偏微分方程/分布

分布和缓增分布

定义 4.1:

令 $O\subseteq \mathbb {R} ^{d}$ 为开集，令 ${\mathcal {T}}:{\mathcal {D}}(O)\to \mathbb {R}$ 为一个函数。我们称 ${\mathcal {T}}$ 为一个 **分布** 当且仅当

• ${\mathcal {T}}$ 是线性的 ($\forall \varphi ,\vartheta \in {\mathcal {D}}(O),b,c\in \mathbb {R} :{\mathcal {T}}(b\varphi +c\vartheta )=b{\mathcal {T}}(\varphi )+c{\mathcal {T}}(\vartheta )$)
• ${\mathcal {T}}$ 是序列连续的（如果 $\varphi _{l}\to \varphi$ 在碰撞函数的收敛概念中，则 ${\mathcal {T}}(\varphi _{l})\to {\mathcal {T}}(\varphi )$ 在实数中）

我们用 ${\mathcal {D}}(O)^{*}$ 表示 ${\mathcal {D}}(O)$ 的所有分布集合

定义 4.2:

令 ${\mathcal {T}}:{\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{d})\to \mathbb {R}$ 为一个函数。我们称 ${\mathcal {T}}$ 为一个 **缓增分布** 当且仅当

• ${\mathcal {T}}$ 是线性的 ($\forall \varphi ,\vartheta \in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{d}),b,c\in \mathbb {R} :{\mathcal {T}}(b\varphi +c\vartheta )=b{\mathcal {T}}(\varphi )+c{\mathcal {T}}(\vartheta )$)
• ${\mathcal {T}}$ 是序列连续的（如果 $\varphi _{l}\to \varphi$ 在 Schwartz 函数收敛的概念中，那么 ${\mathcal {T}}(\varphi _{l})\to {\mathcal {T}}(\varphi )$ 在实数中）

我们将所有缓增分布的集合表示为 ${\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{d})$.

定理 4.3:

令 ${\mathcal {T}}$ 是一个缓增分布。那么 ${\mathcal {T}}$ 到冲击函数的限制是一个分布。

证明:

令 ${\mathcal {T}}$ 是一个缓增分布，并令 $O\subseteq \mathbb {R} ^{d}$ 是开集。

1.

我们证明 ${\mathcal {T}}(\varphi )$ 对 $\varphi \in {\mathcal {D}}(O)$ 具有一个明确定义的值。

根据定理 3.9，每个冲击函数都是一个 Schwartz 函数，这就是为什么表达式

${\mathcal {T}}(\varphi )$

对每个 $\varphi \in {\mathcal {D}}(O)$ 有意义。

2.

我们证明该限制是线性的。

令 $a,b\in \mathbb {R}$ 且 $\varphi ,\vartheta \in {\mathcal {D}}(O)$。由于定理 3.9，$\varphi$ 和 $\vartheta$ 也是 Schwartz 函数，因此我们有

$\forall a,b\in \mathbb {R} ,\varphi ,\vartheta \in {\mathcal {D}}(O):{\mathcal {T}}(a\varphi +b\vartheta )=a{\mathcal {T}}(\varphi )+b{\mathcal {T}}(\vartheta )$

由于 ${\mathcal {T}}$ 对所有 Schwartz 函数是线性的，因此 ${\mathcal {T}}$ 对 bump 函数也是线性的。

3.

我们证明 ${\mathcal {T}}$ 对 ${\mathcal {D}}(O)$ 的限制是逐点连续的。令 $\varphi _{l}\to \varphi$ 在 bump 函数的收敛意义下。根据定理 3.11，$\varphi _{l}\to \varphi$ 在 Schwartz 函数的收敛意义下。由于 ${\mathcal {T}}$ 作为一个缓增分布是逐点连续的，所以 ${\mathcal {T}}(\varphi _{l})\to {\mathcal {T}}(\varphi )$。$\Box$

卷积

定义 4.4:

令 $f,g:\mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R}$。积分

$f*g:\mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R} ,(f*g)(y):=\int _{\mathbb {R} ^{d}}f(x)g(y-x)dx$

被称为 $f$ 和 $g$ 的 **卷积**, 当它存在时表示为 $f*g$.

两个函数的卷积并不总是存在, 但存在使其存在的充分条件。

定理 4.5:

令 $p,q\in [1,\infty ]$ 使得 ${\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1$ 且令 $f\in L^{p}(\mathbb {R} ^{d})$ 和 $g\in L^{q}(\mathbb {R} ^{d})$. 那么对于所有的 $y\in O$, 积分

$\int _{\mathbb {R} ^{d}}f(x)g(y-x)dx$

具有一个明确定义的实数值。

证明:

根据Hölder 不等式,

$\int _{\mathbb {R} ^{d}}|f(x)g(y-x)|dx\leq \left(\int _{\mathbb {R} ^{d}}|f(x)|^{p}dx\right)^{1/p}\left(\int _{\mathbb {R} ^{d}}|g(y-x)|^{q}dx\right)^{1/q}<\infty$.$\Box$

现在我们将证明卷积是可交换的, 即 $f*g=g*f$.

定理 4.6:

令 $p,q\in [1,\infty ]$ 使得 ${\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1$ （其中 ${\frac {1}{\infty }}=0$）并且令 $f\in L^{p}(\mathbb {R} ^{d})$ 以及 $g\in L^{q}(\mathbb {R} ^{d})$。那么对于所有 $y\in \mathbb {R} ^{d}$

$\forall y\in \mathbb {R} ^{d}:(f*g)(y)=(g*f)(y)$

证明:

我们使用微分同胚 $x\mapsto y-x$ 应用多维积分替换法得到

$(f*g)(y)=\int _{\mathbb {R} ^{d}}f(x)g(y-x)dx=\int _{\mathbb {R} ^{d}}f(y-x)g(x)dx=(g*f)(y)$.$\Box$

引理 4.7:

令 $O\subseteq \mathbb {R} ^{d}$ 为开集，并且令 $f\in L^{1}(\mathbb {R} ^{d})$。那么 $f*\eta _{\delta }\in {\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} ^{d})$.

证明:

令 $\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{d}$ 为任意值。 那么，由于对于所有 $y\in \mathbb {R} ^{d}$

$\int _{\mathbb {R} ^{d}}|f(x)\partial _{\alpha }\eta _{\delta }(y-x)|dx\leq \|\partial _{\alpha }\eta _{\delta }\|_{\infty }\int _{\mathbb {R} ^{d}}|f(x)|dx$

并且进一步

$|f(x)\partial _{\alpha }\eta _{\delta }(y-x)|\leq |f(x)|$,

莱布尼茨积分法则（定理 2.2）适用，并且通过多次使用莱布尼茨积分法则，我们得到

$\partial _{\alpha }f*\eta _{\delta }=f*\partial _{\alpha }\eta _{\delta }$.$\Box$

正则分布

在本节中，我们将简要研究一类称为正则分布的分布。 特别地，我们将看到对于某些类型的函数，存在相应的分布。

定义 4.8:

令 $O\subseteq \mathbb {R} ^{d}$ 为一个开集，令 ${\mathcal {T}}\in {\mathcal {D}}(O)^{*}$。 如果对于所有 $\varphi \in {\mathcal {D}}(O)$ ${\mathcal {T}}(\varphi )$ 可以写成

