数学证明与数学原理/历史/平行公理问题
改革数学基础的一个重要步骤是发展了现在被称为非欧几何的东西。这源于人们认为《几何原本》存在一个重大缺陷。实际上，正如我们之前提到的，《几何原本》确实存在许多缺陷，无论大小，都是在事后才被发现的。
欧几里得，效仿亚里士多德，区分了公理和公设。公理指的是那些普遍适用的真理，而公设则是与手头主题相关的真理。因此，欧几里得的五个公设并不包括像
从相等的东西中减去相等的东西，结果仍然相等。
这样的陈述。公设包含关于点、线、圆和角的假设。例如
可以用任何中心和任何半径画一个圆。
这些公设中的大多数看起来简单直观，但第五公设既冗长又不太明显。它的实际陈述是
如果一条直线与两条直线相交，使得同侧内角之和小于两个直角，那么这两条直线如果无限延长，将在该侧相交，且相交角小于两个直角。
这看起来像一个可以从其余公理和公设中证明的定理，但寻找这样一个证明一直是一个悬而未决的问题。如果没有找到证明，也许可以找到一个新的、更简单、更明显的公设来代替它。人们偶尔会发表错误的证明，但这些证明后来被发现存在逻辑错误，这反而使问题更加令人着迷。在之前也有一些关于该问题的进展，但第一个重大突破来自 18 世纪初的乔瓦尼·萨凯里，巧合的是，这与贝克莱写《分析者》的时间一致。
但在详细介绍这个问题之前，值得讨论一下《几何原本》中发现的其他一些问题。从第一卷第一命题开始，关于等边三角形的作图，欧几里得在没有证明的情况下就假设了他所画的两个圆存在交点。从图中，它看起来似乎很明显，两个圆相交，但这并不能替代证明；有许多例子表明，从图中看起来很明显的东西实际上并不成立。在第一卷第四命题中，欧几里得试图证明，如果两个三角形有两条边和它们的夹角相等，那么这两个三角形全等。证明使用了刚体运动，即三角形可以在平面上移动而不改变其性质的想法。至少需要一个公设才能使这成为一个有效的论证，但现代作者通常将第四命题本身作为公理。还有其他一些例子，但这些例子已经足够说明，今天的证明标准与欧几里得时代的标准非常不同。
萨凯里试图找到一个证明，并于 1733 年发表了其结果，书名颇为雄心勃勃，叫做《欧几里得从所有瑕疵中解脱出来》。他的方法是考虑一个所谓的萨凯里四边形。（实际上，欧玛尔·海亚姆早些时候就研究过这些，但数学中使用的名字往往不准确。另一方面，由于萨凯里的贡献几乎被历史遗忘，直到 1889 年才被贝尔特拉米重新发现，也许现在看来是公平的。）一个萨凯里四边形 ABCD 有两条相对的边 AD 和 BC 相等，且在 A 和 B 处有直角。可以证明，角 C 和 D 然后相等。利用平行公设，可以证明 C 和 D 实际上是直角，萨凯里四边形只是一个矩形。同样可以证明，如果 C 和 D 是直角，那么平行公设必须成立，所以为了证明平行公设，只需要排除 C 和 D 是钝角的情况，以及 C 和 D 是锐角的情况。这是一个关于将问题简化为三种情况的众多例子之一，而第五公设成立的情况在某种程度上处于其余两种情况的边界。
可以使用剩下的四个公理来排除钝角情况，但证明关键地利用了第二个公设，即一条直线可以无限延长。事实证明，球面几何，因为其在天文方面的应用，其研究时间几乎与平面几何一样长，是一个完全一致的几何体系，其中第二个公设和第五公设都不成立。必须重新解释“直线”一词，使其表示“大圆”，并在术语上做出其他改变，但从纯粹的逻辑角度来看，这种“球面几何”与平面几何相似，只是用新的公设代替了第二个和第五个公设。这个事实的重要性直到很久以后才被认识到。
剩下的就是锐角情况。萨凯里为这种假设的几何发展了一套完整的理论，希望能推导出矛盾。最后，他证明了在这个几何中，两个相似三角形必须全等的定理，他认为这个事实与空间的本质相矛盾。尽管没有逻辑上的矛盾，只有一个违反直觉和经验的陈述，但萨凯里仍然把证明留在了那里。
虽然萨凯里的尝试在技术上失败了，但它具有影响力，因为它促使后来的作者考虑第五公设是否真的可以从其他四个公设中推导出来，以及一种新的几何类型，一种完全一致的几何，是否可能从锐角情况中产生。其中一位是约翰·兰伯特，他在 1766 年出版了《平行线理论》。这种“非欧几何”可能仍然会证明是矛盾的，但与此同时，它产生了有趣的定理，并具有奇特的吸引力。
到 19 世纪初，研究这种新的假设几何可能存在某种好处的想法引起了高斯的注意。虽然他没有发表自己的作品，但他确实通过信件与他人交流了他的想法。（据说，高斯担心如果他发表了这个有争议的主题，他的声誉会受损，“波奥提亚人的喧嚣”，但如果任何人的声誉能经受住打击，那将是高斯的声誉。）最终，雅诺什·波尔约和尼古拉·罗巴切夫斯基，可能受到高斯的影响，在 1830 年代初都独立发表了关于这种新几何的论文。
