观察的量子理论/纠缠

根据经典物理学，复合系统的状态始终由其组成部分的状态列表决定。形式上，我们将复合系统的状态空间定义为其组成部分的状态空间的笛卡尔积。如果复合系统的状态被精确地知道，那么组成部分的状态必然以相同的精度被知道。这在量子物理学中不再成立，因为复合系统的状态空间是其组成部分的状态空间的张量积。例如，如果一个双量子比特系统处于状态${\frac {1}{\sqrt {2}}}(|00\rangle +|11\rangle )$，则无法分别为单独的量子比特分配状态向量。每个量子比特都与另一个量子比特纠缠在一起。这种纠缠效应纯粹是量子的。它在经典物理学中没有等价物。自薛定谔（1935 年）以来，它通常被认为是卓越的量子效应。纠缠是量子叠加巨大奥秘的核心。

本章是本书中最重要的章节，因为量子纠缠对于解释观察的现实性至关重要。

定义

当复合系统 AB ... Z 的状态是其组成部分状态的乘积时，则称该状态是可分离的

$|\psi _{AB...Z}\rangle =|\psi _{A}\rangle |\psi _{B}\rangle ...|\psi _{Z}\rangle$

对于纯态，

$\rho _{AB...Z}=\rho _{A}\rho _{B}...\rho _{Z}$

对于混合态。

当一个状态不可分离时，它就是纠缠的。有时也称为不可分离状态。

相互作用、纠缠和解纠缠

当系统的两个部分相互作用时，最初的可分离状态可能会变得纠缠。例如，$CNOT[{\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle +|1\rangle )|0\rangle ]={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|00\rangle +|11\rangle )$

但相互作用并不总是导致纠缠。CNOT 不会使计算基的状态纠缠（对于两个量子比特，计算基是：$|00\rangle ,|01\rangle ,|10\rangle ,|11\rangle )$。SWAP 是一种永远不会使其作用的可分离状态纠缠的相互作用

$SWAP|\alpha \rangle |\beta \rangle =|\beta \rangle |\alpha \rangle$

当一个相互作用$U$将一个可分离态转变为一个纠缠态时，原则上可以回到初始的可分离态，前提是相互作用的动力学是可逆的，因为$U^{-1}$然后代表一个可能的相互作用。几乎所有基本相互作用都允许这种时间可逆性。

例如

$CNOT{\frac {1}{\sqrt {2}}}(|00\rangle +|11\rangle )=|00\rangle$

CNOT是其自身的逆：$CNOT^{-1}=CNOT$。任何被CNOT纠缠的状态，如果再次应用CNOT，就会再次变得可分离。当纠缠以这种方式被破坏时，可以称之为解纠缠，或恢复到可分离性。

Hadamard门对于模拟量子比特的纠缠和解纠缠非常有用。从计算基开始，在第一个量子比特上应用H，然后应用CNOT，可以产生Bell态的基。

$CNOT(H_{1}|00\rangle )={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|00\rangle +|11\rangle )=|\beta _{00}\rangle$

$CNOT(H_{1}|01\rangle )={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|01\rangle +|10\rangle )=|\beta _{01}\rangle$

$CNOT(H_{1}|10\rangle )={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|00\rangle -|11\rangle )=|\beta _{10}\rangle$

$CNOT(H_{1}|11\rangle )={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|01\rangle -|10\rangle )=|\beta _{11}\rangle$

Bell态$|\beta _{ij}\rangle$是可以想到的最简单的纠缠态。

两个系统可以通过第三个系统发生纠缠，而无需直接相互作用。例如，在一个三量子比特系统中，如果第二个和第三个都测量第一个，则可以得到

$U{\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle +|1\rangle )|00\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|000\rangle +|111\rangle )$

类似地，如果第二个量子比特在被第三个量子比特测量之前测量第一个，我们可以得到

${\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle +|1\rangle )|00\rangle$ → ${\frac {1}{\sqrt {2}}}(|00\rangle +|11\rangle )|0\rangle$ → ${\frac {1}{\sqrt {2}}}(|000\rangle +|111\rangle )$