${\mathcal {T}}(\varphi )=\int _{O}f(x)\varphi (x)dx$

对于一个函数 $f:O\to \mathbb {R}$，该函数与 $\varphi$ 无关，那么我们称 ${\mathcal {T}}$ 为一个正则分布。

定义 4.9:

设 ${\mathcal {T}}\in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{d})^{*}$。如果对于所有 $\phi \in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{d})$ ${\mathcal {T}}(\phi )$ 可以写成

${\mathcal {T}}(\phi )=\int _{\mathbb {R} ^{d}}f(x)\phi (x)dx$

对于一个函数 $f:\mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R}$，它与 $\phi$ 无关，那么我们称 ${\mathcal {T}}$ 为 **正则缓增分布**。

与这个定义相关的两个问题可以被提出：给定一个函数 $f:\mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R}$，是 ${\mathcal {T}}_{f}:{\mathcal {D}}(O)\to \mathbb {R}$ 对于 $O\subseteq \mathbb {R} ^{d}$ 开集，由

${\mathcal {T}}_{f}(\varphi ):=\int _{O}f(x)\varphi (x)dx$

定义良好且是一个分布？或者 ${\mathcal {T}}_{f}:{\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{d})\to \mathbb {R}$ 由

${\mathcal {T}}_{f}(\phi ):=\int _{\mathbb {R} ^{d}}f(x)\phi (x)dx$

函数是否定义良好且为缓增分布？一般来说，这两个问题的答案是否定的，但如果函数$f$具有相应的正确性质，那么这两个问题都可以回答为是，如下面的两个定理所示。但在我们陈述第一个定理之前，我们必须定义局部可积性意味着什么，因为在 bump 函数的情况下，局部可积性将是$f$为了定义相应的正则分布而需要的性质

定义 4.10:

设$O\subseteq \mathbb {R} ^{d}$为开集，$f:O\to \mathbb {R}$为函数。我们说$f$是 **局部可积** 的，当且仅当对于$O$的所有紧子集$K$

$-\infty <\int _{K}f(x)dx<\infty$

我们写$f\in L_{\text{loc}}^{1}(O)$.

现在我们准备给出关于$f$的一些充分条件，以便通过以下方式定义相应的正则分布或正则缓增分布

${\mathcal {T}}_{f}:{\mathcal {D}}(O)\to \mathbb {R} ,{\mathcal {T}}_{f}(\varphi ):=\int _{O}f(x)\varphi (x)dx$

或

${\mathcal {T}}_{f}:{\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{d})\to \mathbb {R} ,{\mathcal {T}}_{f}(\phi ):=\int _{\mathbb {R} ^{d}}f(x)\phi (x)dx$:

定理 4.11:

设 $O\subseteq \mathbb {R} ^{d}$ 为开集，并设 $f:O\to \mathbb {R}$ 为一个函数。那么

${\mathcal {T}}_{f}:{\mathcal {D}}(O)\to \mathbb {R} ,{\mathcal {T}}_{f}(\varphi ):=\int _{O}f(x)\varphi (x)dx$

是正则分布当且仅当 $f\in L_{\text{loc}}^{1}(O)$.

证明:

1.

我们证明如果 $f\in L_{\text{loc}}^{1}(O)$，那么 ${\mathcal {T}}_{f}:{\mathcal {D}}(O)\to \mathbb {R}$ 是一个分布。

良定义性由积分的三角不等式和积分的单调性得出

${\begin{aligned}\left|\int _{U}\varphi (x)f(x)dx\right|\leq \int _{U}|\varphi (x)f(x)|dx=\int _{{\text{supp }}\varphi }|\varphi (x)f(x)|dx\\\leq \int _{{\text{supp }}\varphi }\|\varphi \|_{\infty }|f(x)|dx=\|\varphi \|_{\infty }\int _{{\text{supp }}\varphi }|f(x)|dx<\infty \end{aligned}}$

为了使绝对值严格小于无穷大，第一个积分首先必须具有一个定义明确的值。因此，${\mathcal {T}}_{f}$ 确实映射到 $\mathbb {R}$，良定义性得到证明。

连续性类似地由以下得出

$|T_{f}\varphi _{l}-T_{f}\varphi |=\left|\int _{K}(\varphi _{l}-\varphi )(x)f(x)dx\right|\leq \|\varphi _{l}-\varphi \|_{\infty }\underbrace {\int _{K}|f(x)|dx} _{{\text{independent of }}l}\to 0,l\to \infty$

，其中 $K$ 是所有 $\varphi _{l},l\in \mathbb {N}$ 和 $\varphi$ 支撑集所在的紧集（注意：所有 $\varphi _{l},l\in \mathbb {N}$ 支撑集都包含在其中的紧集存在是 ${\mathcal {D}}(O)$ 收敛的定义的一部分，见最后一章。正如定理 3.11 的证明中所述，我们也可以得出 $\varphi$ 的支撑集也包含在 $K$ 中）。

线性性来自积分的线性性质。

2.

我们证明如果 ${\mathcal {T}}_{f}$ 是一个分布，那么 $f\in L_{\text{loc}}^{1}(O)$ （事实上，我们甚至证明了，如果 ${\mathcal {T}}_{f}(\varphi )$ 对每个 $\varphi \in {\mathcal {D}}(O)$ 都有一个定义明确的实数值，那么 $f\in L_{\text{loc}}^{1}(O)$。因此，根据本证明的第 1 部分，其中证明了如果 $f\in L_{\text{loc}}^{1}(O)$，那么 ${\mathcal {T}}_{f}$ 是 ${\mathcal {D}}^{*}(O)$ 中的分布，我们有，如果 ${\mathcal {T}}_{f}(\varphi )$ 对每个 $\varphi \in {\mathcal {D}}(O)$ 都是一个定义明确的实数，那么 ${\mathcal {T}}_{f}$ 是 ${\mathcal {D}}(O)$ 中的分布。

令 $K\subset U$ 是一个任意的紧集。我们定义

$\mu :K\to \mathbb {R} ,\mu (\xi ):=\inf _{x\in \mathbb {R} ^{d}\setminus O}\|\xi -x\|$

$\mu$ 是连续的，甚至是具有 Lipschitz 常数 $1$ 的 Lipschitz 连续的：令 $\xi ,\iota \in \mathbb {R} ^{d}$。根据三角不等式，两者

$\forall (x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:\|\xi -x\|\leq \|\xi -\iota \|+\|\iota -y\|+\|y-x\|~~~~~(*)$

和

$\forall (x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:\|\iota -y\|\leq \|\iota -\xi \|+\|\xi -x\|+\|x-y\|~~~~~(**)$

，可以通过两次应用三角不等式得到。

我们在 $\mathbb {R} ^{d}\setminus O$ 中选择序列 $(x_{l})_{l\in \mathbb {N} }$ 和 $(y_{m})_{m\in \mathbb {N} }$，使得 $\lim _{l\to \infty }\|\xi -x_{l}\|=\mu (\xi )$ 和 $\lim _{m\to \infty }\|\iota -y_{m}\|=\mu (\iota )$，并考虑两种情况。首先，我们考虑如果 $\mu (\xi )\geq \mu (\iota )$ 会发生什么。然后我们有

${\begin{aligned}|\mu (\xi )-\mu (\iota )|&=\mu (\xi )-\mu (\iota )&\\&=\inf _{x\in \mathbb {R} ^{d}\setminus O}\|\xi -x\|-\inf _{y\in \mathbb {R} ^{d}\setminus O}\|\iota -y\|&\\&=\inf _{x\in \mathbb {R} ^{d}\setminus O}\|\xi -x\|-\lim _{m\to \infty }\|\iota -y_{m}\|&\\&=\lim _{m\to \infty }\inf _{x\in \mathbb {R} ^{d}\setminus O}\left(\|\xi -x\|-\|\iota -y_{m}\|\right)&\\&\leq \lim _{m\to \infty }\inf _{x\in \mathbb {R} ^{d}\setminus O}\left(\|\xi -\iota \|+\|x-y_{m}\|\right)&(*){\text{ with }}y=y_{m}\\&=\|\xi -\iota \|&\end{aligned}}$.

