通过电子游戏解释物理学/牛顿第二定律

主题 2.3 - 牛顿第二定律

为了将运动学概念应用到更多物理情况，我们需要考虑如何利用力来解释物体的运动。

示例 1：火箭推进

*地图是猴子管家私人地图。*

如火箭所示*，物体在施加于它们上的合力方向上加速。在本例中，作用于火箭的唯一非可忽略力是其推进力，该力将火箭推向右上方向。因此，火箭的推进力是其合力，${\vec {F}}_{net}$.

由此，我们可以看到火箭从静止状态开始向右上方加速。换句话说，火箭由于推进力而向右上方加速。

火箭加速度的行为可以通过注意下面牛顿第二定律的定义来概括。

牛顿第二定律的定义

在任何时刻，作用于物体的合力等于物体的质量乘以其合加速度。

利用这个定义，我们可以创建方程式 ${\vec {F}}_{net}=m{\vec {a}}_{net}$。这使我们能够将作用于物体的力概念与物体的加速度联系起来。

示例 2：滑板运动

考虑一个TiM MELL0的滑板决斗的修改版本。在这个版本中，猴子管家（左）和Hello4409（右）都尝试通过对滑板施加在左右方向之间交替的力来移动他们的滑板。需要注意的是，两位玩家都施加了相同大小的水平力。

如上面的视频所示，Hello4409的滑板移动速度比猴子管家的滑板慢得多。这是因为滑板的质量不同。更具体地说，Hello4409的滑板质量更大。因此，当Hello4409尝试对他的滑板施加力时，它的加速速度更慢。

这可以用右边的图表来表示，该图表说明了给定一些已知的合力，$F_{net}$，如果物体质量更大，那么该物体的合加速度，$a_{net}$，将更小。

在滑板示例中，猴子管家和Hello4409的滑板在滑板位于斜坡底部时承受着相同的力。更准确地说，两位玩家的滑板都具有大小可忽略不计的重力和接触力。因此，两位玩家的合力都是作用力。

虽然作用力的大小相等，但我们可以考虑牛顿第二定律，其中$F_{net}=ma_{net}\implies a_{net}={\frac {F_{net}}{m}}$。由于猴子管家的滑板（蓝色）质量更小，因此它的合加速度的大小更大。

此外，由于猴子管家能够使他的滑板获得更大的加速度，他的蓝色滑板能够沿着斜坡向上行驶更远。这个概念将在第 3 单元中进一步探讨。

示例 3：汽车追逐

为了进一步了解牛顿第二定律的应用，考虑下面O_o O_o O_o的汽车追逐的修改版本。在这张地图中，一辆警车正在追逐一辆红色车辆，两辆车都逐渐减速并停下来。

任务
假设
• 空气阻力可以忽略不计。
• 警车的重力和接触力在大小上可以忽略不计地不同。
• 警车从发动机推力产生的作用力和汽车从粗糙地面产生的摩擦力仅作用于水平方向。

考虑到视频的整体情况，在警车减速时，下面提到的哪个力的量级更大？然后，绘制警车的受力分析图（FBD）。

警车施加的力（来自发动机推力）

警车的摩擦力（来自粗糙的地面）

都不是。它们的量级相等。

答案

警车的摩擦力（来自粗糙的地面）。

解释一下，我们已经知道警车正在减速。由于警车最初向右移动，然后相对于地面静止，警车具有净加速度，$a_{net}$，方向向左。根据笛卡尔坐标系约定，净加速度指向负水平方向。

根据牛顿第二定律，净力的方向与净加速度的方向相同。因此，警车有一个指向左边的净力。

在垂直方向上，重力和接触力大小相等，完全抵消。此外，我们知道摩擦力作用向左，施加的力作用向右。有了这些信息，我们可以开始绘制该情况的受力分析图（FBD），如右图所示。

由于只有摩擦力和施加的力位于水平方向，为了使合力位于负（左）方向，摩擦力必须具有更大的量级。这在FBD中反映出来，其中摩擦力的向量比施加力的向量绘制得更长。

如果摩擦力的大小不比施加的力大呢？

如果我们假设其他选择之一是正确的，那么涉及警车的物理情况将有所不同。

• 如果我们说“警车的施加力（来自发动机推力）”的量级更大，那么警车将在视频中向右加速，并继续向右加速。

• 如果我们说“都不是”的量级更大，那么摩擦力和施加的力将相互抵消。尽管这将在主题2.4中作为牛顿第一定律的一部分进行讨论，但如果我们只有相互抵消的力，则物体不会向任何方向加速。因此，选择这个选项意味着警车的速度没有变化。