如果两个量子比特最初是纠缠的，并且第一个量子比特通过与第三个量子比特进行SWAP操作进行交互，那么就会发生纠缠的转移。

$SWAP_{13}{\frac {1}{\sqrt {2}}}(|00\rangle +|11\rangle )(\alpha |0\rangle +\beta |1\rangle )=SWAP_{13}{\frac {1}{\sqrt {2}}}[\alpha (|000\rangle +|110\rangle )+\beta (|001\rangle +|111\rangle )]$

$={\frac {1}{\sqrt {2}}}[\alpha (|000\rangle +|011\rangle )+\beta (|100\rangle +|111\rangle )]={\frac {1}{\sqrt {2}}}(\alpha |0\rangle +\beta |1\rangle )(|00\rangle +|11\rangle )$

因此，第三个量子比特在没有直接与第二个量子比特交互的情况下与之纠缠。第一个量子比特通过与第三个量子比特的SWAP操作解纠缠。

埃弗雷特相对态

一般来说，观察会使被观察系统和测量设备从可分离状态变为纠缠状态。对于理想测量

$U(\sum _{ij}\alpha _{ij}|i,j\rangle _{S})|ready\rangle _{A}=\sum _{ij}\alpha _{ij}|i,j\rangle _{S}|i\rangle _{A}$

只有当被观察系统处于测量的本征态时，才不存在纠缠。

观察之后，${\frac {\sum _{j}\alpha _{ij}|i,j\rangle _{S}}{|\sum _{j}\alpha _{ij}|i,j\rangle _{S}|}}$ 是被观察系统的状态，相对于测量设备状态 $|i\rangle _{A}$ 而言，反之亦然，这是埃弗雷特意义上的相对态。

更一般地，如果$\sum _{ij}\alpha _{ij}|a_{i}\rangle |b_{j}\rangle$ 是一个AB系统的状态，其中$|a_{i}\rangle$ 和 $|b_{j}\rangle$ 是A和B的任意两个正交归一基，那么${\frac {\sum _{i}\alpha _{ij}|a_{i}\rangle }{|\sum _{i}\alpha _{ij}|a_{i}\rangle |}}$ 是相对于B的状态$|b_{j}\rangle$的A的相对状态，而${\frac {\sum _{j}\alpha _{ij}|b_{j}\rangle }{|\sum _{j}\alpha _{ij}|b_{j}\rangle |}}$ 是相对于A的状态$|a_{i}\rangle$的B的相对状态（埃弗雷特，1957）。

为了数学上的方便，约定如果$|b_{j}\rangle$ 在$\sum _{ij}\alpha _{ij}|a_{i}\rangle |b_{j}\rangle$ 中的权重为零，则相对于$|b_{j}\rangle$ 的A的状态为零向量$0$。必须将它与$|0\rangle$区分开来，后者的长度为1，因为$0$ 的长度为零。向量$0$ 不是一个状态向量。它是系统状态的向量空间中唯一一个不能与系统状态相对应的元素。

$|\sum _{i}\alpha _{ij}|a_{i}\rangle |^{2}=\sum _{i}|\alpha _{ij}|^{2}$ 是系统 B 中状态 $|b_{j}\rangle$ 在 AB 系统状态 $\sum _{ij}\alpha _{ij}|a_{i}\rangle |b_{j}\rangle$ 中的权重。类似地，$|\sum _{j}\alpha _{ij}|b_{j}\rangle |^{2}=\sum _{j}|\alpha _{ij}|^{2}$ 是系统 A 中状态 $|a_{i}\rangle$ 的权重。

系统 AB 的纯态 $|\psi \rangle$ 总是可以分解如下

$|\psi \rangle =\sum _{i}{\sqrt {p_{i}}}|a_{i}\rangle |b_{i}\rangle$

其中 $|a_{i}\rangle$ 是正交归一向量，$|b_{i}\rangle$ 也是。这被称为施密特分解。当 $p_{i}$ 全部不同时，它是唯一的。当且仅当 $|\psi \rangle$ 是一个纠缠态时，它包含至少两项。

对于每个 $i$，$|a_{i}\rangle$ 是相对于 B 的状态 $|b_{i}\rangle$ 的 A 的状态，反之亦然。它们在 $|\psi \rangle$ 中具有相同的权重 $p_{i}$。

