实用电子/逻辑/布尔运算

布尔代数（以数学家 乔治·布尔 命名）是一种只处理 1 和 0 的算术形式。它只有三个运算符：加法、乘法和否定。我们将看到这些分别对应于或、与和非。

为了方便起见，有时会包含异或运算，我们将在 异或部分 中看到如何使用它。

变量用大写字母表示，这与“真实”代数不同，在“真实”代数中可以使用小写字母。

本页面不涉及布尔运算符的恒等式和性质，只涉及其与逻辑函数的等价关系。这些性质在 布尔恒等式 页面中讨论。

负数、减法和除法

由于 1 和 0 是布尔代数中唯一允许的数字，因此不存在负数。

这意味着不存在减法，因为 0-1 等于 0+(-1)。-1 不是允许的数字，因此减法的概念在布尔代数中毫无意义。

由于除法只是减法的变体，就像乘法是加法的变体一样，因此除法在布尔代数中也是毫无意义的。

加法

考虑以下总和

$0+0=0\,$

$0+1=1\,$

$1+0=1\,$

$1+1=1\,$

前三个是有意义的，因为真实代数也是如此。然而，第四个语句不同，因为它违反了真实算术。布尔代数不允许 2，因此它不能是答案，并且 1+1 肯定不等于 0，因此答案必须是 1。

A	B	Q
		A+B
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

如果我们将上面的等式以表格形式显示在左边，很明显布尔加法运算符等效于逻辑 或。这就是逻辑或运算符使用加号作为其符号的原因

$A{\mbox{ OR }}B=A+B\,$

乘法

考虑以下等式

$0\times 0=0\,$

$0\times 1=0\,$

$1\times 0=0\,$

$1\times 1=1\,$

正如您所看到的，乘法在布尔代数中的行为与在真实算术中的行为完全相同：任何乘以零的数都会变成零，任何乘以一的数都会保持不变。

您应该能够看到乘法运算符与逻辑 与 运算符具有完全相同的效果，这就是为什么与函数用乘法表示的原因

$A{\mbox{ AND }}B=A\cdot B=AB\,$

补码

由于布尔代数中只有两个数字，如果我们知道一个变量的值，那么我们也会自动知道它不是的数字的值。这个数字是该变量的补码。因此，0 是 1 的补码，而 1 是 0 的补码。一个变量的补码写成该变量上有一条线

${\mbox{Complement of A}}={\overline {A}}$

如果变量上不能画线，例如在这样的文本中，则在变量之前使用“¬”符号。如果变量上可以画线，则不应使用此符号。有时，会在变量之后放置一个“撇号”（'）符号，但决不应使用此符号。

补运算等效于逻辑非。

NOR 和 NAND

这两个逻辑函数由它们各自的底层函数的补运算组成。

$A{\mbox{ NAND }}B={\overline {A\cdot B}}\,$

$A{\mbox{ NOR }}B={\overline {A+B}}\,$

XOR 和 XNOR

XOR 不能表示为简单的布尔函数，如加法或乘法，因此，它不受布尔代数的直接支持。然而，它确实有一个符号——圆圈中的加号。

$A{\mbox{ XOR }}B=A\oplus B\,$

XNOR 函数表示为

$A{\mbox{ XNOR }}B={\overline {A\oplus B}}\,$

由于布尔代数的规则和恒等式不适用于这个发明函数，因此，在编写和简化逻辑语句时，使用以下等效替代

$A\oplus B={\bar {A}}B+A{\bar {B}}$.

很容易理解这个替代是如何工作的。XOR 函数如果只有一个输入为高电平，则输出为高电平。在这种情况下，一个输入的补运算等于另一个输入。当输入相同（即 XOR 函数返回低电平）时，一个输入和另一个输入的补运算将不同。因此，通过将第一个输入与第二个输入的补运算进行 AND 运算，并将第一个输入的补运算与第二个输入进行 AND 运算，我们始终可以在只有一个输入为高电平时，在其中一个 AND 门的输出处获得一个高电平。通过将这两个 AND 门的输出进行 OR 运算，我们将在只有当一个输入为高电平而另一个输入为低电平时，在最终输出处获得一个高电平。

这使用了此处所示的替代门电路布置之一。

XNOR 可以代换为

${\overline {A\oplus B}}={\overline {{\bar {A}}B+A{\bar {B}}}}$.

摘要

• 布尔加法等效于逻辑或。
• 布尔乘法等效于逻辑与。
• 布尔补运算等效于逻辑非。

• XOR 拥有自己的特殊符号，因为它没有直接包含在布尔代数的框架中。