数学证明与数学原理/预备知识/什么是数学
正如我们在本书开头提到的，数学作为一个整体，与大多数人孩提时学习的数学大相径庭。因此，讨论一下我们所说的“数学”是什么意思，并不会有什么坏处。实际上，对数学进行定义是一件很困难的事情，主要原因是定义会随着时间推移而发生变化。但专注于数学的不同方面也许会有所帮助，尽管读者可能会觉得这种方法就像盲人摸象一样。
作为知识体系，数学在哲学和科学之间占据着某个位置。与科学不同，它依赖于演绎推理而非归纳推理作为真理的检验标准。与哲学不同，它关注特定实体，例如数字、空间和关系。尽管这些实体是抽象的，但它们似乎具有独立的存在，并以意想不到的方式表现。与科学一样，数学寻求发现和描述模式，但这些模式不一定与现实世界中的任何事物相关。与哲学一样，它试图运用理性来解决根本问题，但仅限于那些它认为属于数学范畴的问题。
更具体地说，数学是对诸如数量（算术、代数）、空间（几何）、变化（微积分）和抽象结构（集合论、组合数学）等事物的研究。但真正将数学与众不同的是研究方法，而不是研究对象。数学试图架起一座桥梁来扩展知识。它不使用实验或观察来做到这一点，而是使用逻辑推演。这并不是说数学不使用实验，而是实验用于指导研究方向，而不是用于验证理论。
数学的另一个方面是活动或过程。你可能会认为这包括计算平方根或求导数，但那只是很小的一部分。作为一种活动，数学所扮演的角色虽然重要，但你却很少看到或甚至想到它。然而，你可能经常在不知不觉中做数学或使用数学。解决数独难题本质上就是一个数学过程，但几乎任何游戏或谜题，从棒球到魔兽世界，都包含着数学的方面。当你观看 YouTube 上的视频或在亚马逊上订购东西时，一个算法会开始工作，以推荐你可能感兴趣的类似视频或产品。这些算法极其复杂（仍然不完美但正在改进）并且会根据新数据进行自我修改，但它们最终都是基于对观众或客户个人偏好的数学模型。在个人层面上，你可能会使用某种数学推理来做出你日常生活中的决定。例如，如果你要买新房子，你可能会考虑通勤时间、学校质量以及不同地区的犯罪率等因素。权衡这些问题的重要性并做出你预测会产生最佳结果的决定，至少在某种程度上，是一个数学过程。
作为一种过程，数学的位置可以在下图中体现。
Data collection Existing Mathematical theory
↘ ↓
Model → Mathematical reasoning → Predictions
↗ ↑
Simplifying assumptions Logic
此图显示了数学在科学理论以及上面给出的示例中的位置。
有人说过（引用伽利略的话），大自然用数学的语言与我们交谈。如果是这样，那么这种语言的词汇和语法是什么？显然，数学符号和方程是词汇的一部分，但抽象概念，如数字和三角形也是如此。如果语法是将词汇组合起来以形成有意义的事物的规则，那么数学的语法就是演绎推理。数学家将这种推理封装在定理和证明中，但要真正理解数学，就必须了解其规则。
虽然右边曼德勃罗集的图像很常见，并且具有视觉上的冲击力，但还有另一层数学美无法立即看到。那就是所有复杂、蕾丝状的图案和无休止地重复的图案都是使用一个简单的公式生成的
- z→z2+c
在制作这样的图像时，需要相当多的创造力；选择颜色是为了突出细节，增强美学效果，并且对图像进行构图，以呈现最佳效果。但这些类似于照片的灯光和构图，而物体本身才是明星。
曼德勃罗集特别上镜，但更重要的是，它是一个数学美的例子。就像这种情况下，曼德勃罗集的旋涡状图案源于上面的简单公式一样，通常情况下，看似非常简单的假设会导致极其复杂和有趣的现象。有时，会发现具有欺骗性的简单图案，但这些图案的原因却出乎意料地复杂。这样，数学概念似乎拥有了生命，以意想不到的方式表现，但由于其数学性质，它们只能以唯一的方式表现。这也许是数学美的核心，但数学的艺术还更进一步。有时，数学问题的解决方案出乎意料地简单，需要一个只有在看到之后才显得明显的技巧。在这种情况下，数学的优雅可以通过对人类工艺的欣赏来创造。
就像大象一样，数学的任何一个方面都不能真正体现这个学科的本质。但是，希望我们已经向你展示了足够的证据，说明数学是一个有生命的实体，而不仅仅是你可能认为的那样硬邦邦、光滑滑的东西，如果你只是触摸过它的象牙，你可能会有这样的想法。