微积分物理学/力学/标量和矢量量

介绍

Mitchel Joens 的研究与数学研究密切相关。有时，一个数字或数量的方向与数字本身一样重要。19 世纪的数学家们开发了一种方便的方法来描述和处理有方向和无方向的数量，将它们分为两种类型：标量和矢量。标量有大小，但没有方向。矢量既有大小又有方向。例如，人们可以描述一架飞机以 400 英里的时速飞行。然而，仅仅知道飞机的速度并不像知道飞机的速度和方向那么有用，因此更准确的描述可能是飞机以 400 英里的时速向东南方向飞行。我们通过将标量和矢量的概念应用于物理量来使用它们，以便我们可以更方便地理解它们的性质和特征。

标量

标量是只有大小没有方向的数字。标量用单个字母表示，例如 $a$ 。标量的例子有质量（五公斤）、温度（二十二度摄氏度）和无单位的数字（例如三）。

矢量

矢量是表示既有方向又有大小的量的一种几何方法。力的例子就是一个矢量。如果我们要完全描述作用在物体上的力，我们不仅需要指定施加了多少力，还需要指定施加力的方向。另一个矢量量的例子是速度——以每秒 10 米的速度向东移动的物体与以每秒 10 米的速度向西移动的物体具有不同的速度。然而，这个矢量是一个特例，有时人们只对物体速度的大小感兴趣。这个标量被称为速度，它有大小但没有给定的方向。

当写矢量时，它们用一个粗体字母或字母上带箭头来表示，例如 $\mathbf {A}$ 或 ${\vec {A}}$ 。矢量的例子有位移（例如120 厘米，30°）和速度（例如每秒 12 米，北向）。唯一基本的 SI 单位是矢量是米。所有其他都是标量。派生量可以是矢量或标量，但每个矢量量必须在定义和单位中涉及米。

单位向量

严格来说，矢量独立于任何坐标系而存在。由于矢量是几何对象，因此我们不需要定义坐标系来谈论矢量——甚至执行大多数矢量运算。例如，考虑三元组：你拥有的苹果数量、香蕉数量和胡萝卜数量。假设你在一组坐标系中计算三元组并得到 (1,2,3)。如果你旋转你的坐标系并重新计算，你将再次得到 (1,2,3)。因此，三元组不具有矢量最重要的属性——即像坐标系一样变换。

然而，引入坐标系通常很方便。在三维空间中，对于许多问题，直角坐标系或笛卡尔坐标系（以法国数学家勒内·笛卡尔命名）被证明是方便的，并且可以通过单位向量来定义这个坐标系。

单位向量是指指向特定方向且大小为一的向量。本质上，它只表示方向。在笛卡尔坐标系中，三个单位向量分别称为i、j和k（或在手写时，在上面加一个小“帽子”，如 ${\hat {i}}$ ， ${\hat {j}}$ ，和 ${\hat {k}}$ ）。口语上，你可以将单位向量方向称为“东”、“北”和“上”。同样也可以选择i为上，j为东，k为北。在选择i、j和k时，一旦i和j被选择，k必须指向特定方向，以使一个称为“右手定则”的通用惯例成立。数学上，这可以简洁地表示为，

{\hat {k}}={\hat {i}}\times {\hat {j}}

,

但我们会稍后在描述“叉积”时对此进行更详细的说明。

单位向量通常被选择为正交的。也就是说，每个单位向量都垂直于其他单位向量。虽然单位向量不必正交，但在大多数情况下，使用由正交单位向量定义的坐标系会很方便。物理学中使用的另外两种主要坐标系是柱坐标系和球坐标系。这些将在必要时稍后介绍。

向量分量

每个向量都可以表示为其n个单位向量的和。

{\vec {A}}=a_{x}~{\hat {i}}+a_{y}~{\hat {j}}+a_{z}~{\hat {k}}

a_x、a_y和a_z被称为向量A的向量分量。有时它们被简单地表示为有序三元组（例如 (a_x,a_y,a_z)），尤其是在三个单位向量的选择和顺序没有歧义的情况下。

向量代数

取反

取反也可以意味着一个向量不等于另一个向量，因此可以这样解释： ${\vec {A}}\neq {\vec {B}}$

-{\vec {A}}=-(a_{x}~{\hat {i}}+a_{y}~{\hat {j}}+a_{z}~{\hat {k}})=-a_{x}~{\hat {i}}-a_{y}~{\hat {j}}-a_{z}~{\hat {k}}

