常微分方程/齐次方程 1

常系数齐次方程

考虑一个形式为

$p_{0}(x){\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}+\ldots +p_{n-1}(x){\frac {dy}{dx}}+p_{n}(x)y=f(x)$

常系数是指微分方程的左侧 - y 的所有项的系数（即 p₁(x) 等）都是常数。虽然这看起来不切实际，但它实际上在电路和谐波运动中经常出现。

“齐次”是指方程的右侧。如果 f(x)=0，则方程是齐次的；如果不是，则为非齐次。同样，它看起来没用，但事实并非如此。这使得问题变得更容易解决。我们将在稍后处理非齐次方程。

因此，常系数齐次方程是一个具有以下形式的方程

${\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}+c_{1}{\frac {d^{n-1}y}{dx^{n-1}}}+c_{2}{\frac {d^{n-2}y}{dx^{n-2}}}+\ldots +c_{n}y=0$

其中 c₁、c₂ 等都是常数。

二阶方程

为了展示如何求解这些方程，让我们从最基本的情况开始 - 二阶方程

$A{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+B{\frac {dy}{dx}}+Cy=0$

其中 A、B 和 C 是常数。

辅助二次方程

对于一个 DE

$a{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+b{\frac {dy}{dx}}+cy=0,$

进行以下替换

$y=e^{mx}\,$

这也给出

${\frac {dy}{dx}}=me^{mx}\,$

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=m^{2}e^{mx}\,$

DE 现在是

$am^{2}e^{mx}+bme^{mx}+ce^{mx}=0\,$

用 $e^{mx}$ 除，得到（注意：$e^{mx}$ 永远不会等于零）

$am^{2}+bm+c=0\,$

这是微分方程的辅助二次方程（AQ）。辅助二次方程有四类结果

1. $b^{2}-4ac>0,\,$，得到两个不同的实根。
2. $b^{2}-4ac=0,\,$，得到两个重合的实根。
3. $b^{2}-4ac<0,\,$，得到复数根。

a：纯虚数根。

b：共轭复数对。

微分方程的求解方法取决于 AQ 的类别。

类别 1：不同的实根

考虑微分方程

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+{\frac {dy}{dx}}-6y=0$

AQ 为

$m^{2}+m-6=0\,$

$(m+3)(m-2)=0\,$

这给了我们以下根

$m=2,\ m=-3$

回到我们用来得到 AQ 的替换，我们有

$y=e^{2x},\ y=e^{-3x}$

作为微分方程的两个不同的解。根据叠加原理，因此通解为

$y=Ae^{2x}+Be^{-3x}\,$

类别 1 微分方程的通解

一般而言，对于二阶微分方程

$a{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+b{\frac {dy}{dx}}+cy=0$

辅助二次方程为

$am^{2}+bm+c=0\,$

根为 α 和 β，通解为

$y=Ae^{\alpha x}+Be^{\beta x}\,$

类别 2：重合的实根

考虑微分方程

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}-4{\frac {dy}{dx}}+4y=0$

AQ 为

$m^{2}-4m+4=0\,$

$(m-2)(m-2)=0\,$

所以，$e^{2x}\,$ 是一个解。但是，我们不能把它作为两个解，因为产生的两个因子会被吸收进常数，只剩下一个常数，因此微分方程就没有完整的解。

为了得到另一个解，我们将使用降阶法。为此，我们假设它具有以下形式：

$y_{2}=u(x)y_{1}=u(x)e^{2x}\,$

最后，我们将检查我们的假设是否正确。现在，我们将代入这个方程并解出u(x)

$y_{2}''-4y_{2}'+4y_{2}=0\,$

$u''(x)e^{2x}+2u'(x)e^{2x}+2u'(x)e^{2x}+4u(x)e^{2x}-4(u'(x)e^{2x}+2u(x)e^{2x})+4u(x)e^{2x}=0\,$

$u''(x)e^{2x}=0\,$

$e^{2x}\,$ 始终不为零，因此，只有当以下情况成立时，乘积才能等于零：

$u''(x)=0\,$

积分两次得到：

$u(x)=a_{1}x+a_{2}\,$

因此：

$y_{2}=(a_{1}x+a_{2})y_{1}\,$

$y_{2}=(a_{1}x+a_{2})e^{2x}\,$

我们的通解是：

$y=C_{1}y_{1}+C_{2}y_{2}\,$

$y=C_{1}e^{2x}+C_{2}(a_{1}x+a_{2})e^{2x}\,$

$y=(C_{1}+a_{2})e^{2x}+C_{2}a_{1}xe^{2x}\,$

由于每个常数都是任意的，我们可以简单地写成

$y=C_{1}e^{2x}+C_{2}xe^{2x}\,$

降阶法可以应用于不同的方程，并且 u(x) 不总是等于 x。 你可以在下面看到 $y=xe^{x}$ 是一个有效的解。

$y=xe^{2x}\,$

${\frac {dy}{dx}}=2xe^{2x}+e^{2x}=e^{2x}(2x+1)\,$

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=2e^{2x}+2e^{2x}(2x+1)=e^{2x}(4x+4)\,$