其次，我们考虑当 $\mu (\xi )\leq \mu (\iota )$ 时会发生什么。

${\begin{aligned}|\mu (\xi )-\mu (\iota )|&=\mu (\iota )-\mu (\xi )&\\&=\inf _{y\in \mathbb {R} ^{d}\setminus O}\|\iota -y\|-\inf _{x\in \mathbb {R} ^{d}\setminus O}\|\xi -x\|&\\&=\inf _{y\in \mathbb {R} ^{d}\setminus O}\|\iota -y\|-\lim _{l\to \infty }\|\xi -x_{l}\|&\\&=\lim _{l\to \infty }\inf _{y\in \mathbb {R} ^{d}\setminus O}\left(\|\iota -y\|-\|\xi -x_{l}\|\right)&\\&\leq \lim _{l\to \infty }\inf _{y\in \mathbb {R} ^{d}\setminus O}\left(\|\xi -\iota \|+\|y-x_{l}\|\right)&(**){\text{ with }}x=x_{l}\\&=\|\xi -\iota \|&\end{aligned}}$

由于始终满足以下任一条件：$\mu (\xi )\geq \mu (\iota )$ 或 $\mu (\xi )\leq \mu (\iota )$，我们已经证明了 Lipschitz 连续性，因此也证明了连续性。根据极值定理，$\mu$ 因此在 $\kappa \in \mathbb {R} ^{d}$ 处存在最小值。由于 $\mu (\kappa )=0$ 将意味着 $\|\xi -x_{l}\|\to 0,l\to \infty$ 对于序列 $(x_{l})_{l\in \mathbb {N} }$ 在 $\mathbb {R} ^{d}\setminus O$ 中成立，但这与 $\mathbb {R} ^{d}\setminus O$ 是闭集且 $\kappa \in K\subset O$ 矛盾，因此我们有 $\mu (\kappa )>0$。

因此，如果我们定义 $\delta :=\mu (\kappa )$，则 $\delta >0$。此外，该函数

$\vartheta :\mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R} ,\vartheta (x):=(\chi _{K+B_{\delta /4}(0)}*\eta _{\delta /4})(x)=\int _{\mathbb {R} ^{d}}\eta _{\delta /4}(y)\chi _{K+B_{\delta /4}(0)}(x-y)dy=\int _{B_{\delta /4}(0)}\eta _{\delta /4}(y)\chi _{K+B_{\delta /4}(0)}(x-y)dy$

的支撑包含在$O$中，在$K$内等于$1$，并且根据引理 4.7，它也包含在${\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} ^{d})$中。因此，它也包含在${\mathcal {D}}(O)$中。因此，根据积分的单调性，

$\int _{K}|f(x)|dx=\int _{O}|f(x)|\chi _{K}(x)dx\leq \int _{\mathbb {R} ^{d}}|f(x)|\vartheta (x)dx$

，$f$确实局部可积。$\Box$

定理 4.12:

设$f\in L^{2}(\mathbb {R} ^{d})$，即

$\int _{\mathbb {R} ^{d}}|f(x)|^{2}dx<\infty$

那么

${\mathcal {T}}_{f}:{\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{d})\to \mathbb {R} ,{\mathcal {T}}_{f}(\phi ):=\int _{\mathbb {R} ^{d}}f(x)\phi (x)dx$

是一个正则的缓增分布。

证明:

从Hölder 不等式中，我们得到

$\int _{\mathbb {R} ^{d}}|\phi (x)||f(x)|dx\leq \|\phi \|_{L^{2}}\|f\|_{L^{2}}<\infty$.

因此，${\mathcal {T}}_{f}$ 是定义良好的。

由于积分的三角不等式和赫尔德不等式，我们有

$|T_{f}(\phi _{l})-T_{f}(\phi )|\leq \int _{\mathbb {R} ^{d}}|(\phi _{l}-\phi )(x)||f(x)|dx\leq \|\phi _{l}-\phi \|_{L^{2}}\|f\|_{L^{2}}$

此外

${\begin{aligned}\|\phi _{l}-\phi \|_{L^{2}}^{2}&\leq \|\phi _{l}-\phi \|_{\infty }\int _{\mathbb {R} ^{d}}|(\phi _{l}-\phi )(x)|dx\\&=\|\phi _{l}-\phi \|_{\infty }\int _{\mathbb {R} ^{d}}\prod _{j=1}^{d}(1+x_{j}^{2})|(\phi _{l}-\phi )(x)|{\frac {1}{\prod _{j=1}^{d}(1+x_{j}^{2})}}dx\\&\leq \|\phi _{l}-\phi \|_{\infty }\left\|\prod _{j=1}^{d}(1+x_{j}^{2})(\phi _{l}-\phi )\right\|_{\infty }\underbrace {\int _{\mathbb {R} ^{d}}{\frac {1}{\prod _{j=1}^{d}(1+x_{j}^{2})}}dx} _{=\pi ^{d}}\end{aligned}}$.

如果$\phi _{l}\to \phi$ 在 Schwartz 函数空间的收敛概念中，那么这个表达式将变为零。因此，连续性得到了验证。

线性性来自积分的线性性。$\Box$

等连续性

我们现在介绍等连续性的概念。

定义 4.13:

设 $M$ 是一个带有度量 $d$ 的度量空间，设 $X\subseteq M$ 是 $M$ 中的一个集合，设 ${\mathcal {Q}}$ 是一组从 $X$ 到实数 $\mathbb {R}$ 的连续函数的集合。我们称此集合 ${\mathcal {Q}}$ 为**等度连续**，当且仅当

$\forall x\in X:\exists \delta \in \mathbb {R} _{>0}:\forall y\in X:d(x,y)<\delta \Rightarrow \forall f\in {\mathcal {Q}}:|f(x)-f(y)|<\epsilon$.

因此，等度连续实际上是定义在从 $X$（度量空间中的一个集合）到实数 $\mathbb {R}$ 的连续函数的集合上的。

定理 4.14:

设 $M$ 为一个度量空间，其度量记为 $d$，设 $Q\subseteq M$ 为 $M$ 中的一个 序列紧致 集合，设 ${\mathcal {Q}}$ 为从 $Q$ 到实数 $\mathbb {R}$ 的一个等度连续连续函数集。则有：如果 $(f_{l})_{l\in \mathbb {N} }$ 是 ${\mathcal {Q}}$ 中的一个序列，使得对于每个 $x\in Q$，$f_{l}(x)$ 都有极限，那么对于函数 $f(x):=\lim _{l\to \infty }f_{l}(x)$，它将 $Q$ 映射到 $\mathbb {R}$，则有 $f_{l}\to f$ 一致收敛。

证明:

为了证明一致收敛，根据定义，我们必须证明对于所有 $\epsilon >0$，存在一个 $N\in \mathbb {N}$，使得对于所有 $l\geq N:\forall x\in Q:|f_{l}(x)-f(x)|<\epsilon$。

所以让我们假设相反的情况，这等同于对逻辑语句取反

$\exists \epsilon >0:\forall N\in \mathbb {N} :\exists l\geq N:\exists x\in Q:|f_{l}(x)-f(x)|\geq \epsilon$.