考虑用箭头图形表示的向量，向量的负值将用相同长度但方向相反的向量表示。

标量乘法

k{\vec {A}}=ka_{x}~{\hat {i}}+ka_{y}~{\hat {j}}+ka_{z}~{\hat {k}}

请注意，向量取反仅仅是乘以一个标量，其中该标量为-1。图形表示的缩放向量将指向与原始向量相同的方向，但其大小将按k倍进行缩放。

加法

{\begin{aligned}{\vec {A}}+{\vec {B}}&=(a_{x}~{\hat {i}}+a_{y}~{\hat {j}}+a_{z}~{\hat {k}})+(b_{x}~{\hat {i}}+b_{y}~{\hat {j}}+b_{z}~{\hat {k}})\\&=(a_{x}+b_{x})~{\hat {i}}+(a_{y}+b_{y})~{\hat {j}}+(a_{z}+b_{z})~{\hat {k}}\end{aligned}}

两个向量可以通过将第二个向量（此处为 **B**）的尾部与第一个向量（**A**）的尖端重合来图形化地相加。合向量 **A** + **B** 是从 **A** 的尾部到 **B** 的尖端绘制的向量。

任何数量的向量都可以用这种方式相加。向量加法是可交换的

{\vec {A}}+{\vec {B}}+{\vec {C}}={\vec {C}}+{\vec {B}}+{\vec {A}}

和结合的

({\vec {A}}+{\vec {B}})+{\vec {C}}={\vec {A}}+({\vec {B}}+{\vec {C}})

点积

当我们乘以两个向量时，我们可以应用一个乘法规则，它产生一个标量作为最终结果，或者一个产生一个向量作为最终结果的乘法规则。第一个产生标量的乘法规则被称为 **点积**。在数学文本中，这通常被称为 *内积*，一些较旧的文本将此称为 *标量积*（不要与标量乘法混淆）；它们都是一样的。点积具有乘积的所有通常属性，例如结合律、交换律和分配律。从几何上讲，点积定义为

{\vec {A}}\cdot {\vec {B}}=AB\cos(\theta )

,

其中 $\theta$ 是 ${\vec {A}}$ 和 ${\vec {B}}$ 之间的夹角。需要注意的是，由于 $\cos(0)=1$ ，如果 ${\vec {A}}$ 与 ${\vec {B}}$ 平行，那么 ${\vec {A}}\cdot {\vec {B}}=AB$ 。另一方面，由于 $\cos(90^{\circ })=0$ 如果 ${\vec {A}}$ 与 ${\vec {B}}$ 垂直，那么 ${\vec {A}}\cdot {\vec {B}}=0$ 。根据这个指导原则，我们发现以下关系

{\begin{aligned}{\hat {i}}\cdot {\hat {i}}={\hat {j}}\cdot {\hat {j}}={\hat {k}}\cdot {\hat {k}}=1\\{\hat {i}}\cdot {\hat {j}}={\hat {j}}\cdot {\hat {k}}={\hat {k}}\cdot {\hat {i}}=0\end{aligned}}

.

利用这些，我们可以用分量向量来定义点积，如下所示

{\vec {A}}\cdot {\vec {B}}=(A_{x}~{\hat {i}}+A_{y}~{\hat {j}}+A_{z}~{\hat {k}})\cdot (B_{x}~{\hat {i}}+B_{y}~{\hat {j}}+B_{z}~{\hat {k}})=A_{x}B_{x}+A_{y}B_{y}+A_{z}B_{z}

.

建议您明确地展开乘法，使用分配律，找出哪些项抵消为零，哪些积变为 1。

叉积

两个向量的乘积的第二条乘法规则产生了另一个向量。这个乘法规则非常特殊 - 事实上，它是三维空间的一个特殊性质，我们可以通过这种方式定义向量乘法并仍然获得一个向量。此规则在仅限于二维时将不起作用，并且在任何大于三的维数中，此规则的扩展将不会产生另一个向量（cf. 点积可以自然地扩展或限制到任何维数以产生标量）。这种乘法称为**叉积**，在其他文本中，您可能会发现术语 *外积* 和 *向量积*。该积可以用两个规则定义，第一个指定积向量的方向，第二个指定其大小。

${\vec {A}}\times {\vec {B}}$ 垂直于 ${\vec {A}}$ 和 ${\vec {B}}$ （即垂直于这两个向量所定义的平面）。这在垂直于平面的线上留下了两个可能的方向。这两个方向之一称为“右手定则”：将食指、中指和大拇指伸直，使它们彼此垂直。让食指指向 ${\vec {A}}$ 的方向，中指指向 ${\vec {B}}$ 。然后拇指指向 ${\vec {A}}\times {\vec {B}}$ 的方向。这里的排序很重要（注意交换 A 和 B 会使拇指指向相反的方向）。
$|{\vec {A}}\times {\vec {B}}|=AB\sin(\theta )$ ，其中 $\theta$ 再次是 ${\vec {A}}$ 和 ${\vec {B}}$ 之间的角度。

再次将此定义应用于单位向量，我们发现以下关系

{\begin{aligned}{\hat {i}}\times {\hat {j}}&=-{\hat {j}}\times {\hat {i}}={\hat {k}}\\{\hat {j}}\times {\hat {k}}&=-{\hat {k}}\times {\hat {j}}={\hat {i}}\\{\hat {k}}\times {\hat {i}}&=-{\hat {i}}\times {\hat {k}}={\hat {j}}\\{\hat {i}}\times {\hat {i}}&={\hat {j}}\times {\hat {j}}={\hat {k}}\times {\hat {k}}=0\end{aligned}}

.