示例4：螺旋桨飞机

一架飞机以恒定的合力作用在它上面，进入逐渐下降状态。

为了将牛顿第二定律的讨论扩展到定量情况，让我们考虑一下TiM MELL0的机动飞机地图。在这个地图中，玩家可以通过对飞机表面施加力来影响小型飞机的运动。

假设玩家Sam（红色）正在驾驶一架飞机，最初施加向下的力，同时水平向右移动。当Sam进入虚线轨道时，他停止对飞机施加力。不久之后，飞机运动的方向逐渐接近一个稳定状态的下降。

假设

• 飞机和玩家的总质量为$6{,}000.\;{\text{kg}}$
• 作用在飞机上的力在飞机位于虚线轨道上时保持不变。
• 这个${\vec {F}}_{\text{grav}}$和这个${\vec {F}}_{\text{lift}}$力作用在相反的方向，大小相等。
• 这个${\vec {F}}_{\text{engine}}$（来自飞机发动机的力）方向与+X轴相比，向下$5^{\circ }$。
• 力的大小为${\vec {F}}_{\text{lift}}=10.\;{\text{kN}}$，${\vec {F}}_{\text{grav}}=-10.\;{\text{kN}}$和${\vec {F}}_{\text{engine}}=15.\;{\text{kN}}$。

（单位转换： $1\;{\text{kN}}$ = $1{,}000\;{\text{N}}$）

• 这些力可以被描绘成下面提供的受力分析图。

一个显示飞机下降时作用在它上面的力的图。

任务：计算飞机在水平方向上的加速度，而它在虚线轨道上行驶。

答案

${\vec {a}}_{{\text{net}},{\textbf {x}}}=2.5\;{\frac {\text{m}}{{\text{s}}^{2}}}$ [2位有效数字]
注意：这里考虑的是水平加速度，而不是整体加速度。

为了解决这个问题，我们需要考虑牛顿第二定律。然而，我们没有明确给出${\vec {F}}_{\text{net}}$。相反，我们必须利用上面列出的信息来计算${\vec {F}}_{\text{net}}$。

我们可以发现${\vec {F}}_{\text{lift}}$ 和 ${\vec {F}}_{\text{grav}}$ 直接相反并相互抵消。因此，在计算${\vec {F}}_{\text{net}}$时，我们可以忽略这些力。（它们也只在垂直方向上作用，因此不会影响水平加速度。但是，我们很快就会讲到这一点。）

因此，只有${\vec {F}}_{\text{engine}}$ 仍然没有被抵消。因此，${\vec {F}}_{\text{net}}={\vec {F}}_{\text{engine}}$。有了这些信息，我们可以推导出飞机的整体加速度，如下所示：${\vec {F}}_{\text{net}}=m\,{\vec {a}}_{\text{net}}$ [牛顿第二定律的定义]

${\vec {a}}_{\text{net}}={\frac {{\vec {F}}_{\text{net}}}{m}}$ [求解整体加速度向量。]

${\vec {a}}_{\text{net}}={\frac {(15.)\cdot 10^{3}\;{\text{N}}}{6000.\;{\text{kg}}}}$ [已知变量的代入；$15.\;{\text{kN}}\implies (15.)\cdot 10^{3}\;{\text{N}}$].

${\vec {a}}_{\text{net}}=2.5\;{\frac {\text{N}}{\text{kg}}}$ [除法；${\frac {\text{N}}{\text{kg}}}\implies {\frac {\text{m}}{{\text{s}}^{2}}}$；有效数字为 2 位。]

整体加速度向量${\vec {a}}_{\text{net}}$ 及其分量在山姆飞行静止图像上的叠加。

然而，我们还没有完成。这是因为任务明确要求我们考虑飞机的水平加速度，而不是整体加速度。因此，我们需要使用三角函数来获得最终答案。我们可以绘制整体加速度，${\vec {a}}_{\text{net}}$，其大小为$2.5\;{\frac {\text{m}}{{\text{s}}^{2}}}$，并且其方向角比+X轴低$5^{\circ }$。关于${\vec {a}}_{\text{net}}$的方向角，我们之所以知道这一点，是因为${\vec {F}}_{\text{net}}$的指定方向角。此外，物体沿其合力的方向加速。

