测度论/基本结构和定义/可测函数

本节定义可测函数，这些函数将在积分的发展中使用。

令 $f:E\to \mathbb {R}$ 为从可测域 $E$ 的函数。我们说 $f$ 是 **可测的**，如果 $\mathbb {R}$ 中每个可测集的原像都是可测的。这个定义有趣的是它与拓扑空间之间连续性定义的紧密关系，即每个开集的原像都是开集。对这个主题的进一步研究留作练习。在证明可测性时，还有一组有用的工具。

等价定义

命题

令 $f:E\rightarrow [-\infty ,\infty ]$ 为在可测域 E 上定义的扩展实值函数。固定一些 $\alpha \in \mathbb {R}$ 。如果 $f$ 是可测的，以下集合是等价的，并且可测

$(i)\{x\in E:f(x)<\alpha \}$
$(ii)\{x\in E:f(x)>\alpha \}$
$(iii)\{x\in E:f(x)\leq \alpha \}$
$(iv)\{x\in E:f(x)\geq \alpha \}$
我们使用这些集合 **证明:** 由代数的补集，(i) 和 (iv) 应该是等价的，就像 (ii) 和 (iii) 一样。剩下的要证明的是 (i) 和 (iii) 的等价性。我们通过建立以下恒等式来做到这一点
$\{x\in E:f(x)\leq \alpha \}=\cap _{n=1}^{\infty }\{x\in E:f(x)<\alpha -{\frac {1}{n}}\}$
$\{x\in E:f(x)<\alpha \}=\cup _{n=1}^{\infty }\{x\in E:f(x)\leq \alpha +{\frac {1}{n}}\}$
最后，因为可测集的可数交集或并集是可测的，所以得到的集合是可测的。