而就分量而言，我们有（经过繁琐的代数）

{\vec {A}}\times {\vec {B}}=(A_{y}B_{z}-B_{y}A_{z})~{\hat {i}}+(A_{z}B_{x}-B_{z}A_{x})~{\hat {j}}+(A_{x}B_{y}-B_{x}A_{y})~{\hat {k}}

.

事实证明，我们可以用行列式的形式写出这个复杂的关系

{\vec {A}}\times {\vec {B}}=\left|{\begin{matrix}{\hat {i}}&{\hat {j}}&{\hat {k}}\\A_{x}&A_{y}&A_{z}\\B_{x}&B_{y}&B_{z}\end{matrix}}\right|

.

叉积的一些性质，如 ${\vec {A}}\times {\vec {B}}=-{\vec {B}}\times {\vec {A}}$ 和 ${\vec {A}}\times {\vec {A}}=0$ 可以作为矩阵行列式的性质推导出。

点积和叉积的实用性质

点积和叉积都对向量加法满足分配律。

${\vec {A}}\cdot ({\vec {B}}+{\vec {C}})={\vec {A}}\cdot {\vec {B}}+{\vec {A}}\cdot {\vec {C}}$

${\vec {A}}\times ({\vec {B}}+{\vec {C}})={\vec {A}}\times {\vec {B}}+{\vec {A}}\times {\vec {C}}$

$({\vec {A}}+{\vec {B}})\times {\vec {C}}={\vec {A}}\times {\vec {C}}+{\vec {B}}\times {\vec {C}}$

两个向量的点积与它们之间夹角的余弦成正比，它们的叉积与它们之间夹角的正弦成正比。

${\vec {A}}\cdot {\vec {B}}=\|{\vec {A}}\|\|{\vec {B}}\|\cos(\theta )$

$\|{\vec {A}}\times {\vec {B}}\|=\|{\vec {A}}\|\|{\vec {B}}\|\sin(\theta )$

正如我们已经看到的，点积是结合律和交换律的。

${\vec {A}}\cdot ({\vec {B}}\cdot {\vec {C}})=({\vec {A}}\cdot {\vec {B}})\cdot {\vec {C}}$

${\vec {A}}\cdot {\vec {B}}={\vec {B}}\cdot {\vec {A}}$

重要的是要记住，叉积不具有这些性质。它不是交换律，而是反交换律。

${\vec {A}}\times {\vec {B}}=-{\vec {B}}\times {\vec {A}}$

叉积不满足结合律。例如，考虑 $({\vec {A}}\times {\vec {A}})\times {\vec {B}}$ 。由于 ${\vec {A}}$ 与自身的夹角的正弦值为 0，所以 ${\vec {A}}\times {\vec {A}}={\vec {0}}$ ，因此 $({\vec {A}}\times {\vec {A}})\times {\vec {B}}={\vec {0}}$ 。另一方面， ${\vec {A}}\times ({\vec {A}}\times {\vec {B}})$ 不为零，因为 ${\vec {A}}$ 和 ${\vec {A}}\times {\vec {B}}$ 互相垂直。事实上，如果 ${\vec {A}}$ 和 ${\vec {B}}$ 互相垂直，那么它的方向将与 ${\vec {B}}$ 相反。你可以使用右手定则来验证这一点。

${\vec {A}}$ 平行于 ${\vec {B}}$ 的分量由下式给出

$\left({\frac {{\vec {B}}\cdot {\vec {A}}}{{\vec {B}}\cdot {\vec {B}}}}\right){\vec {B}}$

而 ${\vec {A}}$ 垂直于 ${\vec {B}}$ 的分量由下式给出

$\left({\frac {{\vec {B}}\times {\vec {A}}}{{\vec {B}}\cdot {\vec {B}}}}\right)\times {\vec {B}}$ .

这导致了一些有趣的性质，涉及产品的组合，例如

$({\vec {B}}\cdot {\vec {B}}){\vec {A}}=({\vec {A}}\cdot {\vec {B}}){\vec {B}}+({\vec {B}}\times {\vec {A}})\times {\vec {B}}$ ,

${\vec {A}}\times ({\vec {B}}\times {\vec {C}})=({\vec {A}}\cdot {\vec {C}}){\vec {B}}-({\vec {A}}\cdot {\vec {B}}){\vec {C}}$ ，以及

$({\vec {A}}\times {\vec {B}})\cdot ({\vec {C}}\times {\vec {D}})=({\vec {A}}\cdot {\vec {C}})({\vec {B}}\cdot {\vec {D}})-({\vec {A}}\cdot {\vec {D}})({\vec {B}}\cdot {\vec {C}})$ .

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