常微分方程/带阻尼力的运动

带阻尼力的简谐运动可用于描述在摩擦力影响下弹簧末端的质量运动。

运动定律

摩擦力被认为服从线性定律，也就是说，它由以下表达式给出

{\vec {F_{f}}}=-\lambda {\vec {v}}\,

其中

$\lambda \,$ 是一个正常数，代表阻尼摩擦力的系数，
${\vec {F_{f}}}\,$ 代表摩擦力，以及
${\vec {v}}\,$ 是速度。

请注意，减号表示阻尼摩擦力始终与运动方向相反。

运动的微分方程

带阻尼力的运动的微分方程将由下式给出

$m{\ddot {x}}+\lambda {\dot {x}}+kx=0$

为了获得等于1 的主系数，我们将此方程除以质量

${\ddot {x}}+{\frac {\lambda }{m}}{\dot {x}}+{\frac {k}{m}}x=0$

能量不守恒

我们可以用速度 ${\dot {x}}\,$ 乘以运动方程，以获得可积形式

$m{\ddot {x}}{\dot {x}}+\lambda {\dot {x}}^{2}+kx{\dot {x}}=0$

现在我们将此方程从0 积分到t 以获得能量表达式

$m{{{{\dot {x}}^{2}}(t)} \over 2}+k{{{x^{2}}(t)} \over 2}=m{{{{\dot {x}}^{2}}(0)} \over 2}+k{{{x^{2}}(0)} \over 2}-{\lambda \over 2}\int _{0}^{t}{{\dot {x}}^{2}}dt$

用以下符号表示机械能

$E(t):=m{{{{\dot {x}}^{2}}(t)} \over 2}+k{{{x^{2}}(t)} \over 2}\,}$

能量的变化由下式给出：

$E(t)-E(0)=-{\lambda \over 2}\int _{0}^{t}{{\dot {x}}^{2}}dt$

也就是说，如果阻尼摩擦力系数 $\lambda$ 不为零，或者速度平方积分不为零，系统就会损失能量。从物理角度来说，摩擦将机械能转化为热能。

初始条件

对于自由运动方程，通常需要两条信息来恰当地描述物体的运动。

物体的起始位置。 $x_{2}$
物体的起始运动方向和速度。 $v$

通常情况下，两者缺一不可。为了简便起见，我们把平衡点以下的所有位移都设为 $x>0$ ，平衡点以上的所有位移都设为 $x<0$ 。

向上运动 $v<0$ ，向下运动 $v>0$ 。

解

我们寻找以下形式的通解：

$x(t)=A_{1}e^{s_{1}t}+A_{2}e^{s_{2}t}\,$

将该解代入方程，得到一个二次方程：

$ms^{2}+\lambda s+k=0\,$

该方程的解为：

$s_{1},s_{2}={\frac {-\lambda \pm {\sqrt {\lambda ^{2}-4mk}}}{2m}}$

而 $A_{1},A_{2}$ 由初始条件决定。显然，该解可能有实数根或复数根。无论哪种情况，根的实部总是负数（因为 $k$ 和 $m$ 都是正数），意味着解是稳定的。当两个根都是实数时，该系统称为 **过阻尼** 系统；当该系统有兩個复数根（其中一个是另一个的复共轭）时，该系统称为 **欠阻尼** 系统。当 $\lambda$ =0 时，两个根的实部都为零，解是振荡的，即能量守恒的。