偏微分方程/测试函数

动机

在深入探讨本章之前，让我们先探讨测试函数的概念。考虑两个在区间 $[0,1),[1,2),[2,3),[3,4),[4,5)$ 上分段常数，并在其他地方为零的两个函数；例如，这两个函数

我们把左侧的函数称为 $f_{1}$，右侧的函数称为 $f_{2}$。

当然，我们可以很容易地看出这两个函数是不同的；它们在区间 $[4,5)$ 上不同；但是，假设我们失明了，我们唯一能了解这两个函数的方法是计算积分

$\int _{\mathbb {R} }\varphi (x)f_{1}(x)dx$ 和 $\int _{\mathbb {R} }\varphi (x)f_{2}(x)dx$

对于给定函数集 ${\mathcal {X}}$ 中的函数 $\varphi$。

我们继续选择 ${\mathcal {X}}$ 足够聪明，使得对两个积分的五次评估足以证明 $f_{1}\neq f_{2}$。为此，我们首先引入特征函数。令 $A\subseteq \mathbb {R}$ 为任意集合。$A$ 的特征函数 定义为

$\chi _{A}(x):={\begin{cases}1&x\in A\\0&x\notin A\end{cases}}$

根据此定义，我们选择函数集 ${\mathcal {X}}$ 为

${\mathcal {X}}:=\{\chi _{[0,1)},\chi _{[1,2)},\chi _{[2,3)},\chi _{[3,4)},\chi _{[4,5)}\}$

很容易看出（见练习 1），对于 $n\in \{1,2,3,4,5\}$，表达式

$\int _{\mathbb {R} }\chi _{[n-1,n)}(x)f_{1}(x)dx$

等于 $f_{1}$ 在区间 $[n-1,n)$ 上的值，对于 $f_{2}$ 也是如此。但由于这两个函数在区间 $[n-1,n),n\in \{1,2,3,4,5\}$ 上的值唯一确定（因为它们在其他地方都为零），我们可以使用以下等式测试

$f_{1}=f_{2}\Leftrightarrow \forall \varphi \in {\mathcal {X}}:\int _{\mathbb {R} }\varphi (x)f_{1}(x)dx=\int _{\mathbb {R} }\varphi (x)f_{2}(x)dx$

这显然需要对每个积分进行五次计算，因为 $\#{\mathcal {X}}=5$.

由于我们使用 ${\mathcal {X}}$ 中的函数来测试 $f_{1}$ 和 $f_{2}$，我们称之为测试函数。我们现在要问的是，这个概念是否可以从像 $f_{1}$ 和 $f_{2}$ 这样的函数（它们在某些区间上是分段常数，在其他地方为零）推广到连续函数。下一章将证明这是真的。

凸起函数

为了更简洁地写下凸起函数的定义，我们需要以下两个定义

定义 3.1:

令 $B\subseteq \mathbb {R} ^{d}$，令 $f:B\to \mathbb {R}$。我们说 $f$ 是 **光滑** 的，如果所有偏导数

$\partial _{\alpha }f,\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{d}$

存在于 $B$ 的所有点，并且是连续的。我们写 $f\in {\mathcal {C}}^{\infty }(B)$。

定义 3.2:

令 $f:\mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R}$。我们定义 $f$ 的 **支撑集** ${\text{supp }}f$ 如下

${\text{supp }}f:={\overline {\{x\in \mathbb {R} ^{d}|f(x)\neq 0\}}}}$

现在我们可以简要地定义 bump 函数

定义 3.3:

$\varphi :\mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R}$ 称为 **bump 函数** 当且仅当 $\varphi \in {\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} ^{d})$ 且 ${\text{supp }}\varphi$ 是紧致的。所有 bump 函数的集合表示为 ${\mathcal {D}}(O)$。

这两个性质使得该函数看起来确实像一个 bump，如下例所示

标准 mollifier $\eta$ 在维度 $d=1$

示例 3.4： 标准平滑函数 $\eta$，定义如下：

$\eta :\mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R} ,\eta (x)={\frac {1}{c}}{\begin{cases}e^{-{\frac {1}{1-\|x\|^{2}}}}&{\text{ if }}\|x\|_{2}<1\\0&{\text{ if }}\|x\|_{2}\geq 1\end{cases}}$

