MATLAB 拟合演示

在许多情况下，需要将非线性函数拟合到测量数据，MATLAB 提供了一个非常灵活的平台来执行此分析。本文档提供了一个对标准双室血流模型进行最小二乘拟合的示例

其中 K1 是血管流向组织的速率常数，k2 是组织流向血管的速率常数，A(t) 是大脑中的活性，Ca(t) 是血液中的活性。

MATLABleastsq函数随优化工具箱提供，是解决此问题的明显选择，因为它对多维问题执行非线性最小二乘拟合。请参阅 MATLAB 文档，以详细了解leastsq函数的工作原理以及它接受哪些选项。出于我们的目的，将使用它的默认容差和拟合算法（Levenberg-Marquardt）。

在 MATLAB 中执行曲线拟合有几个步骤

创建一个返回函数值的函数。在这个例子中，我们需要一个返回 A(t) 计算值的函数，基于给定的 K1 和 k2，以及测量的 Ca(t) 曲线。在 MATLAB 中，这非常简单

function sim = simrat (vars, times, Ca)

   expfun = exp(-vars(2)*times);
   conv = nconv(Ca, expfun, times(2)-times(1));
   conv = conv (1:length(times));
   sim = vars(1)*conv;

这个简短的函数在给定拟合变量（在本例中，K1=vars(1), 和 k2=vars(2)), 一个时间向量，以及一个 Ca 值向量的情况下，返回 A(t) 的值。第一行计算方程的指数部分，第二行计算卷积，第三行将卷积剪切到我们感兴趣的长度，第四行设置返回值（K1 乘以卷积）。

创建一个返回残差值的函数（实际上，可以将此函数与前面的函数合并）。以下函数从前面的函数获取函数值，并返回残差

function error = fitrat (vars, ts_even, plasma_even, brain_even)

    sim = simrat (vars, ts_even, plasma_even);
    error = brain_even - sim;

调用leastsq, 传递返回残差的函数名称

[final, options, f, j] = leastsq ('fitrat', [K1 k2], [], [], ...
                              ts_even, plasma_even, brain_even);

leastsq将调用函数 fitrat 获取残差，并按顺序传递 [K1 k2]（将在 vars 中接收）、ts_even、plasma_even 和 brain_even。该leastsq函数在 final 中传递回最终参数（解），选项向量（给出诸如迭代次数等信息），以及解处的残差和雅可比矩阵。

通过调用 MATLAB 获取 95% 的置信区间confint函数（也来自优化工具箱）。

[conf, var] = confint (final, f, j);

此函数接受最小二乘问题的解（final）、解处的残差（f）和解处的雅可比矩阵（j）。它返回 95% 的置信区间和方差（有关详细信息，请参阅 MATLAB 优化工具箱文档，或在 MATLAB 中键入help confint）。