$\sum _{i}(\sum _{j}\alpha _{ij}|i,j\rangle _{S})|i\rangle _{A}$ 是系统 SA 的施密特分解。根据波恩规则，权重 $\sum _{j}|\alpha _{ij}|^{2}$ 对应于 $\sum _{j}\alpha _{ij}|i,j\rangle _{S}$ 和 $|i\rangle _{A}$，表示测量结果为 $i$ 的概率。

通过观测导致的状态矢量坍缩是一种解纠缠。

大多数量子物理学教科书都阐述了以下两个原理

只要所研究的系统未被观测，状态矢量的演化就由幺正算符或薛定谔方程描述。

当系统被观测时，其观测前的初始状态 $|\psi \rangle$ 会变为以下状态之一 ${\frac {P(i)|\psi \rangle }{|P(i)|\psi \rangle |}}$，其中 $P(i)=\sum _{j}|ij\rangle \langle ij|$ 是结果 $i$ 的本征态 $|ij\rangle$ 子空间上的投影算符。然后说状态矢量发生了坍缩，这是一种量子跃迁，它使系统从状态 $|\psi \rangle$ 跃迁到状态 ${\frac {P(i)|\psi \rangle }{|P(i)|\psi \rangle |}}$。我们也称之为波函数坍缩，因为波函数表示状态矢量在位置态基矢中的分量。

在进行一次测量并得到结果$i$后，被观测系统相对于观测者系统的相对状态为${\frac {P(i)|\psi \rangle }{|P(i)|\psi \rangle |}}$。因此，态矢量的坍缩是从初始态矢量到相对于测量结果（以埃弗雷特意义上的）的态矢量的转变。

态矢量通过观测的坍缩是一种解纠缠，因为被观测系统在观测后进入测量量的本征态。如果测量是精确的，即如果只有一个被观测系统的状态由测量结果指向，那么解纠缠就是完全的。如果被观测系统与其环境纠缠，则在测量后不再如此。因此，观测破坏了被观测系统与其环境之间任何先前的纠缠。

通过观测的解纠缠解释了为什么量子物理学从纯态的计算中做出极好的预测。由于宇宙所有部分之间的相互作用不断发生，并且相互作用通常是纠缠的，因此所有事物都应该与所有事物纠缠，或者几乎如此。物质从未停止与物质相互作用。所有物质存在通常都与它们遇到的所有其他物质存在有着漫长的相互作用历史，因此也有纠缠的历史。那么，如何才能用与宇宙其余部分分离的纯态来描述它们的状态，并从这种描述中做出准确的预测呢？

我们只有在我们给自己提供能够让我们知道它们的状态的观测条件时，才能知道物质存在的量子态。由于从我们的角度来看，我们的观测是解纠缠的，因此我们可以忽略观测之前的所有纠缠，从而将态矢量归因于我们观测的系统。

表观解纠缠源于被观测系统与观测者之间的真实纠缠。

态矢量通过观测的坍缩不能用幺正算符来描述。因此，我们应该承认两种演化，一种是幺正的，发生在没有观测的情况下，另一种是非幺正的，发生在测量期间。但是测量是一种自然演化。幺正演化的原理是普遍的。我们假设它描述了所有自然过程。因此，我们面临着矛盾。量子跃迁，即态矢量的坍缩，是一种自然演化，但它不是幺正的。

量子物理学是否自相矛盾？是否不可能给出一个统一的理论，该理论在没有矛盾的情况下，用相同的原理描述所有自然过程，无论是否存在观测？

人们可以相信量子物理学只是一个近似值，幺正演化的假设并非普遍适用，新的物理学将解释在哪些情况下演化是幺正的或几乎幺正的，以及在哪些其他情况下发生态矢量的坍缩。但到目前为止，这种超越并取代量子物理学的新物理学并不存在。关于此主题的各种推测从未产生过真正的成果。

态矢量归一化的假设否认了多重命运的存在定理。如果观测确实导致态矢量的坍缩，那么我们只有一个命运。态矢量坍缩的假设使我们能够保留我们的偏见，即其他命运不存在。这是它唯一的理由。没有其他的。我们将矛盾引入量子理论的核心，因为我们不想相信其他命运，因为我们不接受现实可能超出了我们能够直接观察到的范围。

