物理数学方法/线性代数

我们可以在其上研究“代数”和“微积分”运算的最简单的人类已知结构是巴拿赫空间。希尔伯特空间在物理学中的重要性在于，希尔伯特空间不仅是巴拿赫空间的特例，而且还包含内积和相关的共轭对称性概念。（本章需要对基本测度理论有一定的了解）

内积

令 $V$ 是一个在 $F$ 上的向量空间（这里， $F$ 代表 $\mathbb {R}$ 或 $\mathbb {C}$ ）。二元运算 $(\cdot ):V\times V\to F$ 被认为定义了一个内积当且仅当，

对于所有 $\mathbf {x} ,\mathbf {y} \in V$ ， $a,b\in F$

(i) （共轭对称性）： $(\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} )={\overline {(\mathbf {y} \cdot \mathbf {x} )}}$

这意味着

(\mathbf {x} \cdot \mathbf {x} )\in \mathbb {R}

因为

(\mathbf {x} \cdot \mathbf {x} )={\overline {(\mathbf {x} \cdot \mathbf {x} )}}

(ii) （第一个变量的线性）： $(a\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} )=a(\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} )$

共轭对称意味着

(\mathbf {x} \cdot b\mathbf {y} )={\overline {(b\mathbf {y} \cdot \mathbf {x} )}}={\overline {b(\mathbf {y} \cdot \mathbf {x} )}}={\overline {b}}(x\cdot y)

(iii) (正定性)： $(\mathbf {x} \cdot \mathbf {x} )\geq 0$ 对所有 $\mathbf {x} \in V$

(iv) (确定性)： $(\mathbf {x} \cdot \mathbf {x} )=0$ 当且仅当 $\mathbf {x} =\mathbf {0}$

如果在 $V$ 上定义了内积，我们说 $V$ 是一个内积空间。

复共轭有时用 ${\overline {z}}=z^{*}$ 表示

希尔伯特空间

观察到内积的正定性意味着我们可以定义一个范数在 $V$ 上为 $\forall \mathbf {x} \in V$ ， $\|\mathbf {x} \|=(\mathbf {x} \cdot \mathbf {x} )^{1/2}$

如果 $V$ 在此范数下是完备的，我们说 $V$ 是一个希尔伯特空间。

因此希尔伯特空间是一个完备的内积空间。

例子

在下面给出的希尔伯特空间的例子中，标量的底层域是复数C，尽管类似的定义适用于标量的底层域是实数R的情况。

欧几里得空间

每个有限维内积空间也是希尔伯特空间。例如，Cⁿ，其内积定义为

\langle x,y\rangle =\sum _{k=1}^{n}x_{k}{\overline {y_{k}}}

其中复数上的横线表示其复共轭。

序列空间

给定一个集合B，序列空间 $\ell ^{2}$ （通常读作“小ell二”）在B上定义为

\ell ^{2}(B)={\big \{}x:B{\xrightarrow {x}}\mathbb {C} {\text{ and }}\sum _{b\in B}\left|x\left(b\right)\right|^{2}<\infty {\big \}}.

此空间成为具有内积的希尔伯特空间

\langle x,y\rangle =\sum _{b\in B}x(b){\overline {y(b)}}

对于所有x和y在 $\ell ^{2}(B)$ 中。B不必在这个定义中是一个可数集，尽管如果B不可数，那么结果的希尔伯特空间不可分离。每个希尔伯特空间都与 $\ell ^{2}(B)$ 的形式之一同构，对于一个合适的集合B。如果B=N，自然数，这个空间是可分离的，简称为 $\ell ^{2}$ .

从旧的希尔伯特空间中得到新的希尔伯特空间

两个（或更多）希尔伯特空间可以通过取它们的直和或张量积来组合以产生另一个希尔伯特空间。

平方可积函数

在希尔伯特空间的例子中，对物理学家最感兴趣的是 ${\mathcal {L}}^{2}$ 空间。

考虑 ${\mathcal {L}}^{2}$ 是所有函数 $f:[a,b]\to \mathbb {C}$ 的集合，这些函数是关于实测度 $\mu$ 平方可积的，也就是说 $\int _{a}^{b}\|f\|^{2}d\mu$ 是定义明确的。

在 ${\mathcal {L}}^{2}$ 上定义内积为

$(f*g)=\int _{a}^{b}f(x)^{*}g(x)d\mu$

只要任何一对函数 $f,g$ 之间的内积存在，我们就可以看到 ${\mathcal {L}}^{2}$ 是一个内积空间。

读者可能会注意到这里存在一个歧义，因为 $(f*g)=(f*g')$ 不一定意味着 $g=g'$ 。为了解决这个问题，我们使用函数之间不同的等价关系， $f\sim f'\Leftrightarrow \int _{a}^{b}\|f-f'\|d\mu =0$ ，因此， $f=f'$ 在 $[a,b]$ 的所有点上都相等，除了度量为 $0$ 的点集。