测度论/基本结构与定义/半代数、代数和 σ-代数

半代数

粗略地说，集合 $\,X$ 上的半代数是一个对交集封闭且对集合差 *半* 封闭的类。由于这些限制很强，因此其中集合通常具有定义的特征，从而更容易在这些集合上构建测度。然后，我们将看到代数的结构，它对集合差封闭，然后是 σ-代数，它是代数且对可数并封闭。第一个结构很重要，因为它们自然出现在我们感兴趣的集合中，而最后一个结构很重要，因为它由于其属性而成为处理测度的核心结构。

**定义 1.1.1**：一个类 ${\mathcal {S}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)$ 是 $\,X$ 上的**半代数**，如果

• 空集和全集都在 ${\mathcal {S}}$ 中

$\emptyset \in {\mathcal {S}},X\in {\mathcal {S}}$

• 它对交集封闭

$\forall A,B\in S\Rightarrow A\cap B\in {\mathcal {S}}$

• 任何两个 ${\mathcal {S}}$ 中集合的集合差是 ${\mathcal {S}}$ 中元素的有限不相交并

$\forall A,B\in S,\;\;\exists \{C_{i}\}_{i=1}^{n}\subseteq {\mathcal {S}}$ 成对不相交，使得 $\;A\setminus B=\bigcup _{i=1}^{n}C_{i}$

例子：乍一看，半代数似乎是 ${\mathcal {P}}(X)$ 的一个非常有限的子集，但很容易证明，当 $X=\mathbb {R}$ 时，所有区间（有界、无界、半开、开、闭或任何其他类）的类是一个关于 $\mathbb {R}$ 的半代数，并且显然这个集合是非平凡的。例如，设 A 为 $(2,5)$，B 为 $(3,4)$。那么 $A\setminus B=(2,3]\cup [4,5)=C$，比如。让我们称 $(2,3]=C1$ 和 $[4,5)=C2$。那么 $C=C1\cup C2,C\notin S$（因为它不是一个区间），即使 $C1,C2\in S$。此外，$C1$ 和 $C2$ 是不相交的。

代数

关于集合 $\,X$ 的代数是一个在所有有限集合运算下封闭的类。

定义 1.1.2：类 ${\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)$ 是关于 $\,X$ 的代数，如果

1. $X\in {\mathcal {A}}$
2. $\forall A,B\in {\mathcal {A}}\Rightarrow A\setminus B\in {\mathcal {A}}$

这个定义足以用于有限运算下的封闭性。以下性质证明了这一点

命题 1.1: 一个类 ${\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)$ 是一个代数当且仅当 ${\mathcal {A}}$ 满足：

1. $X\in {\mathcal {A}}$
2. $\forall A\in {\mathcal {A}}\Rightarrow A^{c}\in {\mathcal {A}}$
3. $\forall A,B\in {\mathcal {A}}\Rightarrow A\cap B\in {\mathcal {A}}$

证明: $(\Rightarrow )$

性质 1 与定义一致。

对于性质 2，注意到 $\forall A\in {\mathcal {A}}$

$A^{c}=X\setminus A\in {\mathcal {A}}$

最后，对于性质 3，由于性质 2 成立，$\forall B\in {\mathcal {A}}$

$B^{c}\in {\mathcal {A}}\Rightarrow A\setminus B^{c}=A\cap B\in {\mathcal {A}}$

$(\Leftarrow )$

性质 1 与定义一致。

对于所有的 $A,B\in {\mathcal {A}}$，根据性质 2 我们有 $B^{c}\in {\mathcal {A}}$。然后性质 3 意味着 $A\cap B^{c}\in {\mathcal {A}}$，这等价于 $A\setminus B\in {\mathcal {A}}$ $\Box$

注意：很明显，给定$\forall A,B\in {\mathcal {A}}$，那么根据性质 2 和 3，$(A^{c}\cap B^{c})^{c}=A\cup B\in {\mathcal {A}}$，因此代数对所有有限集合运算封闭。

σ-代数

σ-代数（也称为 σ-环）在集合 $\,X$ 上是一个对可数并封闭的代数。

定义 1.1.3 : 类 ${\mathcal {T}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)$ 是 $\,X$ 上的σ-代数，如果

1. ${\mathcal {T}}$ 是一个代数
2. $\forall \{{A_{n}\}}_{n\in \mathbb {N} }\subset {\mathcal {T}}\Rightarrow \cup _{n\in \mathbb {N} }A_{n}\in {\mathcal {T}}$

注意：σ-代数也对可数交封闭，因为可数并的补集是并集中考虑的集合的补集的可数交。

Borel 集

定理

令 $X$ 为一个集合，并令 ${\mathcal {F}}$ 为 $X$ 的子集的集合。那么，存在一个包含 ${\mathcal {F}}$ 的最小的 σ-环 ${\mathcal {F}}^{*}$，也就是说，如果 ${\mathcal {M}}$ 是包含 ${\mathcal {F}}$ 的 σ-环，那么 ${\mathcal {F}}^{*}\subseteq {\mathcal {M}}$

证明

令 ${\mathcal {F}}^{*}$ 为包含 ${\mathcal {F}}$ 的所有 σ-环的交集。很容易看出 $E\in {\mathcal {F}}^{*}\Rightarrow E^{c}\in {\mathcal {F}}^{*}$，并且 ${\mathcal {M}}_{1},{\mathcal {M}}_{2},\ldots \in {\mathcal {F}}^{*}\Rightarrow \bigcup _{i=1}^{\infty }{\mathcal {M}}_{i}\in {\mathcal {F}}^{*}$，因此，${\mathcal {F}}^{*}$ 是一个 σ-环。

${\mathcal {F}}^{*}$ 有时被称为 ${\mathcal {F}}$ 的扩张。

现在，令 ${\mathcal {T}}$ 是 $X$ 上的拓扑。因此，存在一个 $X$ 上的 σ-代数 ${\mathcal {B}}$，使得 ${\mathcal {B}}={\mathcal {T}}^{*}$。${\mathcal {B}}$ 称为 **Borel 代数**，${\mathcal {B}}$ 的元素称为 **Borel 集**