为了解释我们的观测结果，态矢量坍缩的假设不是必要的。幺正演化的原理以及被观测系统与观测者之间的纠缠足以解释测量的概率。要理解它，只需对条件概率进行推理：在知道先前观测结果的情况下，观测提供结果的概率是多少？

假设我们对同一个系统进行两次连续测量（埃弗雷特 1957），最初处于状态$|\psi \rangle$。在两次测量之后，整个系统（被观测系统 + 测量装置）处于以下状态

$\sum _{ij}(P_{2}(j)U_{S}P_{1}(i)|\psi \rangle )(U_{A_{1}}|i\rangle _{1})|j\rangle _{2}$

其中$P_{1}(i)$ 和 $P_{2}(j)$ 是与两次连续测量相关的投影算符，$U_{S}$ 是两次测量之间观测系统的演化算符，而 $U_{A_{1}}$ 是第一个测量装置的演化算符。

已知第一次测量得到结果 $i$，第二次测量得到结果 $j$ 的概率是：

${\frac {Pr(ij)}{Pr(i)}}={\frac {|P_{2}(j)U_{S}P_{1}(i)|\psi \rangle |^{2}}{|P_{1}(i)|\psi \rangle |^{2}}}$

这与以下情况下的概率相同：在第一次测量之后，系统立即处于状态 ${\frac {P_{1}(i)|\psi \rangle }{|P_{1}(i)\psi \rangle |}}$。

一旦我们得到结果 $i$，一切都会像观测系统的状态从状态 $|\psi \rangle$ 变为状态 ${\frac {P_{1}(i)|\psi \rangle }{|P_{1}(i)|\psi \rangle |}}$ 一样，就像状态向量发生了坍缩。观测系统的其他状态，即 ${\frac {P_{1}(i')|\psi \rangle }{|P_{1}(i')|\psi \rangle |}}$（其中 $i'$ 与 $i$ 不同），对后续测量没有影响。如果它们存在，它们将走向其他与我们无关的命运，因为它们对我们的观察没有影响。

如果我们认真对待量子物理学，如果我们相信它正确地描述了现实，如果我们因此接受多重命运的存在定理，那么我们就无需假设状态向量的坍缩。幺正演化原理足以描述现实。

根据所选的视角，可以认为观察是纠缠的或解纠缠的。它们是纠缠的，因为它们导致被观察系统和观察者之间发生纠缠。它们是解纠缠的，因为它们导致被观察系统状态矢量的表观坍缩。

通过观察进行的解纠缠只是一个主观效应。观察仅从观察者的角度来看才是解纠缠的。相反，从外部角度来看，观察通常是纠缠的。正是被观察系统和观察者之间的纠缠产生了状态矢量的表观坍缩，因为在观察之后，观察者只能知道被观察系统在埃弗雷特意义上的相对状态。所有其他状态都无法再影响后续的观察。但只有从观察者的角度来看，被观察系统的状态矢量才被简化为相对于观察者的状态。状态矢量的坍缩只是一种幻觉，是由我们对纠缠观察者的观点产生的，这种观察者只知道现实的一小部分，只能知道无数其他命运中的一种，而所有这些命运都同样真实。

狄拉克的错误

狄拉克认为他可以从其他量子原理中证明状态矢量归一化原理。如果他的证明是正确的，他将证明量子物理学，无论是否将状态矢量归一化原理作为公理，都是矛盾的，因为状态矢量的归一化与薛定谔方程相矛盾，并且因为导致与自身矛盾的结果的原理必然是矛盾的。

以下是他的推理

« 当我们测量一个真实的动力学变量$\xi$时，测量行为中涉及的扰动会导致动力学系统的状态发生跃迁。从物理连续性的角度来看，如果我们在第一次测量后立即对相同的动力学变量$\xi$进行第二次测量，则第二次测量的结果必须与第一次测量相同。因此，在第一次测量完成后，第二次测量的结果没有不确定性。因此，在第一次测量完成后，系统处于动力学变量$\xi$的一个本征态，其所属的本征值等于第一次测量的结果。即使没有实际进行第二次测量，该结论仍然成立。通过这种方式，我们看到测量总是会导致系统跃迁到正在测量的动力学变量的一个本征态，该本征态所属的本征值等于测量结果。 »（狄拉克 1958，第 10 节，第 36 页）

