小学数学/幂、根和指数

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指数

指数，或幂，是一种表示一个量需要乘以自身若干次的符号。在表达式 2⁵ 中，2 称为底数，5 称为指数或幂。2⁵ 是“将五个 2 相乘”的简写形式：2⁵ = 2×2×2×2×2 = 32。请注意，指数告诉我们有多少个底数相乘，而不是要执行多少次乘法。（事实上，乘法的次数比底数的次数少一次。）2⁵ 读作“二的五次幂”或简称为“二的五次方”。

一般来说，

$x^{n}=\underbrace {x\cdot x\cdot x\cdot \,\,\cdots \,\,\cdot x} _{nfactors}$

其中有n 个 x需要相乘。

平方数

表示一个数乘以自身（例如 5×5）的一种便捷方法是说这个数被平方了。为了帮助你理解这一点，想象一个长 5 个单位、宽 5 个单位的正方形。那么这个正方形的面积就是 5×5 或 25 平方单位。写“5 的平方”的一个好方法是 5²，其中 5 称为底数，2 称为指数。

五行五列的面积 = 5 × 5 = 5² = 25。

完全平方数表

你可能想记住一些完全平方数

平方	结果
0²	0
1²	1
2²	4
3²	9
4²	16
5²	25
6²	36
7²	49
8²	64
9²	81
10²	100
11²	121
12²	144
13²	169
14²	196
15²	225
16²	256
17²	289
18²	324
19²	361
20²	400
21²	441
22²	484
23²	529
24²	576
25²	625
26²	676
27²	729
28²	784
29²	841
30²	900

立方数

类似地，表示一个数乘以自身，然后再次乘以自身（例如 5×5×5）的一种便捷方法是说这个数被立方了。为了帮助你理解这一点，想象一个长 5 个单位、宽 5 个单位、高 5 个单位的立方体。那么这个立方体的体积就是 5×5×5 或 125 立方单位。写“5 的立方”的一个好方法是 5³，其中 5 称为底数，3 称为指数。

高、宽、长均为五的立方体的体积 = 5 × 5 × 5 = 5³ = 125。

完全立方数表

你可能想记住一些完全立方数

立方	结果
0³	0
1³	1
2³	8
3³	27
4³	64
5³	125
6³	216
7³	343
8³	512
9³	729
10³	1000

更高次幂

大于三的数字也可以用作指数，尽管对于四次幂或更高次幂的数字没有常用的术语。例如，5⁴ = 5×5×5×5 = 625。

更高次幂表

xⁿ 表格。
底数在左侧，指数在顶部
x^1/6	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12...
0	?	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
2	1	2	4	8	16	32	64	128	256	512	1024	2048	4096	2ⁿ
3	1	3	9	27	81	243	729	2187	6561	19683	59049			3ⁿ
4	1	4	16	64	256	1024	4096	16384	65536	262144	1048576			4ⁿ
5	1	5	25	125	625	3125	15625	78125	390625	1953125	9765625			5ⁿ
6	1	6	36	216	1296	7776	46656	279936	1679616	10077696	60466176			6ⁿ
7	1	7	49	343	2401	16807	117649	823543	5764801	40353607	282475249			7ⁿ
8	1	8	64	512	4096	32768	262144	2097152	16777216	134217728	1073741824			8ⁿ
9	1	9	81	729	6561	59049	531441	4782969	43046721	387420489	3486784401			9ⁿ
10	1	10	100	1000	10000	100000	1000000	10000000	100000000	1000000000	10000000000			10ⁿ
11	1	11	121	1331	14641	161051	1771561	19487171	214358881	2357947691	25937424601			11ⁿ
12	1	12	144	1728	20736	248832	2985984	35831808	429981696	5159780352	61917364224			12ⁿ
13	1	13	169	2197	28561	371293	4826809	62748517	815730721	10604499373	137858491849			13ⁿ
14	1	14	196	2744	38416	537824	7529536	105413504	1475789056	20661046784	289254654976			14ⁿ
15	1	15	225	3375	50625	759375	11390625	170859375	2562890625	38443359375	576650390625			15ⁿ
16	1	16	256	4096	65536	1048576	16777216	268435456	4294967296	68719476736	1099511627776			16ⁿ	...

x	1	x	x²	x³	x⁴	x⁵	x⁶	x⁷	x⁸	x⁹	x¹⁰	x¹¹	x¹²

注意：0⁰ 未定义。

指数的性质

指数有几个性质，这些性质经常被用来操作和简化代数和算术表达式。

${\begin{aligned}x^{m}x^{n}&=x^{m+n}\\{\dfrac {x^{m}}{x^{n}}}&=x^{m-n}\\(xy)^{n}&=x^{n}y^{n}\\\left({\dfrac {x}{y}}\right)^{n}&={\dfrac {x^{n}}{y^{n}}}\\(x^{m})^{n}&=x^{mn}\end{aligned}}$

第一个、第三个和第五个性质可以扩展到多个因子，如下所示

${\begin{aligned}x^{m_{1}}x^{m_{2}}x^{m_{3}}\cdots x^{m_{n}}&=x^{m_{1}+m_{2}+m_{3}+\,\cdots \,+m_{n}}\\(x_{1}x_{2}x_{3}\cdots x_{n})^{m}&=x_{1}^{m}x_{2}^{m}x_{3}^{m}\cdots x_{n}^{m}\\(\cdots (((x^{m_{1}})^{m_{2}})^{m_{3}})\cdots )^{m_{n}}&=x^{m_{1}m_{2}m_{3}\cdots \,m_{n}}\end{aligned}}$

底数和指数为一和零

任何数的1次幂都等于它本身。例如，5¹ = 5。

任何非零数的0次幂都等于1。例如，5⁰ = 1。

0的任何正整数次幂仍然是0。例如，0⁵ = 0。

1的任何次幂仍然是1。例如，1⁵ = 1。

0的0次幂没有定义。

负数和非整数幂

底数也可以是负数、分数或小数。这些将在本课的后面部分介绍。

根

根是幂的逆运算。

平方根

平方一个数的逆运算就是求该数的平方根。例如，25的平方根是指必须自乘才能得到25的数。在这种情况下，答案是5。这里使用了两种表示法

${\sqrt {25}}=25^{1/2}=5$

但是，请注意，大多数平方根不会得到整数，而且许多甚至不会产生有理数。

手动求平方根

手动求平方根的一种方法是反复进行长除法。让我们以求10的平方根为例。首先，我们会估计答案。由于3² = 9，而4² = 16，所以我们知道答案介于3和4之间。此外，由于10只比9大1，但比16小6，所以我们可以估计答案是3和4之间七分之一的位置。但这不会给出精确的答案，而且七分之一很难处理，所以我们改用五分之一。这样，我们的初始估计值为3 1/5或3.2。

现在进行长除法，将10除以3.2。我们得到3.125。3.2和3.125的平均值为(3.2 + 3.125)/2 = 6.325/2 = 3.1625，因此这将是我们的下一个估计值。

现在进行长除法，将10除以3.1625。得到3.162055...（实际上我们不需要计算到比初始小数位数多一位以上）。3.1625和3.1621的平均数是3.1623，所以我们将3.1623作为下一次估计值。

现在进行长除法，将10除以3.1623。得到3.162255...

因此，可以重复此方法以获得所需的精度。10的实际平方根是3.16227766...

请注意，大多数平方根计算使用计算器或计算机，但了解如何手动计算平方根在没有计算器的情况下非常有用。

如果你想自己尝试这种方法，可以尝试求7的平方根。

立方根

将一个数立方后的逆运算就是求该数的立方根。例如，125的立方根是指必须自乘三次才能得到125的数。在本例中，答案是5。这里使用了两种类型的表示法

${\sqrt[{3}]{125}}=125^{1/3}=5$

但是，请注意，大多数立方根的结果都不是整数，而且很多甚至不是有理数。

高次根

大于3的数也可以用作根，尽管四次根或更高次根没有常用的术语。例如

${\sqrt[{4}]{625}}=625^{1/4}=5$

但是，请注意，大多数高次根的结果都不是整数，而且很多甚至不是有理数。

幂和根的结合

之前用于根的单位分数表示法可能让你想到，根实际上与幂相同，只是指数为单位分数（某个数的倒数），而不是整数。因此，分数表示法在高等数学中实际上更受欢迎，尽管根号仍然偶尔使用，尤其是在平方根中。

分数作为指数

其他（非单位）分数也可以用作指数。在这种情况下，底数可以先升到分子（分数的上部）的幂，然后使用分母（分数的下部）来开根。例如

$8^{2/3}={\sqrt[{3}]{8^{2}}}={\sqrt[{3}]{64}}=4$

或者，可以先开根，然后再应用幂

$8^{2/3}=({\sqrt[{3}]{8}})^{2}=2^{2}=4$

小数指数

任何分数指数也可以表示为小数指数。例如，平方根也可以写成

$25^{1/2}=25^{0.5}=5\;$

此外，不能表示为分数的小数（无理数）也可以用作指数

$5^{3.1415926...}=156.99...\;$

这类问题用基本的数学技能很难手动解决，但可以手动估计答案。在本例中，由于3.1415926介于3和4之间（并且更接近3），因此我们知道答案将介于5^3（或125）和5^4（或625）之间，并且更接近125。

负指数

负指数仅仅意味着你首先取底数的倒数（1除以该数），然后应用指数

$25^{-0.5}=1/25^{0.5}=1/5\;$

或者，你可以先计算指数（忽略符号），然后取倒数。

$25^{-0.5}=5^{-1}=1/5\;$

分数作为底数

当分数被提升到某个指数时，分子和分母都将被提升到该指数。

$(5/6)^{2}=5^{2}/6^{2}=25/36\;$

分数也可以同时用作底数和指数。

$(25/36)^{1/2}=25^{1/2}/36^{1/2}=5/6\;$

此外，也可以使用负分数指数，像往常一样取底数的倒数来求解。

$(25/36)^{-1/2}=(36/25)^{1/2}=36^{1/2}/25^{1/2}=6/5\;$

负数作为底数

对于整数幂，负数底数可以像正常一样处理。

$(-5)^{2}=(-5)\times (-5)=25\;$

$(-5)^{3}=(-5)\times (-5)\times (-5)=-125\;$

$(-5)^{4}=(-5)\times (-5)\times (-5)\times (-5)=625\;$

$(-5)^{5}=(-5)\times (-5)\times (-5)\times (-5)\times (-5)=-3125\;$

请注意，负数底数提升到偶数幂会产生正数结果，而负数底数提升到奇数幂会产生负数结果。

注意负号。由于 -5 = -1×5， $-5^{2}$ 和 $(-5)^{2}$ 之间是有区别的。前者表示 5 乘以 5 的结果取负，而后者
表示 -5 的平方。换句话说，

$-5^{2}=-1\times 5^{2}=-1\times (5\times 5)=-1\times 25=-25$

但是

$(-5)^{2}=(-5)\times (-5)=25$

根和分数/小数幂稍微复杂一些。奇数次根运算结果良好

$(-125)^{1/3}=-5\;$

然而，偶数次根没有实数解

$(-25)^{1/2}=?\;$

$(-625)^{1/4}=?\;$

请注意，没有一个实数自乘后等于 -25，因为 5×5 = 25 且 -5×-5 = 25。实际上存在一个解，称为**虚数**，但将在以后的课程中讨论。

主根

请注意，由于 5×5 = 25 和 -5×-5 = 25，当我们被要求求 25 的平方根时，实际上有两个有效的答案，5 和 -5。实际上，任何正数的偶数次根都有两个解，其中一个为另一个的负数。这可能看起来不寻常，但在高等数学中，问题通常有多个解。

但是，对于许多问题，只有正值在物理上有效。例如，如果我们被要求计算一个面积为 25 平方单位的正方形院子边长的长度，则只有 5 个单位的边长有效。如果我们说“每条边也可以有 -5 个单位的长度”，那没有任何意义。因此，正解称为**主根**，并且根据问题的不同，可能是唯一需要的答案。在两个答案都有效的场合，有时写成 ±5（读作“正负五”）。但是，x 平方平方根的数学定义是 x 的绝对值。因此，平方根方程没有两个答案，但两个数字的平方可以等于相同的 rational number。

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