数学证明与数学原理/预备知识/数学命题

数学家工作的素材不是数字、图形或公式，而是命题。我们写下一个命题，写下其他旨在让人们相信它是真的命题，然后如果一切顺利，我们就宣布该命题是一个定理，并从一个新的命题开始。

所以在继续之前，讨论一下我们所说的命题以及如何使用它们将很有帮助。我们不会说我们正在定义一个命题，因为这样的定义将由命题组成，而我们还没有决定定义到底是什么。

什么是命题？

命题是一个有意义的句子，可以是真或假。（在语法上，这大致对应于陈述语气。）例如

人类是凡人。

是一个碰巧为真的命题，而

太阳绕地球运行。

是一个碰巧为假的命题（至少根据目前的宇宙学理论）。

另一方面，句子

哪两支球队将在板球世界杯决赛中对决？

是一个问题（疑问语气），而不是命题。有些问题可以回答是或否，但问题本身不能是真或假。同样，句子

去完成你的家庭作业。

是一个命令或请求（祈使语气），而

多么精彩的进球！

是一个感叹；两者都不是命题。

数学命题

在数学中，命题必须关于数学概念或对象。例如

人类是凡人。

猫科动物是肉食动物。

是一个生物学命题，而

数字 4 是偶数。

是一个数学命题，因为它涉及一个数学对象，即数字 4，和一个数学概念，即偶数。

此外，数学命题要求清晰、明确，不受主观意见的影响。自然语言本质上含糊不清，有时带有主观性，因此在一定程度上，为了避免这种情况，已经发展出特殊的数学语言。人类有非凡的能力正确地解释含糊不清的措辞并填补隐藏的假设，但数学概念通常不熟悉，因此需要更加谨慎。

例如，考虑

我的猫是黑白色的。

这似乎是一个非常简单无害的陈述。但是当您尝试确定它的实际含义时，似乎还有更多内容。首先，这个句子可以以多种方式解析。例如

我的猫是黑色的，我的猫是白色的。

我的猫是黑色和白色的混合。

我的猫部分是黑色的，部分是白色的。

我们知道，一样东西不可能既是黑色又是白色的，而黑色和白色的混合通常被称为灰色，因此我们接受第三种解释，没有经过思考。我们还自动假设该陈述是指我的猫的毛皮，不包括，例如，它的眼睛，它们恰好是绿色的。而且“我的猫”这个短语还有更多含义，它没有真正说出来，而是表明我有一只猫，因为我说的是“我的猫”，而不是“我的猫之一”，这意味着我只有一只猫。为了将该陈述扩展成它在不含糊的语言中实际上所说或暗示的内容

我至少拥有一只猫。

我没有两只不同的猫。

我拥有的那只猫有毛皮。

我拥有的那只猫的毛皮部分是黑色的。

我拥有的那只猫的毛皮部分是白色的。

我拥有的那只猫的所有毛皮都是黑色或白色的。

由于自然语言可能含糊不清，因此已经发展出符号表示法，它不仅更精确，而且也更简洁，因为它允许用几个符号来捕捉复杂含义。让我们比较一下欧几里得的《几何原本》中在发明这种表示法之前的命题，以及现在如何表达相同的命题。

欧几里得：如果两个数相乘得到某个数，则所得到的数彼此相等。（第七卷命题 16，T.L. 希思翻译）

现代：如果 *a* 和 *b* 是任意两个数，则 *ab* = *ba*。

最后，数学命题不能是主观意见。所以句子

4 很漂亮。

可能是一个关于数字的命题，但它是一个关于意见而不是事实的命题。有些人可能同意，有些人可能不同意，因此无法就它是否为真或假达成普遍共识。实际上，这样的句子确实出现在数学中，但仅作为评论。例如

这个公式非常复杂。

这个命题看似很明显，但很难证明。

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在电视剧《星际迷航》的“我，玛德”一集中，银河系即将被一群善意但专横的机器人统治。他们唯一的明显弱点是，他们很容易被人类的非理性行为所迷惑。因此，一个计划诞生了，一个非常愚蠢和不合理的滑稽表演上演了，作为最后的致命一击，一个人类对机器人领导者诺曼说：“现在仔细听，诺曼，我在撒谎。”这个机器人，显然别无选择，只能试图决定该陈述是真是假，陷入了无限矛盾的循环。机器人被停用，（剧透警告！）银河系得救了。

打败机器人的句子基于

这个句子是假的。

这被称为说谎者悖论。如果这个句子为真，那么由于它说它是假的，它就必须是假的。但如果它为假，那么它就必须不是假的，或者为真。这个悖论有很多解释和可能的解决方法，但就数学目的而言，将这个句子作为不是命题而将其排除就足够了。这个悖论的原因似乎在于，这个命题在某种程度上是关于它自身的。在数学中，这样的“自指”句子不被视为命题，因此整个问题都被避免了。

虽然命题是数学中使用最多的句子类型，但坚持说没有其他类型出现是愚蠢的。请求和问题都用来陈述问题，请求在逻辑论证中使用。

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命题概念的一个变体是谓词。您可以将其视为一个函数，其值是真或假。例如

*x* 是一个偶数。

是变量 *x* 中的谓词。它本身不是一个命题，因为它是真是假取决于 *x* 的值。当 *x* 被替换为一个特定值时，比如 4，您将得到

4 是一个偶数。

它是一个命题。

谓词的概念可以推广到允许一个以上的变量。这是最一般的情况，因为您可以将命题视为零个变量的谓词。多个变量的谓词有时被称为关系，以下是一些例子

*x* = *y*

三角形 *X* 与三角形 *Y* 全等。

点 *R* 位于点 *P* 和 *Q* 之间。

*a*:*b*::*c*:*d*

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1. 判断以下句子是否可以作为命题接受。如果是，则判断它们是否清晰明确。
2. 所有等边三角形都是等腰三角形。
3. 有些等腰三角形是等边三角形。
4. 所有等腰三角形都是等边三角形。
5. 有些有理数是整数。
6. 有些有理数不是整数。
7. 并非所有整数都是有理数。