我们选择一个序列 $(x_{m})_{m\in \mathbb {N} }$ 在 $Q$ 中。我们取 $x_{1}$ 在 $Q$ 中，使得 $|f_{l_{1}}(x_{1})-f(x_{1})|\geq \epsilon$ ，对于任意选择的 $l_{1}\in \mathbb {N}$，如果我们已经选择了 $x_{k}$ 和 $l_{k}$ 对于所有 $k\in \{1,\ldots ,m\}$，我们选择 $x_{m+1}$ 使得 $|f_{l_{m+1}}(x_{m+1})-f(x_{m+1})|\geq \epsilon$，其中 $l_{m+1}$ 大于 $l_{m}$。

由于 $Q$ 是序紧的，存在一个收敛子序列 $(x_{m_{j}})_{j\in \mathbb {N} }$ 的 $(x_{m})_{m\in \mathbb {N} }$。我们将该子序列的极限称为 $x$。

由于 ${\mathcal {Q}}$ 是等度连续的，我们可以选择 $\delta \in \mathbb {R} _{>0}$ 使得

$\|x-y\|<\delta \Rightarrow \forall f\in {\mathcal {Q}}:|f(x)-f(y)|<{\frac {\epsilon }{4}}$.

此外，由于 $x_{m_{j}}\to x$（当然，如果 $j\to \infty$），我们可以选择 $J\in \mathbb {N}$ 使得

$\forall j\geq J:\|x_{m_{j}}-x\|<\delta$.

但是，对于 $j\geq J$ 和 反三角不等式，以下成立

$|f_{l_{m_{j}}}(x)-f(x)|\geq \left||f_{l_{m_{j}}}(x)-f(x_{m_{j}})|-|f(x_{m_{j}})-f(x)|\right|$

由于我们有 $|f(x_{m_{j}})-f(x)|<{\frac {\epsilon }{4}}$，根据反三角不等式和 t 的定义，我们可以得到

$|f_{l_{m_{j}}}(x)-f(x_{m_{j}})|\geq \left||f_{l_{m_{j}}}(x_{m_{j}})-f(x_{m_{j}})|-|f_{l_{m_{j}}}(x)-f_{l_{m_{j}}}(x_{m_{j}})|\right|\geq \epsilon -{\frac {\epsilon }{4}}$

, 我们得到

${\begin{aligned}|f_{l_{m_{j}}}(x)-f(x)|&\geq \left||f_{l_{m_{j}}}(x)-f(x_{m_{j}})|-|f(x_{m_{j}})-f(x)|\right|\\&=|f_{l_{m_{j}}}(x)-f(x_{m_{j}})|-|f(x_{m_{j}})-f(x)|\\&\geq \epsilon -{\frac {\epsilon }{4}}-{\frac {\epsilon }{4}}\\&\geq {\frac {\epsilon }{2}}\end{aligned}}$

因此，我们与 $f_{l}(x)\to f(x)$ 产生矛盾。$\Box$

定理 4.15:

令 ${\mathcal {Q}}$ 为一组可微函数，从凸集 $X\subseteq \mathbb {R} ^{d}$ 映射到 $\mathbb {R}$。如果存在一个常数 $b\in \mathbb {R} _{>0}$ 使得对于 ${\mathcal {Q}}$ 中的所有函数， $\forall x\in X:\|\nabla f(x)\|\leq b$（因为所有函数都要求可微，所以每个 ${\mathcal {Q}}$ 中的函数都存在 $\nabla f$），那么 ${\mathcal {Q}}$ 是等度连续的。

证明：我们要证明等度连续性，所以我们要证明

$\forall x\in X:\exists \delta \in \mathbb {R} _{>0}:\forall y\in X:\|x-y\|<\delta \Rightarrow \forall f\in {\mathcal {Q}}:|f(x)-f(y)|<\epsilon$.

令 $x\in X$ 为任意点。

我们选择 $\delta :={\frac {\epsilon }{b}}$.

令 $y\in X$ 使得 $\|x-y\|<\delta$，并令 $f\in {\mathcal {Q}}$ 为任意函数。根据多元平均值定理，存在一个 $\lambda \in [0,1]$ 使得

$f(x)-f(y)=\nabla f(\lambda x+(1-\lambda )y)\cdot (x-y)$

元素 $\lambda x+(1-\lambda )y$ 位于 $X$ 内，因为 $X$ 是凸的。由 柯西-施瓦茨不等式 可得

$|f(x)-f(y)|=|\nabla f(\lambda x+(1-\lambda )y)\cdot (x-y)|\leq \|\nabla f(\lambda x+(1-\lambda )y)\|\|x-y\|<b\delta ={\frac {b}{b}}\epsilon =\epsilon$$\Box$

广义乘积法则

定义 4.16:

如果 $\alpha =(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{d}),\beta =(\beta _{1},\ldots ,\beta _{d})\in \mathbb {N} _{0}^{d}$ 是两个 $d$ 维多重索引，我们定义 **$\alpha$ 对 $\beta$ 的二项式系数** 为

${\binom {\alpha }{\beta }}:={\binom {\alpha _{1}}{\beta _{1}}}{\binom {\alpha _{2}}{\beta _{2}}}\cdots {\binom {\alpha _{d}}{\beta _{d}}}$.

我们还定义多重索引集上的小于等于关系。

定义 4.17:

令 $\alpha =(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{d}),\beta =(\beta _{1},\ldots ,\beta _{d})\in \mathbb {N} _{0}^{d}$ 是两个 $d$ 维多重指标。 我们定义 $\beta$ 小于或等于 $\alpha$ 当且仅当

$\beta \leq \alpha :\Leftrightarrow \forall n\in \{1,\ldots ,d\}:\beta _{n}\leq \alpha _{n}$.

对于 $d\geq 2$，存在向量 $\alpha ,\beta \in \mathbb {N} _{0}^{d}$ 使得 $\alpha \leq \beta$ 或 $\beta \leq \alpha$ 均不成立。 对于 $d=2$，以下两个向量是这种情况的例子

$\alpha =(1,0),\beta =(0,1)$

这个例子可以推广到更高维度（见练习 6）。

有了这些多重指标定义，我们就可以写出乘积规则的更一般版本。 但为了证明它，我们需要另一个引理。

引理 4.18:

如果 $n\in \{1,\ldots ,d\}$ 且 $e_{n}:=(0,\ldots ,0,1,0,\ldots ,0)$，其中 $1$ 位于第 $n$ 个位置，我们有

${\binom {\alpha -e_{n}}{\beta -e_{n}}}+{\binom {\alpha -e_{n}}{\beta }}={\binom {\alpha }{\beta }}$

对于任意多重指标 $\alpha ,\beta \in \mathbb {N} _{0}^{d}$。

证明:

对于自然数的普通二项式系数，我们有公式

${\binom {n-1}{k-1}}+{\binom {n-1}{k}}={\binom {n}{k}}$.