为了检验，将这些代入原始的微分方程。

$e^{2x}(4x+4)-4e^{2x}(2x+1)+4xe^{2x}=0\,$

$4xe^{2x}+4e^{2x}-8xe^{2x}-4e^{2x}+4xe^{2x}=0\,$

$0=0\,$

因此，$y=xe^{2x}\,$ 也是一个解。

二阶微分方程的通解

一般而言，对于二阶微分方程

$a{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+b{\frac {dy}{dx}}+cy=0$

对于辅助方程具有重根 α 的情况，通解为

$y=(A+Bx)e^{\alpha x}\,$

类别 3a：纯虚根

为了得到复根，辅助方程的判别式必须小于零，因此

$b^{2}-4ac<0\,$

此外，为了使解为纯虚数，b 的值必须恰好为零。

因此，

$4ac>0\,$

这意味着 a 和 c 必须具有相同的符号：a 和 c 都为正数或都为负数。 如果我们考虑我们的通用二阶微分方程

$a{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+b{\frac {dy}{dx}}+cy=0$

将 b 设置为零得到

$a{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+cy=0$

除以 a 得到

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+{\frac {c}{a}}y=0$.

因此，y 项始终为正，这可以用以下表示

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+\omega ^{2}y=0$.

(这里使用ω，因为它在简谐运动中被使用，而这也是这个微分方程的主要用途)。现在求解这个微分方程有两种方法。第一种方法依赖于我们发现可以使用三角函数的周期性在求导时进行替换。用以下公式进行替换

$y=\cos \omega x\,$

${\frac {dy}{dx}}=-\omega \sin \omega x\,$

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=-\omega ^{2}\cos \omega x\,$

并将结果代入微分方程

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+\omega ^{2}y=-\omega ^{2}\cos \omega x+\omega ^{2}\cos \omega x=0$

这验证了$\cos \omega x\,$是一个解。类似的结论对用$y=\sin \omega x\,$进行替换也成立。

因此我们的解为

$y=\cos \omega x\,$

$y=\sin \omega x\,$

所以通解是

$y=A\cos \omega x+B\sin \omega x.\,$

求解这个方程的另一种方法是使用欧拉公式

$e^{\omega ix}=\cos \omega x+i\sin x\,$

以及

$e^{-\omega ix}=\cos \omega x-i\sin x\,$

从我们最初的微分方程，我们得到特征方程为

$m^{2}+\omega ^{2}=0\,$

得到根为

$m=\pm i\omega \,$

因此，与一阶微分方程类似，通解为

$y=Ae^{\omega ix}+Be^{-\omega ix}\,$

$y=A(\cos \omega x+i\sin \omega x)+B(\cos \omega x-i\sin \omega x)\,$

$y=(A+B)\cos \omega x+i(A-B)\sin \omega x\,$

由于 A 和 B 是任意的，为了方便，我们可以设置新的常数，令我们的新 A 等于 A+B，我们的新 B 等于 _i_ (A-B)。

因此，我们的通解为

$y=A\cos \omega x+B\sin \omega x\,$

3a 类微分方程的通解

一般而言，对于二阶微分方程

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+\omega ^{2}y=0$

通解是

$y=A\cos \omega x+B\sin \omega x\,$

3b 类：共轭复根

由于已经证明多项式的复根总是成对出现，因此 AQ 中唯一剩下的类别是解为共轭复根的类别。

鉴于解是复数，我们知道在 AQ 中

$am^{2}+bm+c=0\,$

$b^{2}-4ac,<0,\ b\neq 0\,$ (见 3a 类)。

该方程的根的形式为

$(p\pm iq)\,$

然后通解为

$y=Ae^{(p+iq)x}+Be^{(p-iq)x}\,$

$y=e^{px}\left(Ae^{iqx}+Be^{-iqx}\right)\,$

从欧拉公式，我们现在可以得到

$y=e^{px}\left(A\left(\cos qx+i\sin qx\right)+B\left(\cos qx-i\sin qx\right)\right)\,$

$y=e^{px}\left((A+B)\cos qx+i(A-B)\sin qx\right)\,$

由于 A 和 B 是任意的，我们可以像在 3a 类中一样将它们合并，这样我们就可以得到通解

$y=e^{px}\left(A\cos qx+B\sin qx\right)\,$

3b 类微分方程的通解

一般而言，对于二阶微分方程

$a{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+b{\frac {dy}{dx}}+cy=0$

其中 AQ 的根为

$m=p\pm iq,$

通解是

$y=e^{px}\left(A\cos qx+B\sin qx\right)\,$

我们现在已经涵盖了所有可能的齐次二阶微分方程类型，而且我们甚至没有进行任何积分！现在我们将看一下更高阶的等效方程。

n阶方程

如何将上述内容扩展到n阶？ 嗯，n阶对x的阶数要求与二阶方程相同。因此，我们仍然需要涉及$e^{mx}$的函数。 只有两点主要区别。 首先，我们将有更多项 - 我们不能仅仅代入辅助二次方程来获得根。 其次，根更多。 我们最终将得到n个根，因此y将是n个方程的总和。

三阶方程的示例

考虑三阶微分方程

${\frac {d^{3}y}{dx^{3}}}-4{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}-7{\frac {dy}{dx}}+6y=0$.

找到形式为

$m^{3}-4m^{2}-7m+6=0\,$

$m=-1,2,3\,$

因此，我们的不同解是

$y=e^{-x},\ e^{2x},\ e^{3x}\,$

这给了我们一个通解

$y=Ae^{-x}+Be^{2x}+Ce^{3x}\,$