，其中 $c:=\int _{B_{1}(0)}e^{-{\frac {1}{1-\|x\|^{2}}}}dx$，是一个凸函数（参见练习 2）。

Schwartz 函数

为了简明地写出 Schwartz 函数的定义，我们需要先给出两个有用的定义。

定义 3.5:

令 $X$ 为任意集合，令 $f:X\to \mathbb {R}$ 为函数。 然后我们定义 $f$ 的上确界范数 如下

$\|f\|_{\infty }:=\sup \limits _{x\in X}|f(x)|$

定义 3.6:

对于向量 $x=(x_{1},\ldots ,x_{d})\in \mathbb {R} ^{d}$ 和 $d$ 维多重指标 $\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{d}$，我们定义 $x^{\alpha }$，$x$ 的 $\alpha$ 次方，如下

$x^{\alpha }:=x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots x_{d}^{\alpha _{d}}$

现在我们准备定义 Schwartz 函数。

定义 3.7:

我们称 $\phi :\mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R}$ 为 **Schwartz 函数** 当且仅当以下两个条件满足：

1. $\phi \in {\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} ^{d})$
2. $\forall \alpha ,\beta \in \mathbb {N} _{0}^{d}:\|x^{\alpha }\partial _{\beta }\phi \|_{\infty }<\infty$

这里，$x^{\alpha }\partial _{\beta }\phi$ 代表函数 $x\mapsto x^{\alpha }\partial _{\beta }\phi (x)$.

$f(x,y)=e^{-x^{2}-y^{2}}$

例 3.8：函数

$f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ,f(x,y)=e^{-x^{2}-y^{2}}$

是一个 Schwartz 函数。

定理 3.9:

每个 bump 函数也是 Schwartz 函数。

这意味着例如标准 mollifier 是一个 Schwartz 函数。

证明:

令 $\varphi$ 为一个 bump 函数。那么，根据 bump 函数的定义，$\varphi \in {\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} ^{d})$。根据 bump 函数的定义，我们选择 $R>0$ 使得

${\text{supp }}\varphi \subseteq {\overline {B_{R}(0)}}$

, 在 $\mathbb {R} ^{d}$ 中，一个集合是紧致的当且仅当它是闭合且有界的。此外，对于任意 $\alpha ,\beta \in \mathbb {N} _{0}^{d}$，

${\begin{aligned}\|x^{\alpha }\partial _{\beta }\varphi (x)\|_{\infty }&:=\sup _{x\in \mathbb {R} ^{d}}|x^{\alpha }\partial _{\beta }\varphi (x)|&\\&=\sup _{x\in {\overline {B_{R}(0)}}}|x^{\alpha }\partial _{\beta }\varphi (x)|&{\text{supp }}\varphi \subseteq {\overline {B_{R}(0)}}\\&=\sup _{x\in {\overline {B_{R}(0)}}}\left(|x^{\alpha }||\partial _{\beta }\varphi (x)|\right)&{\text{rules for absolute value}}\\&\leq \sup _{x\in {\overline {B_{R}(0)}}}\left(R^{|\alpha |}|\partial _{\beta }\varphi (x)|\right)&\forall i\in \{1,\ldots ,d\},(x_{1},\ldots ,x_{d})\in {\overline {B_{R}(0)}}:|x_{i}|\leq R\\&<\infty &{\text{Extreme value theorem}}\end{aligned}}$

$\Box$

碰撞函数和 Schwartz 函数的收敛

现在我们定义碰撞函数（Schwartz 函数）序列收敛到碰撞函数（Schwartz 函数）的含义。

定义 3.10:

碰撞函数序列 $(\varphi _{i})_{i\in \mathbb {N} }$ 称为收敛到另一个碰撞函数 $\varphi$ 当且仅当满足以下两个条件：

1. 存在一个紧集 $K\subset \Omega$ 使得 $\forall i\in \mathbb {N} :{\text{supp }}\varphi _{i}\subseteq K$
2. $\forall \alpha \in \mathbb {N} _{0}^{d}:\lim _{i\rightarrow \infty }\|\partial _{\alpha }\varphi _{i}-\partial _{\alpha }\varphi \|_{\infty }=0$

