常微分方程/绘图 1

一阶微分方程

一阶微分方程基本上将x值、y值和点(x,y)处的梯度y'联系起来。由于有3个变量，因此无法以二维形式表示DE的解。但是，我们可以通过消除其中一个变量，在二维空间中绘制图来表示解。

有两种主要方法，一种是下面描述的斜率场，另一种是与斜率场相关的等倾线。

斜率场

斜率场是DE解的切线段集，排列在xy平面上。它试图通过显示xy平面上的所有解的表示，而不是通过显示一个或多个解来显示DE的解。

(直线)的梯度定义为y的变化除以x的变化。通过将x的变化设为1，我们得到y的变化等于梯度，即DE的主题y'。可能需要一些重新排列才能将DE转换为所需的格式，即

${\frac {dy}{dx}}=f(x,y).$

现在，如果我们在点P(xy)处绘制一条线，其中x分量等于1，y分量等于该点的y'，那么我们就得到了通过该点的解的切线的一部分。DE的解将遵循这些线的斜率。

通过在xy平面上以间隔绘制这些线，我们可以很好地了解DE的解是什么样的。请注意，我们不必实际求解DE，我们只需在点处代入x和y的值，然后我们就有斜率场。当DE不可解时，这特别有用，例如

${\frac {dy}{dx}}=x^{x}.$

尽管在理论上易于评估，但斜率场在没有计算机的情况下难以绘制，因为即使是小的斜率场也包含数百条线，手工绘制这些线不切实际（即使可能）。通常，为了清晰起见，切线段会进行缩放，以便它们不会相互干扰。

示例 1: y'=1

图 1: y'=1 的斜率场

图 2: y'=1 的一些解

考虑DE

${\frac {dy}{dx}}=1.$

这可能是最简单的DE（除了y'=0）。它只是说明解的梯度始终为1。这显然导致一般解

$y=x+C,\,$

其中C是我们的积分常数。

此DE的斜率场（右）由x分量为1，y分量为y'（即1）的线组成，这些线在xy平面上间隔开来。此DE的解，例如

$y=x\,$

和

$y=x+1\,$

显然遵循斜率场。图 2 中显示了一些解，可以很容易地看出它们之间的相似之处。

请注意，解不一定与斜率场中的任何线相交。这些线只是可以绘制到无限多个解的无限多个可能切线的一部分。

如果DE为

${\frac {dy}{dx}}=k,$

那么斜率场的梯度将为k，解的梯度也将为k。

示例 2: y'=x

图 3: y'=x 的斜率场

图 4: y'=x 的斜率场和一些解

此斜率场将更加复杂，因为切线段的梯度将根据该段在x轴上的位置而变化。线的x分量仍然为1，但y分量现在为x，这使得梯度随着x的增加而更加正，随着x的减小而更加负。

DE的解

${\frac {dy}{dx}}=x$

是

$y={\frac {1}{2}}x^{2}+c$

图 4 中绘制了这些解的集合以及斜率场，以显示两者之间的关系。

示例 3: y'=sin x

这是最后一个示例，其中导数等于仅x的函数。DE为

${\frac {dy}{dx}}=\sin x$

下图图 5 显示了斜率场。

图 5：y'=sin x 的斜率场

DE 的解为

$y=-\cos x+C\,$

一组叠加在斜率场上的解看起来像这样

图 6：y'=sin x 的斜率场叠加了一些解

示例 4：y'=y

图 7：y'=y 的斜率场

图 8：y'=y 的斜率场和一些解

现在我们来解决更棘手的 DE 问题，其中导数与因变量 y 有关。最简单的情况是当 y(x) 为常数时，但这已经涵盖了，因为它与 x 为常数相同（参见示例 1）。

在斜率场中，线的 x 分量保持为 1，但 y 分量等于 y。一个常见的错误是假设由于梯度是 y 的函数，因此 y 分量被设置为 1。然而，这意味着这些线将不再代表由 Δy/Δx 定义的梯度。

当 y 变大时，线的倾斜度会增加，但如果 x 改变，则不会改变。斜率场看起来像图 7。

解如下

${\frac {dy}{dx}}=y$

$\int {\frac {1}{y}}dy=\int 1dx$

$\ln y=x+C\,$

$y=Ce^{x}\,$

这是有道理的，因为指数函数是唯一一个在微分或积分时不改变的函数。图 8 显示了一些叠加在斜率场上的解。

这是一个很好的例子，说明斜率场可能有点误导。场的均匀间隔（一个人为属性，因为带线的点是在均匀间隔的网格上选择的）不能传达这样一个事实：随着 C 线性增加（就像在图 8 中一样），解越来越远。

示例 5：y' = sin y

图 9：v'=-0.01v+sin y 的斜率场

图 10：v'=-0.01v+sin y 的斜率场和一些解

这是一个很难进行积分的积分（我使用的是计算机），但斜率场仍然很容易绘制：每条线的 y 分量取决于 y 值的正弦。这在 y 轴上每隔 2π 个单位重复一次，但在 π 和 -π 之间，斜率场看起来像图 9。

的通解为

${\frac {dy}{dx}}=\sin y$

是

$y=\pm 2\operatorname {arccot} e^{-x-C}.\,$

现在，即使我并没有自己做 DE，而且我不知道它是否正确，我仍然可以将其与斜率场进行比较，就像在图 10 中一样。这两种方法之间的高度一致性强烈表明 DE 的解是正确的。如果你有电脑或好的图形计算器，这是一个非常有用的方法来检查结果。

示例 6：y'=xy

图 11：y'=xy 的斜率场

图 12：y'=xy 的斜率场和一些解

这是我将做的最后一个斜率场示例，它涉及与 x 和 y 都有关的导数

${\frac {dy}{dx}}=xy.$

斜率场看起来像图 11，尽管 DE 中同时存在 x 和 y，但线的 x 分量仍然都是 1。这永远不会改变。

斜率场及其解如图 12 所示。

绘制一阶 DE 的下一种方法是使用 等斜线，等斜线与斜率场有密切关系。

接下来：等斜线