因此，

${\begin{aligned}{\binom {\alpha -e_{n}}{\beta -e_{n}}}+{\binom {\alpha -e_{n}}{\beta }}&={\binom {\alpha _{1}}{\beta _{1}}}\cdots {\binom {\alpha _{n}-1}{\beta _{n}-1}}\cdots {\binom {\alpha _{d}}{\beta _{d}}}+{\binom {\alpha _{1}}{\beta _{1}}}\cdots {\binom {\alpha _{n}-1}{\beta _{n}}}\cdots {\binom {\alpha _{d}}{\beta _{d}}}\\&={\binom {\alpha _{1}}{\beta _{1}}}\cdots \left({\binom {\alpha _{n}-1}{\beta _{n}-1}}+{\binom {\alpha _{n}-1}{\beta _{n}}}\right)\cdots {\binom {\alpha _{d}}{\beta _{d}}}\\&={\binom {\alpha _{1}}{\beta _{1}}}\cdots {\binom {\alpha _{n}}{\beta _{n}}}\cdots {\binom {\alpha _{d}}{\beta _{d}}}={\binom {\alpha }{\beta }}\end{aligned}}$$\Box$

这是广义乘积法则。

定理 4.19:

令 $f\in {\mathcal {C}}^{n}(\mathbb {R} ^{d})$ 并且令 $|\alpha |\leq n$。那么

$\partial _{\alpha }(fg)=\sum _{\beta \leq \alpha }{\binom {\alpha }{\beta }}\partial _{\beta }f\partial _{\alpha -\beta }g$

证明:

我们通过归纳法证明此结论，归纳变量为 $|\alpha |$。

1.

首先考虑归纳基 $|\alpha |=0$。此时，公式简化为

$f(x)g(x)=f(x)g(x)$

，这显然成立。因此，我们完成了归纳基的证明。

2.

接下来进行归纳步。假设对于所有 $\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{d}$ 满足 $|\alpha |=n$，结论都成立。现在考虑 $\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{d}$ 使得 $|\alpha |=n+1$。选择一个 $k\in \{1,\ldots ,d\}$ 使得 $\alpha _{k}>0$（因为 $|\alpha |=k+1>0$）。我们再次定义 $e_{k}=(0,\ldots ,0,1,0,\ldots ,0)$，其中 $1$ 位于第 $k$ 个位置。根据 施瓦兹定理 和普通的乘积法则，我们有

$\partial _{\alpha }fg=\partial _{\alpha -e_{k}}\left(\partial _{x_{k}}fg\right)=\partial _{\alpha -e_{k}}\left(\partial _{x_{k}}fg+f\partial _{x_{k}}g\right)$.

根据导数的线性性质和归纳假设，我们有

${\begin{aligned}\partial _{\alpha -e_{k}}\left(\partial _{x_{k}}fg+f\partial _{x_{k}}g\right)&=\partial _{\alpha -e_{k}}\left(\partial _{x_{k}}fg\right)+\partial _{\alpha -e_{k}}\left(f\partial _{x_{k}}g\right)\\&=\sum _{\varsigma \leq \alpha -e_{k}}{\binom {\alpha -e_{k}}{\varsigma }}\partial _{\varsigma }\partial _{x_{k}}f\partial _{\alpha -e_{k}-\varsigma }g+\sum _{\varsigma \leq \alpha -e_{k}}{\binom {\alpha -e_{k}}{\varsigma }}\partial _{\varsigma }f\partial _{\alpha -e_{k}-\varsigma }\partial _{x_{k}}g\end{aligned}}$.

由于

$\partial _{\alpha -e_{k}-\varsigma }=\partial _{\alpha -(\varsigma +e_{k})}$

和

$\{\varsigma \in \mathbb {N} _{0}^{d}|0\leq \varsigma \leq \alpha -e_{k}\}=\{\varsigma -e_{k}\in \mathbb {N} _{0}^{d}|e_{k}\leq \varsigma \leq \alpha \}$,

我们可以在上述两个和式中第一个的指标进行移位，并且根据定义，我们有

$\partial _{\varsigma }\partial _{x_{k}}=\partial _{\varsigma +e_{k}}$.

有了这些，我们得到

$\sum _{\varsigma \leq \alpha -e_{k}}{\binom {\alpha -e_{k}}{\varsigma }}\partial _{\varsigma }\partial _{x_{k}}f\partial _{\alpha -e_{k}-\varsigma }g+\sum _{\varsigma \leq \alpha -e_{k}}{\binom {\alpha -e_{k}}{\varsigma }}\partial _{\varsigma }f\partial _{\alpha -e_{k}-\varsigma }\partial _{x_{k}}g=\sum _{e_{k}\leq \varsigma \leq \alpha }{\binom {\alpha -e_{k}}{\varsigma -e_{k}}}\partial _{\varsigma }f\cdot \partial _{\alpha -\varsigma }g+\sum _{\varsigma \leq \alpha -e_{k}}{\binom {\alpha -e_{k}}{\varsigma }}\partial _{\varsigma }f\partial _{\alpha -\varsigma }g$

根据引理 4.18，

${\binom {\alpha -e_{k}}{\beta -e_{i}}}+{\binom {\alpha -e_{k}}{\beta }}={\binom {\alpha }{\beta }}$.

此外，我们有

${\binom {\alpha -e_{i}}{0}}={\binom {\alpha }{0}}=1$ 其中 $0=(0,\ldots ,0)$ 在 $\mathbb {N} _{0}^{d}$ 中，

和

${\binom {\alpha -e_{k}}{\alpha -e_{k}}}={\binom {\alpha }{\alpha }}=1$

（这两个规则可以从 ${\binom {\alpha }{\beta }}$ 的定义中得到验证）。由此可得

${\begin{aligned}\partial _{\alpha }(fg)&=\sum _{e_{k}\leq \varsigma \leq \alpha }{\binom {\alpha -e_{k}}{\varsigma -e_{k}}}\partial _{\varsigma }f\cdot \partial _{\alpha -\varsigma }g+\sum _{\varsigma \leq \alpha -e_{k}}{\binom {\alpha -e_{k}}{\varsigma }}\partial _{\varsigma }f\partial _{\alpha -\varsigma }g\\&={\binom {\alpha -e_{k}}{0}}f\partial _{\alpha }g+\sum _{e_{k}\leq \varsigma \leq \alpha -e_{k}}\left[{\binom {\alpha -e_{k}}{\varsigma -e_{k}}}+{\binom {\alpha -e_{k}}{\varsigma }}\right]\partial _{\varsigma }f\partial _{\alpha -\varsigma }g+{\binom {\alpha -e_{k}}{\alpha -e_{k}}}f\partial _{\alpha }g\\&=\sum _{\varsigma \leq \alpha }{\binom {\alpha }{\varsigma }}\partial _{\varsigma }f\partial _{\alpha -\varsigma }\end{aligned}}$.$\Box$

分布的运算

对于 $\varphi ,\vartheta \in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{d})$，存在诸如 $\varphi$ 的微分，$\varphi$ 和 $\vartheta$ 的卷积以及 $\varphi$ 和 $\vartheta$ 的乘法之类的运算。在下一节中，我们想为分布 ${\mathcal {T}}$ 而不是 $\varphi$ 定义这三种运算（微分、与 $\vartheta$ 的卷积以及与 $\vartheta$ 的乘法）。

引理 4.20:

令 $O,U\subseteq \mathbb {R} ^{d}$ 是开集，并令 $L:{\mathcal {D}}(O)\to L_{\text{loc}}^{1}(U)$ 是一个线性函数。如果存在一个线性且逐点连续的（在定义 4.1 的意义上）函数 ${\mathcal {L}}:{\mathcal {D}}(U)\to {\mathcal {D}}(O)$ 使得