定义 3.11:

我们说，Schwartz 函数序列 $(\phi _{i})_{i\in \mathbb {N} }$ 收敛到 $\phi$ 当且仅当满足以下条件：

$\forall \alpha ,\beta \in \mathbb {N} _{0}^{d}:\|x^{\alpha }\partial _{\beta }\phi _{i}-x^{\alpha }\partial _{\beta }\phi \|_{\infty }\to 0,i\to \infty$

定理 3.12:

令 $(\varphi _{i})_{i\in \mathbb {N} }$ 是一个任意 bump 函数序列。如果 $\varphi _{i}\to \varphi$ 关于 bump 函数的收敛概念，那么根据 Schwartz 函数的收敛概念，也有 $\varphi _{i}\to \varphi$。

证明:

设$O\subseteq \mathbb {R} ^{d}$ 为开集，并设$(\varphi _{l})_{l\in \mathbb {N} }$ 为${\mathcal {D}}(O)$ 中的一个序列，使得$\varphi _{l}\to \varphi \in {\mathcal {D}}(O)$，其中收敛概念是${\mathcal {D}}(O)$ 的收敛概念。因此，设$K\subset \mathbb {R} ^{d}$ 为包含所有${\text{supp }}\varphi _{l}$ 的紧集。由此也得到${\text{supp }}\varphi \subseteq K$，因为否则$\|\varphi _{l}-\varphi \|_{\infty }\geq |c|$，其中$c\in \mathbb {R}$ 是$\varphi$ 在$K$ 外取的任何非零值；这将与我们收敛概念下的$\varphi _{l}\to \varphi$ 矛盾。

在$\mathbb {R} ^{d}$ 中，“紧致”等价于“有界且闭合”。因此，对于某个$R>0$，有$K\subset B_{R}(0)$。因此，对于所有多重指标$\alpha ,\beta \in \mathbb {N} _{0}^{d}$

${\begin{aligned}\|x^{\alpha }\partial _{\beta }\varphi _{l}-x^{\alpha }\partial _{\beta }\varphi \|_{\infty }&=\sup _{x\in \mathbb {R} ^{d}}\left|x^{\alpha }\partial _{\beta }\varphi _{l}(x)-x^{\alpha }\partial _{\beta }\varphi (x)\right|&{\text{ definition of the supremum norm}}\\&=\sup _{x\in B_{R}(0)}\left|x^{\alpha }\partial _{\beta }\varphi _{l}(x)-x^{\alpha }\partial _{\beta }\varphi (x)\right|&{\text{ as }}{\text{supp }}\varphi _{l},{\text{supp }}\varphi \subseteq K\subset B_{R}(0)\\&\leq R^{|\alpha |}\sup _{x\in B_{R}(0)}\left|\partial _{\beta }\varphi _{l}(x)-\partial _{\beta }\varphi (x)\right|&\forall i\in \{1,\ldots ,d\},(x_{1},\ldots ,x_{d})\in {\overline {B_{R}(0)}}:|x_{i}|\leq R\\&=R^{|\alpha |}\sup _{x\in \mathbb {R} ^{d}}\left|\partial _{\beta }\varphi _{l}(x)-\partial _{\beta }\varphi (x)\right|&{\text{ as }}{\text{supp }}\varphi _{l},{\text{supp }}\varphi \subseteq K\subset B_{R}(0)\\&=R^{|\alpha |}\left\|\partial _{\beta }\varphi _{l}(x)-\partial _{\beta }\varphi (x)\right\|_{\infty }&{\text{ definition of the supremum norm}}\\&\to 0,l\to \infty &{\text{ since }}\varphi _{l}\to \varphi {\text{ in }}{\mathcal {D}}(O)\end{aligned}}$

因此，该序列关于 Schwartz 函数收敛的概念收敛。$\Box$

测试函数的“测试”性质

在本节中，我们想要展示，可以通过计算积分来测试连续函数$f,g$ 的相等性

$\int _{\mathbb {R} ^{d}}f(x)\varphi (x)dx$ 和 $\int _{\mathbb {R} ^{d}}g(x)\varphi (x)dx$

