数学证明与数学原理/预备知识/数学语句

数学家的工作基础并非数字、图表或公式，而是语句。我们写下一个语句，再写下其他旨在说服人们它为真的语句，然后，如果一切顺利，我们就宣布该语句为定理，并从一个新的语句开始。

因此，在继续之前，讨论一下我们所说的语句以及如何使用它们会很有帮助。虽然我们不会说我们正在定义语句，因为这种定义将由语句组成，而我们还没有决定定义究竟是什么。

什么是语句？

一个语句是一个有意义的句子，它可以是真或假。（在语法上，这大致对应于陈述语气。）例如

人类是凡人。

是一个恰好为真的语句，而

太阳绕地球运行。

是一个恰好为假的语句（至少根据现行的天文理论）。

另一方面，句子

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是一个问题（疑问语气），而不是一个语句。有一些问题可以回答是或否，但问题本身不能是真或假。同样，句子

去完成你的作业。

是一个命令或请求（祈使语气），而

多么精彩的进球！

是一个感叹；都不是语句。

数学语句

在数学中，语句必须是关于数学概念或对象的。例如

人类是凡人。

猫是哺乳动物。

是一个生物学语句，而

数字 4 是偶数。

是一个数学语句，因为它涉及一个数学对象，数字 4，和一个数学概念，偶数性。

此外，数学语句要求清晰、明确且不受意见影响。自然语言本质上是模糊的，有时是主观的，因此在一定程度上，特殊的数学语言已经发展起来以避免这种情况。人类有非凡的能力来正确解释模棱两可的措辞并填补隐藏的假设，但数学概念通常并不熟悉，因此需要更加小心。

例如，考虑

我的猫是黑白色。

这看起来像一个非常简单无害的语句。但当你试图确定它的实际含义时，似乎它还有更多内容。首先，这个句子可以以几种方式解析。例如

我的猫是黑色的，我的猫是白色的。

我的猫是黑白色混合的。

我的猫部分是黑色的，部分是白色的。

我们知道，某事物不可能既是黑色又是白色的，而黑白色混合通常称为灰色，因此我们接受第三种解释，而没有思考它。我们也自动假设这个语句指的是我的猫的皮毛，并且排除了例如它的眼睛，它的眼睛恰好是绿色的。并且“我的猫”这个短语在没有实际说出这句话的情况下，还蕴含着我有一只猫的含义，并且因为我说的是“我的猫”而不是“我的猫之一”，所以意味着我只有一只猫。为了将这个语句扩展成它在明确语言中实际所说的或隐含的

我至少拥有一只猫。

我没有拥有两只不同的猫。

我拥有的猫有皮毛。

我拥有的猫身上的一些皮毛是黑色的。

我拥有的猫身上的一些皮毛是白色的。

我拥有的猫身上所有的皮毛要么是黑色的，要么是白色的。

由于自然语言可能是模糊的，因此已经发展出符号表示法，它不仅更加精确，而且更加简洁，因为它允许用很少的符号来捕获复杂的含义。让我们比较一下欧几里得的《几何原本》中在发明这种表示法之前的一个语句，以及现在如何表达同一个语句。

欧几里得：如果两个数相乘得到某些数，那么这些数的积将相等。（卷七，命题 16，T.L. 希思的翻译）

现代：如果a和b是任意两个数，那么ab = ba。

最后，数学语句不应是意见问题。因此，句子

4 很漂亮。

可能是一个关于数字的语句，但它是一个意见陈述而不是事实陈述。有些人可能同意，有些人可能不同意，因此无法对它是否为真或假达成普遍共识。实际上，这类句子确实出现在数学中，但仅仅作为评论。例如

这个公式非常复杂。

这个语句似乎很明显，但很难证明。

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在电视剧《星际迷航》的剧集“我，马德”中，银河系即将被一群好意但专横的机器人种族接管。他们唯一明显的弱点是，很容易被人类不合理的行为所迷惑。因此，一个计划诞生了，一个非常愚蠢和不合理的滑稽剧被上演，作为最后的一击，其中一个人类对机器人首领诺曼说：“现在仔细听我说，诺曼，我在撒谎。”这个机器人显然别无选择，只能试图判断这个语句是真是假，它陷入了无限的矛盾循环。机器人被禁用了，（剧透警告！）银河系得救了。

打败机器人的句子是基于

这句话是假的。

这被称为说谎者悖论。如果这个句子是真，那么因为它声称自己是假的，所以它一定是假的。但如果它是假的，那么它一定不是假的，也就是真的。对于这个悖论有许多解释和可能的解决方案，但对于数学目的来说，将这个句子排除在语句之外就足够了。这个悖论的原因似乎在于这个语句在某种程度上是关于它自身的。在数学中，这种“自指”句子不被认为是语句，因此避免了整个问题。

虽然语句是数学中使用最主要的句子类型，但坚持说没有其他类型出现是愚蠢的。请求和问题都用来陈述问题，而请求则用于逻辑论证中。

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语句概念的一个变体是谓词。你可以把它想象成一个函数，它的值要么是真要么是假。例如

x 是一个偶数。

是变量x中的一个谓词。它本身不是一个语句，因为它是否为真取决于x的值。当x被一个特定的值代替，比如 4，你就会得到

4 是一个偶数。

这作为一个语句。

谓词的概念被推广以允许不止一个变量。这是最一般的情况，因为你可以将语句看作是零个变量中的谓词。多个变量中的谓词有时是关系，一些例子是

x = y

三角形X与三角形Y全等。

点R位于点P和Q之间。

a:b::c:d

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判断以下句子是否可以作为语句接受。如果是，则判断它们是否清晰明确。
所有等边三角形都是等腰三角形。
有些等腰三角形是等边三角形。
所有等腰三角形都是等边三角形。
有些有理数是整数。
有些有理数不是整数。
并非所有整数都是有理数。