光学/费马原理

原理

费马原理，也称为“最小时间原理”，指出

“光线以最短时间到达目的地的路径传播”。

它是光学的基本定律，其他几何光学定律可以从它推导出来。

反射定律的推导

利用费马原理推导反射定律很简单。反射定律可以用初等微积分和三角学推导。反射定律的推广是斯涅尔定律，它将在下面使用相同的原理推导出来。

光线传播的介质没有改变。为了使光线在两点之间传播的时间最短，我们应该使光线所走的路径最短。

θ_i = θ_r。
入射角等于反射角

1. 光线的总路径长度由下式给出

$L=d_{1}+d_{2}\,$

2. 利用勾股定理从欧几里得几何中，我们看到

$d_{1}={\sqrt {x^{2}+a^{2}}}\,$ and $d_{2}={\sqrt {(l-x)^{2}+b^{2}}}\,$

3. 当我们将 d₁ 和 d₂ 的两个值代入上面的公式，我们得到

$L={\sqrt {x^{2}+a^{2}}}+{\sqrt {(l-x)^{2}+b^{2}}}$

4. 为了使光线传播的路径最短，我们对 L 求关于 x 的一阶导数。

${\frac {dL}{dx}}={\frac {x}{\sqrt {x^{2}+a^{2}}}}+{\frac {-(l-x)}{\sqrt {(l-x)^{2}+b^{2}}}}=0$

5. 将两边设为相等。

${\frac {x}{\sqrt {x^{2}+a^{2}}}}={\frac {(l-x)}{\sqrt {(l-x)^{2}+b^{2}}}}$

6. 现在我们可以看出，左边不过是$\sin \theta _{i}$，而右边$\sin \theta _{r}$意味着

$\sin \theta _{i}=\sin \theta _{r}\!\$

7. 对等式两边取反正弦，我们发现入射角等于反射角

$\theta _{i}=\theta _{r}\!\$

斯涅尔定律推导

利用费马原理推导斯涅尔定律非常简单。 斯涅尔定律可以使用基础微积分和三角学推导出。斯涅尔定律是对上述情况的推广，它不要求介质在各个地方都相同。

斯涅尔定律将 n₁、θ₁ 和 n₂、θ₂ 联系起来。

为了标记光在不同介质中的速度，使用名为 n₁ 和 n₂ 的折射率。

$v_{1}={\frac {c}{n_{1}}}\!\$

$v_{2}={\frac {c}{n_{2}}}$

这里 $c$ 是真空中的光速，$n_{1},n_{2}\geq 1\,$，因为所有材料都会减慢光线通过时的速度。

1. 行程时间等于行程距离除以速度。

$T={\frac {d_{1}}{v_{1}}}+{\frac {d_{2}}{v_{2}}}$

2. 使用来自欧几里得几何的勾股定理，我们看到

${\frac {d_{1}}{v_{1}}}={\frac {\sqrt {x^{2}+a^{2}}}{v_{1}}}\,$ 和 ${\frac {d_{2}}{v_{2}}}={\frac {\sqrt {b^{2}+(l-x)^{2}}}{v_{2}}}\,$

3. 将此结果代入公式 (1) 中，我们得到

$T={\frac {\sqrt {x^{2}+a^{2}}}{v_{1}}}+{\frac {\sqrt {b^{2}+(l-x)^{2}}}{v_{2}}}$

4. 为了最小化传输时间，我们对变量 $x$ 求导，并将其设为零

${\frac {dT}{dx}}={\frac {x}{v_{1}{\sqrt {x^{2}+a^{2}}}}}+{\frac {-(l-x)}{v_{2}{\sqrt {(l-x)^{2}+b^{2}}}}}=0$

5. 仔细检查上面的等式后，我们发现它不过是

${\frac {dT}{dx}}={\frac {\sin \theta _{1}}{v_{1}}}-{\frac {\sin \theta _{2}}{v_{2}}}=0$

6. 这导致

${\frac {\sin \theta _{1}}{v_{1}}}={\frac {\sin \theta _{2}}{v_{2}}}$

7. 将 ${\frac {n_{1}}{c}}$ 代入 ${\frac {1}{v_{1}}}$ 和 ${\frac {n_{2}}{c}}$ 代入 ${\frac {1}{v_{2}}}$，我们得到

${\frac {n_{1}}{c}}\sin \theta _{1}={\frac {n_{2}}{c}}\sin \theta _{2}$

8. 乘以 $c$ 给我们最终结果

$n_{1}\sin \theta _{1}=n_{2}\sin \theta _{2}\!\$