与此同时，寻找第五公设的更简单替代方案的努力产生了多种可能性，例如
- 如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条。
- 对于一条给定直线上的两个点，到平行线的距离相等。（西姆森）
- 过不在给定直线上的一点，恰好可以画一条平行线。（普莱费尔）
其他公设，例如（效仿萨凯里）存在矩形，具有简单性的优点，但缺乏效力。因此，如果以它们作为起点来继续进行几何学中的其他部分，就需要做更多的工作。另一个这样的公理是，存在相似的但并不全等的三角形。
应该注意的是，路易·贝特朗在 1778 年发表了被认为是最有说服力的公设“证明”。证明依赖于关于无限面积的某些直觉想法，但这些想法在新几何中被证明是错误的。伯恩哈德·蒂鲍特在 1809 年给出了另一个令人信服的论证，它依赖于方向在平面运动中保持不变的想法。对这些所谓的证明的考察得出的结论是，虽然这个假设的平面在某种意义上可能存在，但它一定是一个非常奇怪的地方。
这个问题最终在 1866 年由尤金尼奥·贝尔特拉米解决。他构建了所谓的这种新几何在欧几里得几何中的模型。在这个模型中，每个几何术语和性质在欧几里得平面上都有不同的解释。通过这些新的解释，欧几里得几何的所有公设都成立，除了第五公设，它是错误的。
这样，任何在假设第五公设为假的情况下推导出的矛盾，反过来，也将导致一个与假设该公设为真相矛盾的矛盾。实际上，这证明了不存在第五公设的证明，当然前提是欧几里得几何是无矛盾的。
与更近期的模型相比，贝尔特拉米的模型有些复杂，因此我们将简要描述所谓的 庞加莱圆盘模型。在一个平面上固定一个圆 C。
- “点”指的是圆盘 *C* 内部的一个点。
- “线”指的是与圆盘 *C* 垂直相交的圆弧。
- 距离、角度和面积的公式可以用参与其中的点和线的性质来表示。一个早期的结果是，三角形的面积与其角亏成正比，角亏定义为三角形内角和与 π 的差值。
这种新的几何体系可能是逻辑一致的，但它肯定不是实际宇宙的几何体系，是吗？实际上，在小尺度上，新的几何体系几乎与欧几里得几何体系相同。因此，如果有人试图通过实验来确定第五公设是否成立，例如通过测量三角形的内角和，如果三角形太小，实验将是无定论的。但宇宙相对于我们所在的一部分是广阔的，因此我们无法测量到足够大的三角形来发现欧几里得宇宙和非欧几里得宇宙之间的差异。
事实上，根据爱因斯坦的广义相对论，时空是弯曲的，类似于非欧几里得几何中线“弯曲”相互靠近或远离的方式。时空弯曲的程度取决于天体的存在，引力的效应实际上被认为是这种弯曲的效应。因此，相对论指出空间实际上是非欧几里得的，但这对解释物理宇宙是有用的。
实际上，考虑到由于引力造成的局部变化，现代宇宙学正接近于回答宇宙是否是“平坦的”，换句话说，是否是欧几里得的。当然，我们只能描述可观测宇宙是什么样的，不可观测宇宙超出了科学的范围。此外，由于欧几里得情况位于正曲率情况（钝角）和负曲率情况（锐角）之间的边界，欧几里得的结果永远不会是决定性的；测试精度的提高仍然可能使天平倾向于其他情况之一。事实证明，我们正处于这种情况，尽管测量精度表明欧几里得在百分之几之内。
这些发展对数学哲学的影响是深远的，也许与进化论对生物学的影响相当。公理和公设不再被视为不言自明的真理。一种几何体系可能比另一种几何体系更能描述你在现实世界中看到的东西，但没有绝对真实的几何体系。如果不存在绝对的真实世界几何体系，那么也许其他数学概念（如数字）也是如此。
从某种程度上说，这使得数学与象棋或大富翁这样的游戏处于同一水平。数学理论的公理对应于游戏的规则。正如一组规则可能比另一组规则导致更有趣的游戏一样，一组公理可能导致比另一组公理更有用或更有趣的数学理论。但不存在一组完美的规则来创造一个完美的游戏。
但这种新发现的不确定性并非完全是坏事。摆脱了几何必须与直觉和观察世界相符的限制，新的几何类型开始出现，从而产生了新的数学领域。
其中之一是法诺平面，它有点和线，但没有距离或角度的概念。点和线的数量是有限的，因此整个几何体系可以用一个简单的图来表示。
另一个好处是，可以为现有的公理集找到新的解释。这意味着可以为为完全不同的东西开发的理论找到新的应用。
- 莫里斯·克莱因，《数学：确定性的丧失》，牛津大学出版社，1980 年，第 4 章。
- 威廉·弗兰克兰，《平行理论：历史批判》，大学出版社，1910 年