数学证明与数学原理/历史/欧几里得之后
在欧几里得之后 2000 年里，尽管数学整体发展很大，但公理方法的进展却非常缓慢。希腊文化开始衰落，最终被罗马帝国所吸收。罗马人不像他们的前辈那样对几何学感兴趣，他们对几何学的逻辑结构更不感兴趣。当罗马灭亡时，欧洲大部分地区陷入了黑暗时代，但在阿拉伯世界和印度次大陆，数学的进步仍在继续。（应该提一下，数学在世界其他地方独立发展，但缺乏交流意味着这些知识不会在我们的故事中发挥重要作用。）
也许这一时期实用数学最重要的进步是十进制算术的发明。随着科学知识从阿拉伯人那里逐渐传入欧洲，十进制算术进入了欧洲，但直到印刷术的使用才完全取代了现有的罗马数字系统。
虽然几何学的知识在这一时期得到了扩展，但数字的理解方式发生了更大的变化。很难想象一个世界，数字的概念与我们今天熟悉的概念不同。但是，如果你看一下几何原本中的数字部分，很容易从它的结构和措辞中看出欧几里得生活在一个这样的世界里。
首先，希腊人对比率的理解与我们不同。对他们来说，比率只存在于两个类似的量之间，例如两个长度。将速度定义为距离与时间的比率的想法对他们来说毫无意义。说希腊人知道无理数只是部分正确。他们知道不可公度的比率，这些比率在现代思维方式中对应于无理数，但他们不认为这些比率是数字。他们确实有除法的概念，即乘法的反面，但对他们来说，这是一个与评估比率不同的概念。
更微妙的是，他们认为数字是给定单位的倍数。这个单位可以分成若干个较小的单位，从这些较小的单位中，你可以得到原始单位的分数。但数字本身在以足够小的原始单位分割表示时总是整数。用现代术语来说，数字对他们来说总是理性的。由于两个数字具有相同的类型，欧几里得认为在它们之间存在比率是可能的，但这实际上与用一个数字除以另一个数字不同。
他们没有零或负数的概念。事实上，他们是否将 1 视为一个真正的数字都值得怀疑，因为他们认为数字与多数是同义词。
这一时期的另一个创新是发明了表示数学概念的符号。今天使用的大多数符号都源于文艺复兴时期。例如
- 等号（=）是由罗伯特·雷科德在 1557 年发明的
- 加号和减号（+ 和 -）首次出现在 1489 年约翰内斯·维德曼的一本书中。
负数和零是从印度通过阿拉伯人传入欧洲的。尽管人们对它们是否代表任何真实的概念以及当一个问题的答案是负数时该怎么办存在疑虑，但由于它们使代数变得更加简单和方便，人们还是接受了它们。并不是说它们从未出现问题。例如，只要你坚持加法、减法和乘法，零就可以，但像（用现代符号）a/0 这样的表达式呢？它表示无穷大吗？
至于负数，在算术运算方面，它们很好，一旦人们弄清楚了负数乘以负数等于正数这个相当奇怪的规则。但当你试图比较它们的大小的时候，麻烦就来了。这有点牵强，但可以接受负数表示小于零的东西。但如果 -1<0<1，那么 1/-1 必须 >1，那么当然这意味着 -1 = 1/-1 > 1 > -1，这是不可能的。
对于这些问题，求助于直觉没有用，因为零和负数从一开始就不直观。欧几里得也帮不了忙，因为他只处理正数和比率。因此，通常的做法是闭上眼睛，想想英国，继续下去，直到得到答案。即使有明显的问题，你得到的答案可能也是正确的，这引出了最大的悖论：不正确的方法怎么能产生正确的结果呢？
然而，新的数字类型不断出现。通过将负数与平方根结合起来，你得到了像 √-1 这样的表达式，现在可能比所谓的“实数”不那么熟悉，但在当时，它并不比一开始承认负数更糟糕。同样，也有一些不当行为，例如 -1 = (√-1)×(√-1) = √((-1)×(-1)) = √1 = 1。但同样，便利性因素以及你得到的结果仍然是正确的，这意味着这些问题被忽略了。在这种情况下，是在求解三次方程时使用它们。求解三次方程的方法包括求平方根，在许多情况下，根号下的量是负数。尽管如此，当进行计算并找到解时，它与原始方程相符。
随着新的计算方法，特别是十进制分数的引入，比率和商之间的区别正在消失。量作为数字和度量单位组合的概念正在接近其现代形式。但这意味着无理数的几何解释不再有效，因此希腊人精心构建的它们的逻辑基础也不再成立。对数的发明引入了没有几何或代数基础的无理数，但它们仍然非常有用。
微积分的发明使用了另一种新型数字，莱布尼茨公式中的无穷小和牛顿公式中的流数。流数和无穷小是相关的但不同的概念，但它们都被用来完成一种巧妙的技巧。为了找到瞬时变化率或曲线的切线的斜率，你计算了两个非常小的量的商。从另一个角度来看牛顿和莱布尼茨所做的事情是，他们使用这两个量实际上为零的假设来简化这个除法的结果。因此，在计算的一部分中，这些量不为零，但在计算的另一部分中，它们为零。对于无穷小，莱布尼茨想象这些量无限小，但不知何故不为零。这样一来，你可以在进行除法时将它们视为不为零，然后在稍后的最终结果中将它们视为太小而无法造成影响。流数以不同的方式做了同样的事情。为了计算面积，无穷小以一种更可疑的方式使用。一个区域被分成无限多个无限薄的条带，然后将条带的面积加起来计算总面积。尽管存在哲学上的困难，但这种方法得出了正确答案，并且比早期的方法更容易。与其他创新一样，微积分的实用性导致大多数人忽略了它有问题的基础。
但对许多人来说，这是最后一根稻草，对微积分公式的公开批评开始出现。也许最著名的批评者是乔治·贝克莱，他在 18 世纪初出版了一本名为分析家的小册子。贝克莱似乎是被一位数学家激发的，这位数学家说他论证上帝存在的论据不如严格。贝克莱的回应是采用了一种以牙还牙的论证；数学本身，特别是微积分，并没有达到这位数学家对贝克莱的要求的严谨性标准。
越来越明显的是，数学的基础设施急需修复。但尚不清楚如何解决这些问题，这个问题持续了一个多世纪。