对于所有的 $\varphi \in {\mathcal {D}}(O)$ （因此，对所有 $\varphi \in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{d})$ 评估积分也将足够，因为根据定理 3.9，${\mathcal {D}}(O)\subset {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{d})$）。

但在我们能够展示这一点之前，我们需要一个经过修改的平滑化函数，该函数的修改依赖于一个参数，以及关于该经过修改的平滑化函数的两个引理。

定义 3.13:

对于 $R\in \mathbb {R} _{>0}$，我们定义

$\eta _{R}:\mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R} ,\eta _{R}(x)=\eta \left({\frac {x}{R}}\right){\big /}R^{d}$.

引理 3.14:

令 $R\in \mathbb {R} _{>0}$。然后

${\text{supp }}\eta _{R}={\overline {B_{R}(0)}}$.

证明:

从 $\eta$ 的定义可以得出

${\text{supp }}\eta ={\overline {B_{1}(0)}}$.

此外，对于 $R\in \mathbb {R} _{>0}$

${\begin{aligned}{\frac {x}{R}}\in {\overline {B_{1}(0)}}&\Leftrightarrow \left\|{\frac {x}{R}}\right\|\leq 1\\&\Leftrightarrow \|x\|\leq R\\&\Leftrightarrow x\in {\overline {B_{R}(0)}}\end{aligned}}$

因此，并且由于

$x\in {\text{supp }}\eta _{R}\Leftrightarrow {\frac {x}{R}}\in {\text{supp }}\eta$

，我们有

$x\in {\text{supp }}\eta _{R}\Leftrightarrow x\in {\overline {B_{R}(0)}}$$\Box$

为了证明下一个引理，我们需要积分理论中的以下定理

定理 3.15： （多元积分换元法）

如果 $O,U\subseteq \mathbb {R} ^{d}$ 是开集，并且 $\psi :U\to O$ 是一个微分同胚，则

$\int _{O}f(x)dx=\int _{U}f(\psi (x))|\det J_{\psi }(x)|dx$

我们将省略证明，因为理解它对于理解本维基百科并不重要。

引理 3.16:

令 $R\in \mathbb {R} _{>0}$。然后

$\int _{\mathbb {R} ^{d}}\eta _{R}(x)dx=1$.

证明:

${\begin{aligned}\int _{\mathbb {R} ^{d}}\eta _{R}(x)dx&=\int _{\mathbb {R} ^{d}}\eta \left({\frac {x}{R}}\right){\big /}R^{d}dx&{\text{Def. of }}\eta _{R}\\&=\int _{\mathbb {R} ^{d}}\eta (x)dx&{\text{integration by substitution using }}x\mapsto Rx\\&=\int _{B_{1}(0)}\eta (x)dx&{\text{Def. of }}\eta \\&={\frac {\int _{B_{1}(0)}e^{-{\frac {1}{1-\|x\|}}}dx}{\int _{B_{1}(0)}e^{-{\frac {1}{1-\|x\|}}}dx}}&{\text{Def. of }}\eta \\&=1\end{aligned}}$$\Box$

现在我们准备证明测试函数的“测试”性质

定理 3.17:

设 $f,g:\mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R}$ 是连续的。如果

$\forall \varphi \in {\mathcal {D}}(O):\int _{\mathbb {R} ^{d}}\varphi (x)f(x)dx=\int _{\mathbb {R} ^{d}}\varphi (x)g(x)dx$,

那么 $f=g$.

证明:

令 $x\in \mathbb {R} ^{d}$ 是任意的，并令 $\epsilon \in \mathbb {R} _{>0}$。由于 $f$ 是连续的，存在一个 $\delta \in \mathbb {R} _{>0}$ 使得