利用加速度向量${\vec {a}}_{\text{net}}$及其分量，我们可以构造一个直角三角形，其中有一个已知角度$\theta$等于$5^{\circ }$。因为${\vec {a}}_{\text{net,x}}$是$\theta$的邻边，并且${\vec {a}}_{\text{net}}$是三角形的斜边，我们可以直接求解${\vec {a}}_{\text{net,x}}$，如下所示

$cos(\theta )={\frac {\text{adjacent side}}{\text{hypotenuse side}}}$ [三角函数中$cos(\theta )$函数的定义。]

${\text{adjacent side}}=cos(\theta )({\text{hypotenuse side}})$ [求解邻边的长度。]

${\vec {a}}_{\text{net,x}}=cos(5^{\circ })(2.5)\;{\frac {\text{m}}{{\text{s}}^{2}}}$ [变量代入。]

${\vec {a}}_{\text{net,x}}=2.49049\ldots \;{\frac {\text{m}}{{\text{s}}^{2}}}$ [计算（使用角度模式）。]

${\vec {a}}_{\text{net,x}}=2.5\;{\frac {\text{m}}{{\text{s}}^{2}}}$ [2 位有效数字]

飞机以 $2.5\;{\frac {\text{m}}{{\text{s}}^{2}}}$ 的速率水平加速。

需要注意的是，${\vec {a}}_{\text{net,x}}$ 保留 2 位有效数字等于 ${\vec {a}}_{\text{net}}$。这是因为 $\theta$ 是一个小角度，其中 $cos(\theta )=0.99619\ldots \approx 1$。

问题 1：青蛙神殿

玩家掉进青蛙的舌头，并被强大的力量迅速拉进嘴中。

考虑一下 O_dot 制作的 青蛙神殿 地图。在这张地图中，玩家正在进行直接的战斗。其中一名玩家不小心触动了陷阱感应器（品红色），导致装饰性的青蛙突然伸出舌头。不久之后，Spy Coder X（蓝色）被抓住并拉走，最终丧命。

假设

• 青蛙的舌头最初从嘴里伸出时的速度为 $-2.0\;{\frac {\text{m}}{\text{s}}}$。
• 青蛙舌头的合力，${\vec {F}}_{\text{net}}$，是恒定的，大小为 $500.\;{\text{N}}$。
• 青蛙的舌头质量为 $200.\;{\text{kg}}$。
• Spy Coder X 距离青蛙舌尖 $0.20\;{\text{m}}$ 落地。这发生在青蛙舌头完全伸展后 $0.10\;{\text{s}}$。
• Spy Coder X 接触后完全附着在青蛙舌头上。

使用上面提供的信息回答以下问题。

第 (a) 部分

确定青蛙舌头合力，${\vec {F}}_{\text{net}}$，的作用方向。

第 (b) 部分

利用牛顿第二定律，计算青蛙舌头的加速度。

一个未标记的自由体图，显示可能作用在玩家下方的“间谍编码器X”上的力。
每个力的定义
* 设 ${\vec {F}}_{\text{grav}}$ 是作用在玩家上的重力。
* 设 ${\vec {F}}_{\text{contact}}$ 是来自青蛙舌头的接触力，作用在玩家身上。
* 设 ${\vec {F}}_{\text{tongue}}$ 是来自青蛙舌头的水平力，作用在玩家身上。这是作用在青蛙舌头上的合力。

部分 (c)

绘制一个自由体图，显示所有作用在“间谍编码器X”上的力，该“间谍编码器X”已落到青蛙舌头上（如右侧图像所示）。请注意，图像中提到的某些力可能不需要。

部分 (d)

(i) 设青蛙舌头最初释放的时刻为 $t=0.0\;{\text{s}}$。青蛙舌头在什么时间 $t$ 回到嘴里？

(ii) 青蛙舌头在什么时间 $t$ 完全伸展？

(iii) 计算“间谍编码器X”粘在青蛙舌头上到进入青蛙嘴之间经过了多少时间。

考虑在这篇文章的讨论页面上讨论你的解决方案，在那里你可以从其他人那里获得帮助。

参考文献