狄拉克的错误在于忽略了测量系统和被测量系统之间的纠缠。第一次测量后，被测量系统与测量它的系统纠缠在一起。为了预测第二次测量的结果，必须考虑这种纠缠。与第一个测量系统的纠缠足以解释物理连续性，即对同一动态变量进行两次紧密连续测量之间结果的同一性。因此，状态矢量归一化原理并不是物理连续性的结果。埃弗雷特第一个纠正了这个根本错误。

我们能看到非局域宏观状态吗？

如果一个量子系统可以处于状态$|1\rangle$和$|2\rangle$，它也可以处于状态$\alpha |1\rangle +\beta |2\rangle$。例如，$|1\rangle$和$|2\rangle$可以是月球在不同位置的两个状态。但月球从未在不同的位置被观察到。月球的非局域状态，例如${\frac {1}{\sqrt {2}}}(|1\rangle +|2\rangle )$从未被观察到。所有宏观物体（薛定谔 1935）都是如此，即使它们非常小。（从生物学家的角度来看，细菌是微观的，但从物理学家的角度来看，它是宏观的，因为它是由数十亿个原子组成的。）

视觉涉及图像的形成。图像的每个点代表视觉区域中物体的一个点。如果物体没有定位，则它不可能具有清晰稳定的图像。但也许我们有时会在一个位置看到它，有时会在另一个位置看到它。观察过程中状态矢量的表观归一化证明这是不可能的。如果所看到的物体最初是非局域的，那么一旦我在一个确定的位置看到它，它就会从我的角度转变为局域状态。如果我重复观察几次，我将看到它在同一个地方。一旦某个分量被观察所选择，初始状态矢量的其他分量就无法再被观察到。由于观察引起的纠缠，仅仅在确定的位置看到一个物体就足以破坏其初始的非局域状态。

但这并不能证明不可能观察到非局域宏观状态（参见 4.20），它只能证明我们不可能看到它们。

量子对主体间性的解释

由于宇宙处于纠缠态，因此一般无法将真正确定的状态归因于其各个部分。问题不在于我们不知道这些部分的状态，而在于它们没有被定义，它们根本不存在，至少根据理论是这样的。然而，我们总是通过观察宇宙的各个部分来认识宇宙。除了我们观察到的部分之外，我们无法了解宇宙的任何其他信息。当我们观察到它们时，我们相信我们知道它们的真实状态。为什么说我们知道它们的真实状态，而根据理论，这样的状态甚至不存在呢？

量子物理学的回应本质上是相对论性的，因为观察到的现实总是相对于观察者而言的。宇宙中实际存在的实体没有一个绝对、不变、即对所有观察者都相同的确定的单一状态。该理论没有将单一状态归因于它们，而是将许多状态归因于它们，因为实体的真实状态总是相对于另一个实体的状态而言的。

如果 A、B 和 C 是三个实体，则 A 相对于 B 的状态通常与 A 相对于 C 的状态不同。我们得出结论，B 和 C 各有其现实。因此，所有观察者的世界表征都应该始终不同。那么，我们如何才能就我们都观察到的相同现实达成一致呢？

埃弗里特 (1957) 表明，观察者之间的沟通足以观察到相同的现实。

假设 A 被 B 观察到，然后 B 被 C 观察到，使得 B 关于 A 的信息被传递到 C。

我们基于一个简化的模型进行论证：A 的状态 $|a_{i}\rangle$ 是与 B 的指针状态 $|b_{i}\rangle$ 相关的本征态，而这些本征态本身又与 C 的指针状态 $|c_{i}\rangle$ 相关。

