物理数学方法/线性代数

人类已知的最简单的结构，我们可以研究“代数”和“微积分”运算，是巴拿赫空间。希尔伯特空间在物理学中至关重要，因为它们不仅是巴拿赫空间的特例，而且还包含内积的概念以及相关的共轭对称性。(本章需要对基本测度论有所了解)

内积

设 $V$ 是在 $F$ 上的向量空间(这里， $F$ 代表 $\mathbb {R}$ 或 $\mathbb {C}$ )。二元运算 $(\cdot ):V\times V\to F$ 称为定义内积当且仅当，

对于所有 $\mathbf {x} ,\mathbf {y} \in V$ ， $a,b\in F$

(i) (共轭对称性): $(\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} )={\overline {(\mathbf {y} \cdot \mathbf {x} )}}$

这意味着

(\mathbf {x} \cdot \mathbf {x} )\in \mathbb {R}

因为

(\mathbf {x} \cdot \mathbf {x} )={\overline {(\mathbf {x} \cdot \mathbf {x} )}}

(ii) (第一个变量的线性): $(a\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} )=a(\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} )$

共轭对称意味着

(\mathbf {x} \cdot b\mathbf {y} )={\overline {(b\mathbf {y} \cdot \mathbf {x} )}}={\overline {b(\mathbf {y} \cdot \mathbf {x} )}}={\overline {b}}(x\cdot y)

（iii）（正定性）： $(\mathbf {x} \cdot \mathbf {x} )\geq 0$ 对于所有 $\mathbf {x} \in V$

（iv）（非退化性）： $(\mathbf {x} \cdot \mathbf {x} )=0$ 当且仅当 $\mathbf {x} =\mathbf {0}$

如果在 $V$ 上定义了内积，那么我们称 $V$ 为内积空间。

复共轭有时用 ${\overline {z}}=z^{*}$ 表示。

希尔伯特空间

观察到内积的正定性意味着我们可以在 $V$ 上定义一个范数，为 $\forall \mathbf {x} \in V$ ， $\|\mathbf {x} \|=(\mathbf {x} \cdot \mathbf {x} )^{1/2}$

如果 $V$ 在此范数下完备，我们称 $V$ 为希尔伯特空间。

因此希尔伯特空间是完备的内积空间。

示例

在以下给出的希尔伯特空间示例中，标量的基础域是复数域C，尽管类似的定义适用于标量的基础域是实数域R的情况。

欧几里得空间

每个有限维内积空间也是希尔伯特空间。例如，Cⁿ 在由以下内积定义的空间中：

\langle x,y\rangle =\sum _{k=1}^{n}x_{k}{\overline {y_{k}}}

其中复数上的横线表示其共轭复数。

序列空间

给定一个集合B，序列空间 $\ell ^{2}$ （通常读作“小ell二”）在B上定义为

\ell ^{2}(B)={\big \{}x:B{\xrightarrow {x}}\mathbb {C} {\text{ and }}\sum _{b\in B}\left|x\left(b\right)\right|^{2}<\infty {\big \}}.

该空间通过内积成为希尔伯特空间

\langle x,y\rangle =\sum _{b\in B}x(b){\overline {y(b)}}

对于 $\ell ^{2}(B)$ 中的所有x和y。B在该定义中不必是可数集，尽管如果B不可数，则得到的希尔伯特空间不可分离。每个希尔伯特空间都与 $\ell ^{2}(B)$ 之一同构，其中B是一个合适的集合。如果B=N，即自然数，则该空间是可分离的，简称为 $\ell ^{2}$ .

从旧的希尔伯特空间中获得新的希尔伯特空间

两个（或多个）希尔伯特空间可以通过取它们的直和或张量积来组合以产生另一个希尔伯特空间。

平方可积函数

在希尔伯特空间的例子中，对于物理学家来说，最感兴趣的是 ${\mathcal {L}}^{2}$ 空间。

考虑 ${\mathcal {L}}^{2}$ 是所有函数 $f:[a,b]\to \mathbb {C}$ 的集合，这些函数对于实测度 $\mu$ 来说是平方可积的，即 $\int _{a}^{b}\|f\|^{2}d\mu$ 是定义良好的。

在 ${\mathcal {L}}^{2}$ 上定义内积为

$(f*g)=\int _{a}^{b}f(x)^{*}g(x)d\mu$

只要内积对任意一对函数 $f,g$ 存在，我们可以看出 ${\mathcal {L}}^{2}$ 是一个内积空间。

读者可能会注意到这里存在一个歧义，因为 $(f*g)=(f*g')$ 不一定意味着 $g=g'$ 。为了解决这个问题，我们在函数之间使用不同的等价关系， $f\sim f'\Leftrightarrow \int _{a}^{b}\|f-f'\|d\mu =0$ ，因此， $f=f'$ 在 $[a,b]$ 的所有点上都成立，除了一个测度为 $0$ 的点集。