cdots =b_{k}=0$。

现在需要证明 $\{v_{1},\ldots ,v_{k},w_{1},\ldots ,w_{m}\}$ 是 $M$ 的生成集。为此，假设 $u\in M$ 是任意的。我们选择 $a_{1},\ldots ,a_{m}\in R$ 使得

$\pi (u)=a_{1}g_{1}+\cdots +a_{m}g_{m}$.

我们进一步定义 $u':=u-a_{1}w_{1}-\cdots -a_{m}w_{m}$，使得 $\pi (u')=0$。但根据 $\pi$ 的定义，这意味着 $u'\in \langle v_{1},\ldots ,v_{k}\rangle$，因此存在 $b_{1},\ldots ,b_{k}\in R$ 使得

$u'=b_{1}v_{1}+\cdots +b_{k}v_{k}$，因此 $u=u'+a_{1}w_{1}+\cdots +a_{m}w_{m}=b_{1}v_{1}+\cdots +b_{k}v_{k}+a_{1}w_{1}+\cdots +a_{m}w_{m}$,

这表明 $\{v_{1},\ldots ,v_{k},w_{1},\ldots ,w_{m}\}$ 是 $M$ 的生成集，因为 $u$ 是任意的。 $\Box$

定理（维数公式）: