实用电子学/电阻器/并联证明

本页介绍了一个证明，即 并联 网络的电阻 R_tot 由 n 个电阻组成，等于各个电阻的倒数之和的倒数。

首先，考虑到流入（和流出）整个网络的电流 i_tot 必须等于每个电阻中电流的总和（基尔霍夫电流定律）。

$i_{tot}=\sum \limits _{k=1}^{n}{i_{k}},$

其中 i_k 是网络中第 k 个电阻的电流。现在，根据 欧姆定律，我们可以写出

${{v_{tot}} \over {R_{tot}}}=\sum \limits _{k=1}^{n}{{v_{k}} \over {R_{k}}},$

其中

• v_tot 是整个网络的电压
• R_tot 是整个网络的电阻
• v_k 是网络中第 k 个电阻的电压
• R_k 是网络中第 k 个电阻的电阻

由于我们知道每个电阻上的电压是相同的（基尔霍夫电压定律 的一个简单情况），我们可以说

${{v} \over {R_{tot}}}=\sum \limits _{k=1}^{n}{{v} \over {R_{k}}},$

其中 v 是网络的电压。除以 v，我们得到最终答案

${{1} \over {R_{tot}}}=\sum \limits _{k=1}^{n}{{1} \over {R_{k}}}.$

这也通常等价地写成

$R_{tot}={1 \over {\sum \limits _{k=1}^{n}{1 \over {R_{k}}}}}$

这是一个重要的结果，应该记住它。请注意，串联网络的证明 基本上相同，只是先使用 KCL，然后使用 KVL。

其他有趣的点是，这个结果描述了 串联电容网络 和 并联电感网络 的行为。