数学证明与数学原理/集合/类

到目前为止，我们唯一证明存在的集合是∅。我们希望继续构建更多集合，例如{∅}、{{∅}}、{∅, {∅}}等等，并定义重要的集合运算，例如并集和交集。非正式地说，要做到这一点，可以使用以下公式：

$\{a\}=\{x:x=a\}$

$\{a,b\}=\{x:x=a\operatorname {or} x=b\}$

$a\cup b=\{x:x\in a\operatorname {or} x\in b\}$

空集可以使用以下公式来匹配这种模式：

$\varnothing =\{x:False\}$

更一般地说，给定谓词P(x)，我们希望使用以下公式：

$\{x:P(x)\}$

表示包含P(x) 为真的所有x 的集合。然而，正如历史部分所见，随意使用任何谓词会导致悖论。因此，每次使用该公式时，都必须有一个定理说明存在这样的集合，以及一个定理说明这样的集合是唯一的。我们需要一些机制来简化这个过程。

类

虽然在 Zermelo-Fraenkel 集合论中没有正式定义类的概念，但非正式定义它仍然很有价值，因为它是一个有用的概念。具体来说，如果P(x) 是一个谓词，则定义类P 为：

$P=\{x:P(x)\}$

在逻辑上，类$P$只是一个谓词$P(x)$，其中$x\in P$是$P(x)$的简写。我们非正式地将类视为满足其定义公式的所有集合的集合。

关于集合的大部分内容也适用于类，只要记住存在限制。一方面，类只能出现在∈符号的右侧。此外，由于类不是我们话语宇宙中的对象，因此它们不能在量词中使用。最后，=符号仅在集合之间定义。我们可以对类进行类似的定义

P=Q 当且仅当对于所有x，P(x) 与Q(x) 相同

但请记住，替换公理不适用于这种类型的相等性。

示例：如果Q(x) 表示谓词

非$(x\in x)$

那么Q 就是导致罗素悖论问题的“集合”。悖论得以避免，因为语句Q∈Q（它将Q 放在∈符号的左侧）甚至不能合法地形成。

如果a 是一个固定的集合，那么我们可以定义谓词A(x) 为：

$x\in a$

那么类A 和集合a 具有相同的元素，换句话说：

$(x\in A)\operatorname {iff} \ (x\in a)$

从某种意义上说，你可以说A=a，但我们在这里踏入了不稳定的领域，因为A 和a 是不同类型；a 是一个集合，而A 技术上仍然是一个谓词。

集合化谓词

与你可能的想法相反，这与 20 世纪初的苏联农业无关。谓词 $P(x)$ 被称为 **集体化**，当

对于某些 $y$，对所有 $x$，$x\in y$ 当且仅当 $P(x)$。

（这是一个二阶谓词的例子，这意味着一个谓词应用于谓词而不是对象。这种东西在我们目前使用的逻辑中不存在，但你可以将其视为对上面短语的简写。）用不太正式的语言，$P(x)$ 是集体化，当存在一个集合 $y$，其元素是 $x$，对于这些 $P(x)$ 为真。

例如，谓词

对于所有 $y$，不 $y\in x$

是集体化的，因为它适用于 ∅。另一方面

不 $x\in x$

不能是集体化的，因为它会导致本章引言中讨论的罗素悖论。

为了了解它如何有用，定义谓词 $Q(y)$，表示

对于所有 $x$，$x\in y$ 当且仅当 $P(x)$。

然后 $P(x)$ 是集体化，与 $Q(y)$ 的存在性质相同。此外，如果我们有唯一性属性，那么

对于 $Y$，$Q(Y)$

是定义明确的。为了证明唯一性属性，我们需要

对于所有 $y$，$z$，$Q(y)$ 和 $Q(z)$ 意味着 $y=z$。

展开来说，就是

定理 SO1：对于所有 $y$，$z$，如果对于所有 $x$，$x\in y$ 当且仅当 $P(x)$，并且对于所有 $x$，$x\in z$ 当且仅当 $P(x)$，那么 $y=z$。

