通过电子游戏解释物理学/功和能的介绍

通过电子游戏解释物理学
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主题 3.1 - 功和能的介绍

目标

了解什么是功。
理解和应用功的推导。
了解动能和势能。
使用功-能定理计算物理情况。

主题 3.1.1 - 功

示例 1：滚动的城市巨石

巨石因为作用在它上面的力而做了功。此外，巨石在同一方向上发生了位移。

为了进一步描述物理物体的行为，我们可以考虑功。功是系统内的能量类型，我们将在稍后讨论。它涉及考虑作用在物体上的一个选定力的量级以及物体所发生的位移。

在最简单的形式中，功是力的量级和物体位移的乘积，前提是 (1) 力是恒定的，并且 (2) 力和位移向量指向同一方向。在这种特殊情况下， ${\text{Work}}={\text{Force}}\cdot {\text{Displacement}}$ . 我们可以使用这样的约定，功可以用符号 $W$ 表示，使得 $W={\vec {F}}{\vec {d}}$ .

例如，在swiped3修改版的lack of comfort中，考虑一个在平面上向右滚动的圆形巨石。巨石在平面上向右加速。这是因为风推动巨石，对它提供了一个恒定的 ${\vec {F}}_{\text{net}}$ ，指向右侧。此外，在视频中，存在一个指向右侧的位移向量。

练习：假设 ${\vec {F}}_{\text{net}}$ 的量级为 $10.\;{\text{N}}$ 并且位移量级为 $5.0\;{\text{m}}$ 。对巨石所做的净功是多少？

答案

在本例中，我们被告知力是恒定的。此外，我们可以在图中看到 ${\vec {F}}_{\text{net}}$ 和 ${\vec {d}}$ 向量指向同一个方向（向右）。因此，我们可以使用公式 $W={\vec {F}}{\vec {d}}$ ，如下所示，来求解净力 ${\vec {F}}_{\text{net}}$ 对巨石所做的功。

$W={\vec {F}}{\vec {d}}$

$W_{\text{net}}={\vec {F}}_{\text{net}}{\vec {d}}$ [我们正在考虑净力对球做的功。因此，我们正在计算球的净功。]

$W_{\text{net}}=(10.)(5.0)\;{\text{N}}\cdot {\text{m}}$ [代入。]

$W_{\text{net}}=50.\;{\text{N m}}$ [2 位有效数字]

当巨石在屋顶上滚动时，它具有 $50.\;{\text{N m}}$ 的净功。

示例 2：螺旋桨飞机

飞机下降的示意图，上面覆盖了位移向量。

如主题 2.3 - 牛顿第二定律中所见，让我们再次考虑由 TiM MELL0 制作的地图“操纵飞机”，其中玩家 Sam（红色）驾驶飞机下降到地面。我们将使用此示例来推广计算物体上恒力做功的概念。

值得注意的是，即使位移向量与力向量不平行，我们也可以计算力对物体所做的功。因此，我们可以使用一般公式来计算物体上恒力所做的功。

恒力下做功的定义

W={\vec {F}}{\boldsymbol {\cdot }}{\vec {d}}

从上面的等式中，注意两点

功是一个标量值。这意味着它是一个一维的值。但是，它可以是负数或正数。有关更多信息，请观看可汗学院的此视频。此外，下一个示例将进一步深入探讨此概念。
点积用于该等式。这是两个向量之间的一种乘法运算。通常，这个概念是在预备微积分课程中引入的。

如果您不熟悉点积，我们也可以将恒力做功的一般方程写成另一种形式，即 $W=Fd\cos(\theta )$ 。其中，

$F$ 和 $d$ 分别代表向量 ${\vec {F}}$ 和 ${\vec {d}}$ 的大小。
$\theta$ 是这两个向量之间方向的差值。

练习：假设有一个大小为

8.0\cdot 10^{4}\;{\text{N}}

（向下方向）的重力作用在正在下降的平面上。使用平面路径上的两个点，标记为“开始”和“结束”，发现这两个点之间距离为

100.\;{\text{m}}

。此外，平面这两个点之间的位移向量指向

30.^{\circ }

低于 +X 轴。重力在这两个标记点之间所做的功是多少？

答案：为了解决这个问题，我们首先列出提示中提到的信息。

我们要计算重力对平面所做的功。
重力向量的大小为 $8.0\cdot 10^{4}\;{\text{N}}$ ，方向向下。
位移向量的大小为 $100.\;{\text{m}}$ 。它的方向是 $30.^{\circ }$ 低于 +X 轴。