从 A 的初始状态 $\sum _{i}\alpha _{i}|a_{i}\rangle$ 开始，在 B 观察 A 之后，得到 AB 的状态 $\sum _{i}\alpha _{i}|a_{i}\rangle |b_{i}\rangle$。在 C 观察 B 之后，得到 ABC 的状态 $\sum _{i}\alpha _{i}|a_{i}\rangle |b_{i}\rangle |c_{i}\rangle$。在 B 和 C 之间进行通信之前，A 相对于 C 的状态的态矢量没有被定义，因为 A 与 B 纠缠在一起。我们在下面（参见 4.15）证明它可以被定义为混合态，但它不是态矢量。在 B 和 C 之间进行通信之后，A 相对于 C 的状态 $|a_{i}\rangle$ 与 B 相对于 C 的状态 $|b_{i}\rangle$ 的状态 $|c_{i}\rangle$ 相同。因此，A 的现实对 B 和 C 来说是相同的。因此，量子理论解释了在本质上是相对论的宇宙中主体间性的可能性。

爱因斯坦、贝尔、阿斯佩克特和量子纠缠的现实

假设有两个处于状态${\frac {1}{\sqrt {2}}}(|00\rangle +|11\rangle )$的纠缠量子比特相距非常远。因此，可以在一个量子比特上进行测量而不会影响另一个。如果我们测量第一个量子比特，并将其$|0\rangle$和$|1\rangle$作为本征态，那么我们可以根据测量结果推断出第二个量子比特（距离测量仪器非常远）的状态为$|0\rangle$或$|1\rangle$。爱因斯坦认为，这种状态必须代表在测量之前就存在的实在元素（爱因斯坦、波多尔斯基和罗森，1935年）。第一个量子比特或测量仪器对第二个量子比特的瞬时作用被排除在外。这与他为建立物理学原理做出的巨大贡献相违背。但是，量子方程在测量之前并没有为第二个量子比特分配一个确定的状态。因此，在爱因斯坦看来，它们并没有完整地描述实在，一定存在隐藏变量，即量子理论忽略的真实量，这些量必须补充量子对实在的描述，而量子描述必然是不完整的。

爱因斯坦无法相信量子物理学能够完整地描述实在，因为他不想放弃实在可分离性原理。所有经典物理学都遵循这样的原理：系统的状态始终要与各个组成部分的状态列表相对应。在经典物理学中，谈论纠缠态，谈论一个系统具有确定的状态但其组成部分没有确定状态，是没有意义的。

爱因斯坦假设的这些隐藏变量的存在，一直处于非常假设的状态，直到贝尔在1964年理解了如何将这一假设付诸实验检验（贝尔，1988年）。实验已经完成（阿斯佩、格兰杰和罗杰，1982年；吉辛、蒂特尔、布伦德尔和津宾登，1998年；吉辛，2014年），结果非常明确：爱因斯坦错误地认为实在必然是可分离的。纠缠量子态确实存在，并且在我们的认知范围内，它们完整地描述了实在。

通过研究一个具有两个纠缠量子比特的系统，并考虑每个量子比特的两个测量仪器，可以理解贝尔的推理和阿斯佩获得的结果。

令$|x^{+}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle +|1\rangle )$和$|x^{-}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle -|1\rangle )$为两个新的基向量（名称$x^{+}$和$x^{-}$来自自旋1/2理论）。

{$|0\rangle ,|1\rangle$} 和 {$|x^{+}\rangle ,|x^{-}\rangle$} 是第一个量子比特测量仪器两个本征态的基。

{$|v^{+}\rangle ,|v^{-}\rangle$} 是 {$|w^{+}\rangle ,|w^{-}\rangle$} 是第二个量子比特测量仪器的两个本征态基底。

在实验的每次迭代中，爱丽丝选择两个仪器之一并将其应用于她的量子比特，鲍勃在另一个量子比特上也这样做。因此，有四种可能的体验，其结果可能是

• $0v^{+},0v^{-},1v^{+},1v^{-}$

• $0w^{+},0w^{-},1w^{+},1w^{-}$

• $x^{+}v^{+},x^{+}v^{-},x^{-}v^{+},x^{-}v^{-}$

• $x^{+}w^{+},x^{+}w^{-},x^{-}w^{+},x^{-}w^{-}$

贝尔态${\frac {1}{\sqrt {2}}}(|00\rangle +|11\rangle )$似乎偏好基底{$|0\rangle ,|1\rangle$}，但这是一种错觉。

