数学证明和数学原理/历史/欧几里得

大约公元前 300 年欧几里得写了几何原本，这是有史以来最成功的教科书。它不仅在它被写成后 2000 年仍在使用，而且对未来数学的发展产生了巨大影响，这些影响通常是欧几里得无法预料到的。

几何原本

几何原本的大部分内容涉及几何学，但也包含了我们现在称为数论的内容。几何学在欧几里得之前已经研究了数千年，虽然它可能包含了一些原创材料（我们只是不知道），但它无疑旨在总结当时已知的更基本的结果，供学习这个主题的新生学习。

让几何原本与众不同的是它的严谨性标准。早期的几何学是一些随机事实、经验法则和近似的集合。欧几里得的方法是从少量“基本原理”开始。这些包括公理、公设和定义，这些都要毫无疑问地被认为是正确的。欧几里得使用这些术语时，它们之间存在差异，我们不需要深入细节，但定义旨在澄清所用术语的含义，而公理和公设被认为是不言自明的，要么是因为它们是常识的产物，要么是因为它们是基本的宇宙理解中显而易见的。从坚实的基本原理开始，进一步的结果使用演绎逻辑添加，就像石头一层一层地用水泥固定在一起，形成一座宏伟的塔楼。

事后看来，我们可以看到欧几里得作品中的缺陷。但是，使用这种方法来创造一个如此广泛的知识体系，并且在每个细节中都具有如此确定性的理想仍然存在。这种公理化方法是数学的特征，也是所谓的形式科学的特征。相比之下，科学方法是在更晚的时期经过更长的时间才发展起来的，它体现了所谓的自然科学。

欧几里得的影响

由于人们对欧几里得的了解实在太少，因此很难说几何原本是如何被构建成现在的样子的。但有两个哲学家对它的影响是可以被察觉的。第一个是柏拉图，他的理想理论。它指出现实世界中的每个物体都只是理想世界中完美版本的不完美复制品。欧几里得几何中的点、线和平面是现实世界中存在的理想化版本。在现实世界中，一个田野可能近似地是平坦的，但它也有岩石、沟壑，可能还有兔子洞或老树桩。但欧几里得几何中的平面是现实世界中平坦、无特征的完美版本。

几何原本的结构几乎肯定受到亚里士多德工具论的启发。亚里士多德看到了避免循环推理需要基本原理。此外，欧几里得对公理、公设和定义的使用几乎完全符合亚里士多德的观点。欧几里得使用的逻辑比亚里士多德描述的要灵活得多，但公平地说，亚里士多德的逻辑不足以完成欧几里得要求的任务。

使用逻辑方法建立几何结果可以追溯到泰勒斯。然而，据我们所知，这些是孤立的定理，而不是欧几里得所创造的那种统一整体的一部分。但他的方法几乎肯定影响了柏拉图和亚里士多德，因此成为了几个世纪后发展起来的公理化方法的种子。

同样地，希俄斯人希波克拉底（不要与医生希波克拉底混淆）通常被认为是第一个将几何学的阐述按逻辑顺序排列的人。不幸的是，只有他的作品的片段还存在，因此不可能判断它的逻辑排列程度或欧几里得受到它的影响程度。

另一个可能的影响不是哲学上的，而是文化上的。托勒密一世，欧几里得在亚历山大城教学时统治者，非常积极地鼓励知识的传播和进步，并建立了著名的亚历山大图书馆。（从历史上看，这种态度似乎相当罕见，总的来说，君主往往漠不关心知识本身的追求，尽管有些人对此表示公开的敌意。）有些人声称，休闲阶层的出现以及当时对实用事物普遍的厌恶也发挥了作用。