有了这些，我们可以找到代入公式 $W=Fd\cos(\theta )$ 所需的变量。更具体地说，重力向量的幅度是我们的 ${\vec {F}}$ 变量。此外，位移向量代表 ${\vec {d}}$ 变量。因此，我们可以将部分变量代入公式，使得

$W=Fd\cos(\theta )$ [公式]

$W_{grav}=F_{grav}d\cos(\theta )$ [我们正在考虑重力作用在平面上。]

$W_{grav}=(8.0\cdot 10^{4})(100.)\cos(\theta )\;{\text{N m}}$ [代入重力和位移矢量大小。]

为了考虑 $\theta$ 的值，我们可以绘制 ${\vec {F}}_{grav}$ 和 ${\vec {d}}$ ，如右侧图所示。根据给定的信息和图表，我们可以发现 $\theta =60.^{\circ }$ 。我们可以将该值代入 $W_{grav}$ 的方程并继续简化。

$W_{grav}=(8.0\cdot 10^{4})\;(100.)\cos(60.^{\circ })\;{\text{N m}}$ [代入 $\theta$ ]

$W_{grav}=4.0\cdot 10^{6}\;{\text{N}}\,{\text{m}}$ [使用度数模式；代数；2 位有效数字]

当飞机下降时，重力对飞机做功 $4.0\cdot 10^{6}\;{\text{N}}\,{\text{m}}$ 。

示例 3：生产线

内容先决条件
在阅读此示例之前，请观看由可汗学院创建的相关视频。

一个装满彩色箱子的传送带沿着生产线滚动。

我们也可以计算一个力所做的功，即使力在发生变化。假设在antidonaldtrump / Armin van Buren制作的《工厂复制地图》中，彩色箱子被推沿着生产线移动。在生产线的顶层，这些方块有一个合力将它们向前推沿着生产线，使其向左加速。

与之前的例子不同，作用在物体上的力是变化的。这意味着方程 $W=Fd\cos(\theta )$ （假设力是恒定的）不能直接使用。

相反，我们可以考虑用图形方法计算彩色箱子的功。

演练：假设在生产线的顶层，

黄色箱子翻到一边，开始沿着两个传送带向左移动。
黄色箱子在第一条传送带上移动了 $1.0\;{\text{m}}$ 。

黄色箱子在第一条传送带上受到的合力是 $200.\;{\text{N}}$ 。
然后，黄色箱子在第二条传送带上移动了 $4.0\;{\text{m}}$ 。
黄色箱子在第二条传送带上时的合力为 $300.\;{\text{N}}$ 。

在本例中，我们将通过图形方法计算作用在黄色箱子上的合力所做的功。为此，我们可以创建一个关于作用在黄色箱子上的力的函数，该函数与右侧所示的位移有关。为了更深入地研究，我们需要考虑一些关于功的理论。

力所做的功是该力在一个距离上的累积。换句话说，我们可以绘制一个关于距离的力的函数图。由于功是关于距离的力的累积，因此上述函数曲线下的面积就是功。

利用这个定义，我们可以创建一个关于黄色箱子合力的图， ${\vec {F}}_{net}$ 关于 ${\vec {d}}$ 的图。由于作用在黄色箱子上的力依赖于箱子的位置，因此 ${\vec {F}}_{net}$ 是自变量（ $Y\;{\text{axis}}$ ），而 ${\vec {d}}$ 是因变量（ $X\;{\text{axis}}$ ）。

如上所述，由于功是关于距离的力的累积，如果我们要计算绿色曲线和 $X$ 轴之间的面积，那么这就是作用在黄色箱子上从 $0.0\;{\text{m}}$ 到 $5.0\;{\text{m}}$ 的功。

这可以通过将图中所示的图形分解为两个矩形来完成，如图所示。从这里，我们可以轻松地计算出每个矩形的面积，从而得到所做的功。

有了这些，我们可以将两个矩形的面积结合起来，找到所做的功。

图形	图形面积	相关位移域
紫色矩形	$200.\;{\text{Nm}}$	$0.0$ 到 $1.0\;{\text{m}}$
蓝色矩形	$1200.\;{\text{Nm}}$	$1.0$ 到 $5.0\;{\text{m}}$
总面积	$1400.\;{\text{Nm}}$ ( ${1.40\cdot 10^{3}}\;{\text{Nm}}$ ，调整有效数字后)	$0.0$ 到 $5.0\;{\text{m}}$