${\frac {1}{\sqrt {2}}}(|x^{+}x^{+}\rangle +|x^{-}x^{-}\rangle )={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}[(|0\rangle +|1\rangle )(|0\rangle +|1\rangle )+(|0\rangle -|1\rangle )(|0\rangle -|1\rangle )]={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|00\rangle +|11\rangle )$

如果选择

$|v^{+}\rangle =cos(\pi /8)|0\rangle +sin(\pi /8)|1\rangle$

$|v^{-}\rangle =sin(\pi /8)|0\rangle -cos(\pi /8)|1\rangle$

$|w^{+}\rangle =cos(3\pi /8)|0\rangle +sin(3\pi /8)|1\rangle$

$|w^{-}\rangle =sin(3\pi /8)|0\rangle -cos(3\pi /8)|1\rangle$

可以将以下八对正相关联：$0$ 与 $v^{+}$ 和 $w^{-}$，$x^{+}$ 与 $v^{+}$ 和 $w^{+}$，$1$ 与 $v^{-}$ 和 $w^{+}$，$x^{-}$ 与 $v^{-}$ 和 $w^{-}$

$Pr(0v^{+})={\frac {1}{2}}|\langle 0v^{+}|(|00\rangle +|11\rangle )|^{2}={\frac {1}{2}}cos^{2}(\pi /8)>Pr(0)Pr(v^{+})={\frac {1}{4}}$

其他七对的结果也相同。它们的总和大于3。

$4cos^{2}(\pi /8)\approx 3.414$

贝尔认识到，量子物理学预测并经实验证实的这种结果，与现实可分离性原理是不相容的。

因为我们有

${\frac {1}{\sqrt {2}}}(|00\rangle +|11\rangle )={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|v^{+}v^{+}\rangle +|v^{-}v^{-}\rangle )={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|w^{+}w^{+}\rangle +|w^{-}w^{-}\rangle )$

,

如果爱丽丝在第一个量子比特上测量状态$|v^{+}\rangle$和$|v^{-}\rangle$，如果鲍勃也在第二个量子比特上测量状态$|v^{+}\rangle$和$|v^{-}\rangle$，那么她可以从自己的结果推断出鲍勃的结果。对于$|w^{+}\rangle$和$|w^{-}\rangle$也是如此。根据爱因斯坦的标准，应该存在一些实在元素来决定鲍勃的结果。由于爱丽丝和鲍勃的角色是对称的，也应该存在一些实在元素来决定爱丽丝的结果。因此，我们应该能够将实验分成16组，这16组对应于16种可能的实在元素组合。如果实验做得很好，这16组应该始终以相同的概率出现。我们无法测量这些概率，因为量子物理学禁止测量四个元素$0$或$1$，$x^{+}$或$x^{-}$，$v^{+}$或$v^{-}$，以及$w^{+}$或$w^{-}$的组合。但是，如果我们接受基于可分性假设的爱因斯坦的推理，我们就必须接受这16个概率的存在。

相关的耦合的八个可测概率可以被认为是八个随机变量的期望值。例如$Pr(0v^{+})$是变量的期望值，如果观察到$0v^{+}$，则该变量等于1，否则等于0。这八个变量的总和也是一个随机变量，其期望值是求和变量的八个期望值的总和。可以在十六种组合中的每一种组合上验证，这个总和始终小于或等于三。例如，对于组合$0x^{+}v^{+}w^{+}$，它等于三。因此，它的期望值必然小于或等于三。因此，可分性原理与量子预测相矛盾，而量子预测已得到经验上的证实。

共存而无法相遇

是否可能在同一个地方而无法相遇？

假设有两个实体A和B，当它们彼此靠近时可以相互作用。$|0\rangle _{A}$ 和 $|0\rangle _{B}$ 分别表示A和B处于位置0时的状态，$|1\rangle _{A}$ 和 $|1\rangle _{B}$ 分别表示它们处于另一个位置1时的状态。假设如果它们处于不同的位置，则它们无法相互作用。因此，我们有

