测度论/基本结构和定义/测度

在本节中，我们研究测度空间和测度。

测度空间

令 $X$ 为一个集合，且 ${\mathcal {M}}$ 为 $X$ 的子集的集合，使得 ${\mathcal {M}}$ 是一个 σ-环。

我们称对 $X$ 的子集的集合 ${\mathcal {M}}$ 为一个 可测空间。 ${\mathcal {M}}$ 的成员被称为 可测集。

一个定义在 ${\mathcal {M}}$ 上的正实值函数 $\mu$ 被称为 测度 当且仅当，

(i)$\mu (\varnothing )=0$ 且

(i)"可数可加性": $\mu \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }\mu (E_{i})$，其中 $E_{i}\in {\mathcal {M}}$ 是成对不相交的集合。

我们称三元组 $\left\langle X,{\mathcal {M}},\mu \right\rangle$ 为一个 测度空间

概率测度 是一个总测度为 1 的测度（即 μ(X)=1）；概率空间是具有概率测度的测度空间。

性质

从可数可加测度的定义可以推导出几个进一步的性质。

单调性

$\mu$ 是单调的：如果 $E_{1}$ 和 $E_{2}$ 是可测集，且 $E_{1}\subseteq E_{2}$，那么 $\mu (E_{1})\leq \mu (E_{2})$.

可测集的无穷并的测度

$\mu$ 是次可加的：如果 $E_{1}$，$E_{2}$，$E_{3}$，... 是 $\Sigma$ 中的可测集的可数序列，不一定互斥，那么

$\mu \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)\leq \sum _{i=1}^{\infty }\mu (E_{i})$.

$\mu$ 从下方连续：如果 $E_{1}$, $E_{2}$, $E_{3}$, ... 是可测集，并且 $E_{n}$ 是 $E_{n+1}$ 的子集，对于所有的 n，那么这些集合 $E_{n}$ 的并集是可测集，并且

$\mu \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)=\lim _{i\to \infty }\mu (E_{i})$.

可测集的无限交集的度量

$\mu$ 从上方连续：如果 $E_{1}$, $E_{2}$, $E_{3}$, ... 是可测集，并且 $E_{n+1}$ 是 $E_{n}$ 的子集，对于所有的 n，那么这些集合 $E_{n}$ 的交集是可测集；此外，如果至少有一个 $E_{n}$ 的度量是有限的，那么

$\mu \left(\bigcap _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)=\lim _{i\to \infty }\mu (E_{i})$.

如果没有至少有一个 $E_{n}$ 的度量是有限的，这个性质是错误的。例如，对于每个 n ∈ N，令

$E_{n}=[n,\infty )\subseteq \mathbb {R}$

所有这些集合的测度都是无穷大，但它们的交集为空集。

计数测度

从集合 Ω 开始，考虑 Ω 上的 σ 代数 X，它包含 Ω 的所有子集。在该 σ 代数上定义测度 μ，对于 Ω 的有限子集 A，设 μ(A) = |A|，对于 Ω 的无限子集 A，设 μ(A) = ∞，其中 |A| 表示集合 A 的基数。那么 (Ω, X, μ) 是一个测度空间。μ 称为计数测度。

勒贝格测度

对于 Rⁿ 的任何子集 B，我们可以定义一个外测度 $\lambda ^{*}$ 为

$\lambda ^{*}(B)=\inf\{\operatorname {vol} (M):M\supseteq B\}$，而 $M\$ 是区间乘积的可数并。

这里，vol(M) 是涉及区间的长度乘积的总和。然后我们定义集合 A 为勒贝格可测的，如果

$\lambda ^{*}(B)=\lambda ^{*}(A\cap B)+\lambda ^{*}(B-A)$

对于所有集合 B。这些勒贝格可测集构成一个 σ 代数，勒贝格测度由 λ(A) = λ^*(A) 定义，对于任何勒贝格可测集 A。