测度论/拓扑空间上的测度

定义（Borel σ代数）:

令 $X$ 是一个拓扑空间。Borel $\sigma$ -代数 ${\mathcal {B}}(X)$ 在 $X$ 上是由 $X$ 中所有开集生成的 $\sigma$ -代数，即。

{\mathcal {B}}(X)=\sigma (\tau )

,

其中 $\tau$ 是 $X$ 上的拓扑。

定义（紧致）:

令 $\Omega$ 是一个拓扑空间，令 ${\mathcal {F}}$ 是 $\Omega$ 上包含 Borel $\sigma$ -代数的 $\sigma$ -代数。一个测度 $\mu :{\mathcal {F}}\to [0,\infty ]$ 被称为紧致当且仅当对于所有集合 $A\in {\mathcal {F}}$

\mu (A)=\sup _{K\subseteq A \atop K{\text{ compact}}}\mu (K)

.

以下命题提供了一类紧致测度空间

命题（波兰空间上的 Borel 测度是紧致的）:

令 Failed to parse (syntax error): {\displaystyle {{definition|inner regular|Let <math>\Omega} 为一个拓扑空间，并令 ${\mathcal {F}}$ 为 $\sigma$ -代数在 $\Omega$ 上，包含 Borel $\sigma$ -代数。一个测度 $\mu :{\mathcal {F}}\to [0,\infty ]$ 被称为**内正则**，当且仅当对于所有集合 $A\in {\mathcal {F}}$

\mu (A)=\sup _{C\subseteq A \atop C{\text{ closed}}}\mu (C)

.

定义（外正则）:

令 $\Omega$ 为一个拓扑空间，并令 ${\mathcal {F}}$ 为 $\sigma$ -代数在 $\Omega$ 上，包含 Borel $\sigma$ -代数。一个测度 $\mu :{\mathcal {F}}\to [0,\infty ]$ 被称为**外正则**，当且仅当对于所有集合 $A\in {\mathcal {F}}$

\mu (A)=\inf _{O\supseteq A \atop O{\text{ open}}}\mu (O)

.

命题（在 σ-紧凑测度空间中，内部为空的闭集是零集）:

设 $\Omega$ 是一个拓扑空间，设 ${\mathcal {F}}$ 是 $\sigma$ -代数在 $\Omega$ 上包含 Borel $\sigma$ -代数，并且假设 $\mu$ 是一个...测度在 $(\Omega ,{\mathcal {F}})$ 上。那么每个闭子集 $A\subseteq \Omega$ 具有空内部是一个零测集。