常微分方程：速查表/二阶非齐次常微分方程

一般形式

$p(D)y=g(x)$，其中 $p(D)$ 是一个二阶常系数多项式微分算子。

解的一般形式

一般解的形式为 $y(x)=y_{c}(x)+y_{p}(x)$

其中

 $y_{c}(x)$ 被称为互补解，是对应的齐次方程 $p(D)y=0$ 的解。

 $y_{p}(x)$ 被称为特解，通过求解 $p(D)y_{p}=g(x)$ 获得。

寻找互补解的方法

关于如何求解互补解的方法，在文章 二阶齐次常微分方程 中有详细讨论。

寻找特解的方法

猜测法或待定系数法

根据 g(x) 从下表中选择合适的 y_p (x)

$g(x)$	$y_{p}(x)$
$ae^{bx}$	$Ae^{bx}$
$a\cos {\alpha x}\pm b\sin {\beta x}$	$A\cos {\alpha x}\pm B\sin {\beta x}$
$a_{0}+a_{1}x+\cdots +a_{n}x^{n}$	$A_{0}+A_{1}x+\cdots +A_{n}x^{n}$

求 $p(D)y_{p}(x)=g(x)$，将各项系数相等，求解常数 $A$ 和/或 $B$ 和/或 $A_{0},A_{1},\cdots ,A_{n}$。如果导致无法确定结果，则令 $y_{p}(x)=x\times y_{p}(x)$，直到可解。

常数变易法

此方法适用于具有一个变量的变系数非齐次常微分方程。

假设已知常微分方程的两个线性无关解。则

 $y_{p}(x)=-y_{2}(x)\int {y_{1}(x)g(x) \over W_{y_{1},y_{2}}(x)}dx+y_{1}(x)\int {y_{2}(x)g(x) \over W_{y_{1},y_{2}}(x)}dx$

拉普拉斯变换法求解

当给出初始条件时，

1. 求解两边的拉普拉斯变换（参见先前章节中的笔记，了解一些常见的变换）
2. 将 F(s) 单独移到一边
3. 将右边的表达式拆解为部分分式
4. 求解逆拉普拉斯变换。

使用卷积

在使用拉普拉斯变换求解时，如果最终 $F(s)$ 的形式是 </math>g(s)h(s)</math>，则可以使用卷积的性质：

$L{f(t)*g(t)}=L{f(t)}\cdot L{g(t)}$

因此 $y(x)=g(s)*h(s)$.