这看起来可能很复杂，但证明它并不难。我们将开始一个提纲，并将细节留给读者。

Choose arbitrary $b$ and $c$, we must now prove that if for all $x$, $x\in b$ iff $P(x)$ and for all $x$, $x\in c$ iff $P(x)$, then $b=c$. Assume for all $x$, $x\in b$ iff $P(x)$ and for all $x$, $x\in c$ iff $P(x)$. So the new goal is to prove $b=c$. Axiom S4 says we can do this by showing $b\subseteq c$ and $c\subseteq b$. To prove $b\subseteq c$ we need to prove that for all x, $x\in b$ implies $x\in c$. But for arbitrary $a$ we have $a\in b$ iff $P(a)$ and $P(a)$ iff $a\in c$ so $a\in b$ implies $a\in c$ by Prop. 9 in the Logical equivalence section.

通过理解定义集合

我们现在可以做出以下定义

定义 SO2：如果 $P(x)$ 是集合化的，则定义

$\{x:P(x)\}$

作为集合，其中

对于所有 $z$，$z\in \{x:P(x)\}$ 当且仅当 $P(z)$。

由此产生的集合被称为通过理解定义的。在接下来的几个部分中，我们将遵循相同的计划；陈述一个公理或证明一个定理，使某个谓词成为集合化的，然后为相应的集合定义符号。

如果 $P(x)$ 不是集合化的，正如我们一直强调的那样，那么严格来说

$\{x:P(x)\}$

是未定义的。但是，将它视为一个类似集合的对象很有用，称为类。

并集

为了从单元素集和对集得到三元组，我们将使用一种更通用的方法来组合集合。通常情况下，从定义两个集合的并集开始，但这实际上是一个更基本操作的特殊情况，即在一个集合上的并集。

公理 SO3（并集公理）： 对于所有 $z$，谓词

存在 $y$，使得 $x\in y$ 且 $y\in z$

是集合化的。

非正式地说，这意味着，给定 $z$，存在一个集合 $u$，使得 $x\in u$ 当且仅当 $x$ 是 $z$ 中某个元素的元素。

这允许我们做出如下定义

定义 SO7： $\bigcup z:=\{x:\operatorname {for\ some} y,x\in y\operatorname {and} y\in z\}$

表达式 $\bigcup z$ 读作 "关于 $z$ 的并集"。

以下证明留作练习

定理 SO8： 对于所有 $x$，$z$，$x\in z$ 蕴含 $x\subseteq \bigcup z$

定理 SO9： 对于所有 $x$，$y$，$z$，$(x\in z\operatorname {implies} x\subseteq y)\operatorname {implies} \bigcup z\subseteq y$