$\forall \varphi \in {\mathcal {D}}(O),\vartheta \in {\mathcal {D}}(U):\int _{O}\varphi (x){\mathcal {L}}(\vartheta )(x)dx=\int _{U}L(\varphi )(x)\vartheta (x)dx$

，那么对于任何分布 ${\mathcal {T}}\in {\mathcal {D}}(O)^{*}$，函数 $\varphi \mapsto {\mathcal {T}}({\mathcal {L}}(\varphi ))$ 是一个分布。因此，函数

$\Lambda :{\mathcal {D}}(O)^{*}\to {\mathcal {D}}(U)^{*},\Lambda ({\mathcal {T}}):={\mathcal {T}}\circ {\mathcal {L}}$

实际上映射到 ${\mathcal {D}}(U)^{*}$。该函数具有以下性质

$\forall \varphi \in {\mathcal {D}}(O):\Lambda ({\mathcal {T}}_{\varphi })={\mathcal {T}}_{L(\varphi )}$

证明:

我们需要证明两个断言：首先，函数 $\varphi \mapsto {\mathcal {T}}({\mathcal {L}}(\varphi ))$ 是一个分布，其次，如上定义的 $\Lambda$ 具有以下性质

$\forall \varphi \in {\mathcal {D}}(O):\Lambda ({\mathcal {T}}_{\varphi })={\mathcal {T}}_{L(\varphi )}$

1.

我们证明函数 $\varphi \mapsto {\mathcal {T}}({\mathcal {L}}(\varphi ))$ 是一个分布。

${\mathcal {T}}({\mathcal {L}}(\varphi ))$ 在 $\mathbb {R}$ 中具有明确定义的值，因为 ${\mathcal {L}}$ 映射到 ${\mathcal {D}}(O)$，这正是 ${\mathcal {T}}$ 的原像。函数 $\varphi \mapsto {\mathcal {T}}({\mathcal {L}}(\varphi ))$ 是连续的，因为它是由两个连续函数复合而成，它也是线性的，原因相同（参见练习 2）。

2.

我们证明 $\Lambda$ 具有以下性质

$\forall \varphi \in {\mathcal {D}}(O):\Lambda ({\mathcal {T}}_{\varphi })={\mathcal {T}}_{L(\varphi )}$

对于每个$\vartheta \in {\mathcal {D}}(U)$，我们有

$\Lambda ({\mathcal {T}}_{\varphi })(\vartheta ):=({\mathcal {T}}_{\varphi }\circ {\mathcal {L}})(\vartheta ):=\int _{O}\varphi (x){\mathcal {L}}(\vartheta )(x)dx{\overset {\text{by assumption}}{=}}\int _{U}L(\varphi )(x)\vartheta (x)dx=:{\mathcal {T}}_{L(\varphi )}(\vartheta )$

由于两个函数相等等价于这两个函数在每个点处的值相等，这表明了所需的性质。$\Box$

我们也对Schwartz 分布有类似的引理

引理 4.21:

设$L:{\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{d})\to L_{\text{loc}}^{1}(\mathbb {R} ^{d})$ 是一个线性函数。如果存在一个线性且顺序连续（按照定义 4.2 的意义）的函数${\mathcal {L}}:{\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{d})\to {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{d})$ 使得

$\forall \phi ,\theta \in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{d}):\int _{\mathbb {R} ^{d}}\phi (x){\mathcal {L}}(\theta )(x)dx=\int _{\mathbb {R} ^{d}}L(\phi )(x)\theta (x)dx$

, 那么对于每个分布${\mathcal {T}}\in S(\mathbb {R} ^{d})^{*}$，函数$\phi \mapsto {\mathcal {T}}({\mathcal {L}}(\phi ))$ 是一个分布。因此，我们可以定义一个函数

$\Lambda :{\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{d})^{*}\to {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{d})^{*},\Lambda ({\mathcal {T}}):={\mathcal {T}}\circ {\mathcal {L}}$

该函数具有以下性质

$\forall \phi \in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{d}):\Lambda ({\mathcal {T}}_{\phi })={\mathcal {T}}_{L(\phi )}$

证明过程与引理 4.20 的证明完全相同。

注意到乘法、微分和卷积都是线性的，我们将在以上两个引理中定义这些操作，将 $L$ 作为这三种操作中的相应操作。

定理和定义 4.22:

设 $f\in {\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} ^{d})$，且设 $O\subseteq \mathbb {R} ^{d}$ 为开集。那么对于所有的 $\varphi \in {\mathcal {D}}(O)$，点乘积 $f\varphi$ 包含在 ${\mathcal {D}}(O)$ 中，并且如果进一步 $f$ 及其所有导数都由多项式界定，那么对于所有的 $\phi \in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{d})$，点乘积 $f\phi$ 包含在 ${\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{d})$ 中。此外，如果 $\varphi _{l}\to \varphi$ 在冲击函数意义上收敛，那么 $f\varphi _{l}\to f\varphi$ 在冲击函数意义上收敛，并且如果 $f$ 及其所有导数都由多项式界定，那么 $\phi _{l}\to \phi$ 在 Schwartz 函数意义上收敛意味着 $f\phi _{l}\to f\phi$ 在 Schwartz 函数意义上收敛。进一步

• 设 ${\mathcal {T}}:{\mathcal {D}}(O)\to \mathbb {R}$ 为一个分布。如果我们定义

  $f{\mathcal {T}}:{\mathcal {D}}(O)\to \mathbb {R} ,f{\mathcal {T}}(\varphi ):={\mathcal {T}}(f\varphi )$,

  那么，右边的表达式是定义良好的，并且对于所有$\vartheta \in {\mathcal {D}}(O)$，我们有

  $f{\mathcal {T}}_{\vartheta }={\mathcal {T}}_{f\vartheta }$,

  并且$f{\mathcal {T}}$是一个分布。

• 假设$f$及其所有导数都以多项式为界。令${\mathcal {T}}:{\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{d})\to \mathbb {R}$是一个缓增分布。如果我们定义

  $f{\mathcal {T}}:{\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{d})\to \mathbb {R} ,f{\mathcal {T}}(\phi ):={\mathcal {T}}(f\phi )$,

  那么，右边的表达式是定义良好的，并且对于所有$\theta \in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{d})$，我们有

  $f{\mathcal {T}}_{\theta }={\mathcal {T}}_{f\theta }$,

  并且$f{\mathcal {T}}$是一个缓增分布。

证明

两个 ${\mathcal {C}}^{\infty }$ 函数的乘积仍然是 ${\mathcal {C}}^{\infty }$，此外，如果 $\varphi (x)=0$，那么 $(f\varphi )(x)=f(x)\varphi (x)=0$。因此，$f\varphi \in {\mathcal {D}}(O)$.

同样，如果 $\varphi _{l}\to \varphi$ 在bump函数的意义下，那么，如果 $K\subset \mathbb {R} ^{d}$ 是一个紧集，使得对于所有的 $n\in \mathbb {N}$，都有 ${\text{supp }}\varphi _{n}\subseteq K$

${\begin{aligned}\|\partial _{\alpha }(f(\varphi _{l}-\varphi ))\|_{\infty }&=\left\|\sum _{\varsigma \leq \alpha }{\binom {\alpha }{\varsigma }}\partial _{\varsigma }f\partial _{\alpha -\varsigma }(\varphi _{l}-\varphi )\right\|_{\infty }\\&\leq \sum _{\varsigma \leq \alpha }\|\partial _{\varsigma }f\partial _{\alpha -\varsigma }(\varphi _{l}-\varphi )\|_{\infty }\\&\leq \sum _{\varsigma \leq \alpha }\max _{x\in K}|\partial _{\varsigma }f|\|\partial _{\alpha -\varsigma }(\varphi _{l}-\varphi )\|_{\infty }\to 0,l\to \infty \end{aligned}}$.