$\forall y\in {\overline {B_{\delta }(x)}}:|f(x)-f(y)|<\epsilon$

那么我们有

${\begin{aligned}\left|f(x)-\int _{\mathbb {R} ^{d}}f(y)\eta _{\delta }(x-y)dy\right|&=\left|\int _{\mathbb {R} ^{d}}(f(x)-f(y))\eta _{\delta }(x-y)dy\right|&{\text{lemma 3.16}}\\&\leq \int _{\mathbb {R} ^{d}}|f(x)-f(y)|\eta _{\delta }(x-y)dy&{\text{triangle ineq. for the }}\int {\text{ and }}\eta _{\delta }\geq 0\\&=\int _{\overline {B_{\delta }(0)}}|f(x)-f(y)|\eta _{\delta }(x-y)dy&{\text{lemma 3.14}}\\&\leq \int _{\overline {B_{\delta }(0)}}\epsilon \eta _{\delta }(x-y)dy&{\text{monotony of the }}\int \\&\leq \epsilon &{\text{lemma 3.16 and }}\eta _{\delta }\geq 0\end{aligned}}$

因此，$\int _{\mathbb {R} ^{d}}f(y)\eta _{\delta }(x-y)dy\to f(x),\delta \to 0$。类似的推理也表明 $\int _{\mathbb {R} ^{d}}g(y)\eta _{\delta }(x-y)dy\to g(x),\delta \to 0$。但根据假设，我们有

$\forall \delta \in \mathbb {R} _{>0}:\int _{\mathbb {R} ^{d}}g(y)\eta _{\delta }(x-y)dy=\int _{\mathbb {R} ^{d}}f(y)\eta _{\delta }(x-y)dy$

由于实数中的极限是唯一的，因此可以得出 $f(x)=g(x)$，并且由于 $x\in \mathbb {R} ^{d}$ 是任意的，我们得到 $f=g$。$\Box$

备注 3.18：设 $f,g:\mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R}$ 是连续的。如果

$\forall \varphi \in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{d}):\int _{\mathbb {R} ^{d}}\varphi (x)f(x)dx=\int _{\mathbb {R} ^{d}}\varphi (x)g(x)dx$,

那么 $f=g$.

证明:

这源于所有凸起函数都是 Schwartz 函数，这就是为什么定理 3.17 的要求得到满足的原因。$\Box$

练习

1. 设 $b\in \mathbb {R}$ 且 $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ 在区间 $[b-1,b)$ 上是常数。证明

   $\forall y\in [b-1,b):\int _{\mathbb {R} }\chi _{[b-1,b)}(x)f(x)dx=f(y)$

2. 证明在例 3.4 中定义的标准平滑函数是一个凸起函数，方法如下

   1. 证明函数

      $x\mapsto {\begin{cases}e^{-{\frac {1}{x}}}&x>0\\0&x\leq 0\end{cases}}$

      包含在${\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} )$中。

   2. 证明函数

      $x\mapsto 1-\|x\|$

      包含在${\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} ^{d})$中。

   3. 由此可知$\eta \in {\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} ^{d})$.
   4. 通过显式计算${\text{supp }}\eta$，证明${\text{supp }}\eta$是紧致的。
3. 令$O\subseteq \mathbb {R} ^{d}$为开集，令$\varphi \in {\mathcal {D}}(O)$并且令$\phi \in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{d})$。证明如果$\alpha ,\beta \in \mathbb {N} _{0}^{d}$，那么$\partial _{\alpha }\varphi \in {\mathcal {D}}(O)$ 且 $x^{\alpha }\partial _{\beta }\phi \in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{d})$.
4. 设 $O\subseteq \mathbb {R} ^{d}$ 为开集，设 $\varphi _{1},\ldots ,\varphi _{n}\in {\mathcal {D}}(O)$ 为光滑函数，设 $c_{1},\ldots ,c_{n}\in \mathbb {R}$。证明 $\sum _{j=1}^{n}c_{j}\varphi _{j}\in {\mathcal {D}}(O)$。
5. 设 $\phi _{1},\ldots ,\phi _{n}$ 为 Schwartz 函数，设 $c_{1},\ldots ,c_{n}\in \mathbb {R}$。证明 $\sum _{j=1}^{n}c_{j}\phi _{j}$ 为 Schwartz 函数。
6. 设 $\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{d}$，设 $p(x):=\sum _{\varsigma \leq \alpha }c_{\varsigma }x^{\varsigma }$ 为多项式，设 $\phi _{l}\to \phi$ 在 Schwartz 函数意义下收敛。证明 $p\phi _{l}\to p\phi$ 在 Schwartz 函数意义下收敛。