非正式地说，$\bigcup z$包含$z$的每个元素作为一个子集，并且是最小的这样的集合。

要得到两个集合的通常并集，将此并集与一对结合起来

定义 SO10: $x\cup y:=\bigcup \{x,y\}$

然后我们可以证明通常的定义作为一个定理

定理 SO11: 对于所有 $x$，$y$，$x\cup y=\{z:z\in x\operatorname {or} z\in y\}$

像往常一样，证明留作练习。

现在可以定义三元组、四元组等，以满足需要尽可能多的元素

定义 SO12: $\{x,y,z\}:=\{x,y\}\cup \{z\}$

定义 SO13: $\{x,y,z,u\}:=\{x,y,z\}\cup \{u\}$

等等。

以下证明留作练习

定理 SO14: $\bigcup \varnothing =\varnothing$

定理 SO15: 对于所有 $x$，$\bigcup \{x\}=x$

定理 SO16: 对于所有 $x$，$y$，$\bigcup (x\cup y)=(\bigcup x)\cup (\bigcup y)$

定理 SO17: 对于所有 $x$，$y$，$z$，$\{x,y,z\}=\{x,z,y\}=\{y,z,x\}$

这里，$x=y=z$ 是 $x=y$ 和 $y=z$ 的简写。

分离公理

在讨论交集之前，我们需要另外一个公理来保证交集的存在。这是一个受限的理解公理，它认为任何谓词都能定义一个集合。这也是它被称为“受限理解公理”的原因。不受限，且不正确的版本，使用类的语言，认为任何类都是一个集合。受限版本，实际上说的是，任何集合的子类都是一个集合。更正式地说，对于谓词 $P(x)$ 和 $Q(x)$，如果对所有 $x$$P(x)$ 蕴含 $Q(x)$ 并且 $Q(x)$ 是可收集的，那么 $P(x)$ 也是可收集的。更正式地说

公理 SO18（分离）：对于所有 $z$，如果对所有 x，$P(x)$ 蕴含 $x\in z$ 那么 $P(x)$ 是可收集的。

如果 $R(x)$ 是一个谓词，那么定义为 $R(x)$ 和 $x\in z$ 的 $P(x)$ 具有必要的性质，因此我们可以定义

$\{x\in z:R(x)\}:=\{x:x\in z\operatorname {and} R(x)\}$

对$R(x)$没有限制。任何谓词都可以在这里使用，这使得公理非常强大，但并非强大到足以导致矛盾（至少在目前为止没有人知道）。

尝试使用此公理来重现罗素悖论可能会有所帮助；由于避免矛盾的想法，这种尝试很可能失败。令$c$为一个集合，并定义

$b:=\{x\in c:\operatorname {not} x\in x\}$

现在假设$b\in b$。那么$b$不满足不属于自身的条件，因此不属于自身，导致矛盾。另一方面，假设不属于自身。那么，$b\in c$或不属于自身中至少有一个必须为假。第二个可能性根据假设为真，因此$b\in c$为假。但这远非矛盾，这次没有悖论。

交集

交集类似于并集，只是将“存在”替换为“对所有”。我们按照与并集相同的计划定义交集。然而，在这种情况下，我们可以使用分离公理来证明一个定理，该定理取代了并集公理。

定理 SO19（交集的存在性）：对所有$z$不等于∅，谓词

对所有$y$，$y\in z$蕴含$x\in y$

是集合化的。

不太正式地说，这意味着，给定$z$，存在一个集合$n$，使得$x\in n$当且仅当$x$是$z$中每个元素的元素。在证明中将需要假设$z$不等于∅。

证明（概述）：令 $Q(x)$ 为谓词

对于所有 $y$，$y\in z$ 意味着 $x\in y$。

从非 $z=\varnothing$，上一页的定理 S8 指出存在某个 $w\in z$。选择一个，比如 $d\in z$。现在可以证明 $Q(x)$ 意味着 $x\in d$，因此根据分离公理，$Q(x)$ 是集合化的。

这使我们能够在 $z$ 不是 ∅ 时进行定义

定义 SO20： $\bigcap z:=\{x:\operatorname {for\ all} y,y\in z\operatorname {implies} x\in y\}$

表达式 $\bigcap z$ 读作“关于 $z$ 的交集”。$\bigcap \varnothing$ 未定义。

为了得到两个集合的通常交集，将这个交集与一对集合结合起来

定义 SO21： $x\cap y:=\bigcap \{x,y\}$

然后我们可以证明通常的定义作为一个定理

定理 SO22: 对于所有 $x$, $y$, $x\cap y=\{z:z\in x\operatorname {and} z\in y\}$

证明留作练习。

定义 SO23: 当 $x\cap y=\varnothing$ 时，$x$ 和 $y$ 是不相交的。一个集合 $z$（通常被视为其他集合的集合）是成对不相交的，如果对于所有 $x$, $y$, $x\in z$ 且 $y\in z$ 意味着 $x=y$ 或 $x$ 和 $y$ 是不相交的。

换句话说，当 $x$ 和 $y$ 没有共同元素时，它们是不相交的，而 $z$ 是成对不相交的，如果任何两个不同的元素都是不相交的。