因此，$f\varphi _{l}\to f\varphi$在 bump 函数的意义下。

此外，也有 $f\phi \in {\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} ^{d})$。令$\alpha ,\beta \in \mathbb {N} _{0}^{d}$为任意值。那么

$\partial _{\beta }f\phi =\sum _{\varsigma \leq \beta }{\binom {\beta }{\varsigma }}\partial _{\varsigma }f\partial _{\beta -\varsigma }\phi$.

由于 $f$的所有导数都由多项式限制，根据定义，我们得到

$\forall x\in \mathbb {R} ^{d}:|\partial _{\varsigma }f(x)|\leq |p_{\varsigma }(x)|$

，其中$p_{\varsigma },\varsigma \in \mathbb {N} _{0}^{d}$ 是多项式。因此，

$\|x^{\alpha }\partial _{\beta }f\phi \|_{\infty }\leq \sum _{\varsigma \leq \beta }\|x^{\alpha }p_{\varsigma }\partial _{\beta -\varsigma }\phi \|_{\infty }<\infty$.

类似地，如果$\phi _{l}\to \phi$在 Schwartz 函数的意义下，那么根据练习 3.6

$\|x^{\alpha }\partial _{\beta }f(\phi -\phi _{l})\|_{\infty }\leq \sum _{\varsigma \leq \beta }\|x^{\alpha }p_{\varsigma }\partial _{\beta -\varsigma }(\phi -\phi _{l})\|_{\infty }\to 0,l\to \infty$

因此，$f\phi _{l}\to f\phi$ 在 Schwartz 函数意义下收敛。

如果我们定义 $L(\varphi ):={\mathcal {L}}(\varphi ):=f\varphi$，根据引理 4.20 和 4.21 可以得出其他结论。$\Box$

定理和定义 4.23:

设 $O\subseteq \mathbb {R} ^{d}$ 为开集。我们定义

$L:{\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{d})\to {\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} ^{d}),L(\phi ):=\sum _{\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{d}}a_{\alpha }\partial _{\alpha }\phi$

，其中 $a_{\alpha }\in {\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} ^{d})$ 使得只有有限多个 $a_{\alpha }$ 与零函数不同（这样的函数也称为 **线性偏微分算子**），并且我们进一步定义

${\mathcal {L}}:{\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{d})\to {\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} ^{d}),{\mathcal {L}}(\phi ):=\sum _{|\alpha |\leq k}(-1)^{|\alpha |}\partial _{\alpha }(a_{\alpha }\phi )$.

• 设 ${\mathcal {T}}:{\mathcal {D}}(O)\to \mathbb {R}$ 为一个分布。如果我们定义

  $\sum _{\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{d}}a_{\alpha }\partial _{\alpha }{\mathcal {T}}:{\mathcal {D}}(O)\to \mathbb {R} ,\sum _{\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{d}}a_{\alpha }\partial _{\alpha }{\mathcal {T}}(\varphi ):={\mathcal {T}}({\mathcal {L}}(\varphi ))$,

  则对于所有 $\vartheta \in {\mathcal {D}}(O)$，我们有

  $\sum _{\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{d}}a_{\alpha }\partial _{\alpha }{\mathcal {T}}_{\vartheta }={\mathcal {T}}_{L(\vartheta )}$,

  并且 $\sum _{\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{d}}a_{\alpha }\partial _{\alpha }{\mathcal {T}}$ 是一个分布。

• 假设所有 $a_{\alpha }$ 及其所有导数都以多项式为界。令 ${\mathcal {T}}:{\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{d})\to \mathbb {R}$ 是一个缓增分布。如果我们定义

  $\sum _{\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{d}}a_{\alpha }\partial _{\alpha }{\mathcal {T}}:{\mathcal {D}}(O)\to \mathbb {R} ,\sum _{\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{d}}a_{\alpha }\partial _{\alpha }{\mathcal {T}}(\varphi ):={\mathcal {T}}({\mathcal {L}}(\varphi ))$,

  则对于所有 $\vartheta \in {\mathcal {D}}(O)$，我们有

  $\sum _{\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{d}}a_{\alpha }\partial _{\alpha }{\mathcal {T}}_{\vartheta }={\mathcal {T}}_{L(\vartheta )}$,

  并且 $\sum _{\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{d}}a_{\alpha }\partial _{\alpha }{\mathcal {T}}$ 是一个缓增分布。

证明:

我们想要应用引理 4.20 和 4.21。因此，我们证明这些引理的要求得到了满足。

由于碰撞函数的导数仍然是碰撞函数，Schwartz 函数的导数仍然是 Schwartz 函数（参见练习 3.3 以了解两者），并且由于定理 4.22，我们有 $L$ 和 ${\mathcal {L}}$ 将 ${\mathcal {D}}(O)$ 映射到 ${\mathcal {D}}(O)$，并且如果所有 $a_{\alpha }$ 及其所有导数都以多项式为界，则 $L$ 和 ${\mathcal {L}}$ 将 ${\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{d})$ 映射到 ${\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{d})$。

${\mathcal {L}}$ 的序列连续性来自定理 4.22。

此外，对于所有$\phi ,\theta \in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{d})$,

$\int _{\mathbb {R} ^{d}}\phi (x){\mathcal {L}}(\theta )(x)dx=\sum _{\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{d}}(-1)^{|\alpha |}\int _{\mathbb {R} ^{d}}\phi (x)\partial _{\alpha }(a_{\alpha }\theta )(x)dx$.

此外，如果我们单挑出一个$\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{d}$，根据 Fubini 定理 和分部积分，我们得到

${\begin{aligned}\int _{\mathbb {R} ^{d}}\phi (x)\partial _{\alpha }(a_{\alpha }\theta )(x)dx&=\int _{\mathbb {R} ^{d-1}}\int _{\mathbb {R} }\phi (x)\partial _{\alpha }(a_{\alpha }\theta )(x)dx_{1}d(x_{2},\ldots ,x_{d})\\&=\int _{\mathbb {R} ^{d-1}}\int _{\mathbb {R} }\phi (x)\partial _{\alpha }(a_{\alpha }\theta )(x)dx_{1}d(x_{2},\ldots ,x_{d})\\&=\int _{\mathbb {R} ^{d-1}}(-1)^{\alpha _{1}}\int _{\mathbb {R} }\partial _{(\alpha _{1},0,\ldots ,0)}\phi (x)\partial _{\alpha -(\alpha _{1},0,\ldots ,0)}(a_{\alpha }\theta )(x)dx_{1}d(x_{2},\ldots ,x_{d})\\&=\cdots =(-1)^{|\alpha |}\int _{\mathbb {R} ^{d}}\partial _{\alpha }\phi (x)a_{\alpha }(x)\theta (x)dx\end{aligned}}$.

因此，

$\int _{\mathbb {R} ^{d}}\phi (x){\mathcal {L}}(\theta )(x)dx=\int _{\mathbb {R} ^{d}}L(\phi )(x)\theta (x)dx$

并且引理是适用的。 $\Box$

定义 4.24:

令 ${\mathcal {T}}\in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{d})^{*}$ 且令 $\varphi \in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{d})$。然后我们定义函数

${\mathcal {T}}*\varphi (x):={\mathcal {T}}(\varphi (x-\cdot ))$.

