常微分方程：速查表/二阶齐次常微分方程

常系数方程

一般形式

$ay''+by'+cy=0$ 或 $p(D)y=0$，其中

$p(D)=aD^{2}+bD+c$ 被称为具有常系数的多项式微分算子。

解

1. 求解辅助方程，$p(m)=0$，得到 $m=\lambda _{1},\lambda _{2}$
2. 如果 $\lambda _{1},\lambda _{2}$ 是
   1. 实数且不相等，则 $y(x)=Ae^{\lambda _{1}x}+Be^{\lambda _{2}x}$
   2. 实数且相等，则 $y(x)=(Ax+B)e^{\lambda _{1}x}$
   3. 虚数，$\lambda _{i}=a\pm bi$，则 $y(x)=(A\cos {bx}+B\sin {bx})e^{ax}$

欧拉-柯西方程

一般形式

$ax^{2}y''+bxy'+cy=0$ 或 $p(D)y=0$，其中

$p(D)=ax^{2}D^{2}+bxD+c$ 被称为多项式微分算子。

解

求解 $ax^{2}y''+bxy'+cy=0$ 等同于求解 $ay''+(b-a)y'+cy=0$

一般变系数齐次ODE

如果已知一个特解

如果已知二阶齐次线性方程的一个解，$y_{1}(x)\neq 0$，可以使用替换 $y_{2}=y_{2}(x)z(x)$ 和随后的替换 $z^{'}(x)=u$ 将原始方程转换为一阶线性方程。

阿贝尔恒等式

对于齐次线性ODE $y''+p(x)y'+q(x)y=0$，其两个解的朗斯基行列式由 $W_{(}y_{1},y_{2})(x)=W(x_{0})e^{-\int _{x_{0}}^{x}p(x)dx}$ 给出。

使用阿贝尔恒等式求解

给定一个齐次线性常微分方程和它的一个解， $y_{1}(x)$，使用阿贝尔恒等式求出其朗斯基行列式，并通过朗斯基行列式的定义，将两者等式并求解出 $y_{2}(x)$.

一些有用的注释

1. 如果 $y_{1},y_{2}$ 线性相关，则 $W(x)=0,\forall x$
2. 如果 $W(x)=0$，对于某个 $x$ 成立，则 $W(x)=0,\forall x$