此函数称为 **${\mathcal {T}}$ 和 $\varphi$ 的 **卷积**。**

定理 4.25:

令 ${\mathcal {T}}\in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{d})^{*}$ 且令 $\varphi \in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{d})$。然后

1. ${\mathcal {T}}*\varphi$ 是连续的，
2. $\forall \alpha \in \mathbb {N} _{0}^{d}:\partial _{\alpha }({\mathcal {T}}*\varphi )={\mathcal {T}}*(\partial _{\alpha }\varphi )$ 并且
3. ${\mathcal {T}}*\varphi \in {\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} ^{d})$.

证明:

1.

令 $x\in \mathbb {R} ^{d}$ 为任意值，并令 $(x_{l})_{l\in \mathbb {N} }$ 为一个收敛到 $x$ 的序列，并令 $N\in \mathbb {N}$ 使得 $\forall n\geq N:\|x_{n}-x\|\leq 1$。 那么

$K:={\overline {\bigcup _{n\geq N}{\text{supp }}\varphi (x_{n}-\cdot )\cup \bigcup _{n<N}{\text{supp }}\varphi (x_{n}-\cdot )}}$

由于紧凑，因此对于任意$\beta \in \mathbb {N} _{0}^{d}$，都有$\partial _{\beta }\varphi (x_{l}-\cdot )|_{K}\to \partial _{\beta }\varphi (x-\cdot )|_{K}$ 一致收敛。但在$K$ 的外部，$\partial _{\beta }\varphi (x_{l}-\cdot )-\partial _{\beta }\varphi (x-\cdot )=0$。因此，$\partial _{\beta }\varphi (x_{l}-\cdot )\to \partial _{\beta }\varphi (x-\cdot )$ 一致收敛。此外，对于所有 $n\in \mathbb {N}$，都有${\text{supp }}\varphi (x_{n}-\cdot )\subseteq K$。因此，$\varphi (x_{l}-\cdot )\to \varphi ,l\to \infty$，在 bump 函数意义上。因此，由于 ${\mathcal {T}}$ 的连续性，

$({\mathcal {T}}*\varphi )(x_{l})={\mathcal {T}}(\varphi (x_{l}-\cdot ))\to {\mathcal {T}}(\varphi (x-\cdot ))=({\mathcal {T}}*\varphi )(x),l\to \infty$.

2.

我们用归纳法在 $|\alpha |$ 上进行证明。

归纳基础 $|\alpha |=0$ 是显然的，因为对于所有函数 $f:\mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R}$，根据定义都有 $\partial _{(0,\ldots ,0)}f=f$。

假设该语句对于所有 $\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{d}$ 成立，其中 $|\alpha |=n$。令 $\beta \in \mathbb {N} _{0}^{d}$ 使得 $|\beta |=n+1$。我们选择 $k\in \{1,\ldots ,d\}$ 使得 $\beta _{k}>0$（这是可能的，因为否则 $\beta =\mathbf {0}$）。此外，我们定义

$e_{k}:=(0,\ldots ,0,\overbrace {1} ^{k{\text{th place}}},0,\ldots ,0)$.

则 $|\beta -e_{k}|=n$，因此 $\partial _{\beta -e_{k}}({\mathcal {T}}*\varphi )={\mathcal {T}}*(\partial _{\beta -e_{k}}\varphi )$。

此外，对于所有 $\vartheta \in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{d})$，

$\lim _{\lambda \to 0}{\frac {{\mathcal {T}}*\vartheta (x+\lambda e_{k})-{\mathcal {T}}*\vartheta (x)}{\lambda }}=\lim _{\lambda \to 0}{\mathcal {T}}\left({\frac {\vartheta (x+\lambda e_{k}-\cdot )-\vartheta (x-\cdot )}{\lambda }}\right)$.

但由于施瓦茨定理，${\frac {\vartheta (x+\lambda e_{k}-\cdot )-\vartheta (x-\cdot )}{\lambda }}\to \partial _{x_{k}}\vartheta ,\lambda \to 0$ 在 bump 函数的意义上，因此

$\lim _{\lambda \to 0}{\mathcal {T}}\left({\frac {\vartheta (x+\lambda e_{k}-\cdot )-\vartheta (x-\cdot )}{\lambda }}\right)={\mathcal {T}}(\vartheta (x-\cdot ))$.

因此，$\partial _{\beta }({\mathcal {T}}*\varphi )=\partial _{e_{k}}{\mathcal {T}}*(\partial _{\beta -e_{k}}\varphi )={\mathcal {T}}*(\partial _{\beta }\varphi )$，因为$\partial _{\beta -e_{k}}\varphi$ 是 bump 函数（见练习 3.3）。

3.

这遵循 1. 和 2.，因为$\partial _{\beta }\varphi$ 对于所有 $\beta \in \mathbb {N} _{0}^{d}$ 都是 bump 函数（见练习 3.3）。$\Box$

练习

1. 令 ${\mathcal {T}}_{1},\ldots ,{\mathcal {T}}_{n}$ 是（缓增）分布，并令 $c_{1},\ldots ,c_{n}\in \mathbb {R}$。证明 $\sum _{j=1}^{n}c_{j}{\mathcal {T}}_{j}$ 也是（缓增）分布。
2. 令 $f:\mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R}$ 本质上有界。证明 ${\mathcal {T}}_{f}$ 是缓增分布。
3. 证明如果${\mathcal {Q}}$是一组可微函数，从$[0,1]^{d}$到$\mathbb {R}$，使得存在一个$c\in \mathbb {R} _{>0}$，使得对所有$g\in {\mathcal {Q}}$，有$\forall x\in \mathbb {R} ^{d}:\|\nabla g(x)\|<c$，并且如果$(f_{l})_{l\in \mathbb {N} }$是${\mathcal {Q}}$中的一个序列，其中逐点极限$\lim _{l\to \infty }f_{l}(x)$对所有$x\in \mathbb {R} ^{d}$存在，那么$f_{l}$在$[0,1]^{d}$上一致收敛于一个函数（提示：$[0,1]^{d}$是顺序紧的；这来自于博尔扎诺-魏尔斯特拉斯定理）。
4. 设$f:\mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R}$ 是一个分布，证明对于所有$\varphi \in {\mathcal {D}}(O)$ 有${\mathcal {T}}_{f}*\varphi =f*\varphi$.
5. 证明对于$x\in \mathbb {R} ^{d}$ 函数$\delta _{x}:{\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{d})\to \mathbb {R} ,\delta (\phi ):=\phi (x)$ 是一个缓增分布（这个函数被称为狄拉克δ分布，以保罗·狄拉克命名）。
6. 对于每个$d\in \mathbb {N}$，找到$\alpha _{d},\beta _{d}\in \mathbb {N} _{0}^{d}$ 使得$\alpha _{d}\leq \beta _{d}$ 和$\beta _{d}\leq \alpha _{d}$ 都不成立。

来源

• 鲁丁，沃尔特 (1991). 泛函分析 (第2版). 麦格劳-希尔. ISBN 9780070542365.
• Daniel Matthes (2013/2014), 偏微分方程讲义 {{citation}}: Check date values in: |year= (help)
• Hasse Carlsson (2011), 分布讲义 (PDF)
• Ivan F. Wilde, 分布理论（广义函数）笔记 (PDF)