$U(|0\rangle _{A}|1\rangle _{B})=(U|0\rangle _{A})(U|1\rangle _{B})$

$U(|1\rangle _{A}|0\rangle _{B})=(U|1\rangle _{A})(U|0\rangle _{B})$

如果它们最初处于纠缠态 ${\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle _{A}|1\rangle _{B}+|1\rangle _{A}|0\rangle _{B})$，那么它们将不会相互作用。

证明：$U[{\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle _{A}|1\rangle _{B}+|1\rangle _{A}|0\rangle _{B})]={\frac {1}{\sqrt {2}}}[(U|0\rangle _{A})(U|1\rangle _{B})+(U|1\rangle _{A})(U|0\rangle _{B})]$。证毕。

然而，存在 ${\frac {1}{2}}$ 的概率找到A处于位置0，B也类似。因此，它们至少部分地同时存在于位置0，但它们无法相遇。位置1的情况也类似。

例如，爱丽丝和鲍勃约定了一个约会，但出于安全原因，他们事先没有确定地点。他们使用一对纠缠态粒子，假设其处于状态${\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle _{a}|0\rangle _{b}+|1\rangle _{a}|1\rangle _{b})$。就在会合之前，每个人都必须观察他们各自的粒子，并据此决定他们将在哪里见面。但爱丽丝和鲍勃并不知道，查尔斯嫉妒他们，用另一对粒子替换了这对粒子，${\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle _{a}|1\rangle _{b}+|1\rangle _{a}|0\rangle _{b})$。然后爱丽丝和鲍勃将前往他们的会合地点，但无法在双方都到达的情况下在那里见面。

纠缠时空

量子系统的部分通常被认为是物质实体，例如粒子、原子、分子或更大的物体。但在更基本的层面上，似乎应该将基本粒子及其复合体视为空间或量子真空的激发形式。然后将系统的各个部分视为空间区域。整个空间的状态空间是其分解成的区域的状态空间的张量积。因此，宇宙的状态向量描述了所有空间区域之间的纠缠（Wallace 2012）。但它也描述了宇宙中所有存在的多重命运。这些命运中的大多数是分离的，永远无法相遇，而它们却发生在同一个空间，有时甚至在同一个地方。这带来了一个原则性的难题：如果两个命运无法在同一个地方相遇，为什么还要说它们经过同一个地方呢？

这很有道理，因为即使 A 和 B 无法在某个特定地点相遇，当它们都穿过该地点时，它们仍然可以分别遇到存在于该地点的第三个存在 C。C 永远不会同时遇到 A 和 B，只会遇到其中一个，而不是两个。C 的初始命运将分叉成两个命运，一个是他遇到 A，另一个是他遇到 B。

埃弗雷特（Everett）的理论有时会被表述成一种看起来有点荒谬的方式：在每次观察中，观察者的宇宙都会分裂成几个独立的宇宙，每个宇宙都对应一个可能的结果。然后我们将宇宙的演化视为一棵树，其中每个分支都可以分成几个分支，然后这些分支又可以继续分裂，以此类推。这种树的图像有时很有用（参见第 6 章），但它错误地暗示了会有多个空间和多个时间，时间流的多个分支以及它们流动的多个空间。埃弗雷特的理论并没有说这样的话。它接受量子物理学本身，没有任何额外的假设。因此，它承认只有一个时空。它只是注意到量子物理学赋予物质存在的不只是一个命运，而是许多命运，所有这些命运都纠缠在同一个时空之中。

作用、反作用和不可克隆

在 CNOT 交互过程中，似乎控制量子位作用于目标量子位，但反之则不然。这种表象是错误的。如果控制量子位的初始状态是$\alpha |0\rangle +\beta |1\rangle$，则测量后的最终状态为

$CNOT(\alpha |0\rangle +\beta |1\rangle )=\alpha |00\rangle +\beta |11\rangle )$

当$\alpha$和$\beta$均不为零时，控制量子位不会保持其初始状态。它与目标量子位发生了纠缠。

事实上，CNOT 量子门存在一个隐藏的对称性。通过适当的基变换，第一个量子比特变成目标比特，第二个变成控制比特（Nielsen & Chuang 2010）：令$|x^{+}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle +|1\rangle )$ 和 $|x^{-}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle -|1\rangle )$ 为两个新的基向量（名称 $x^{+}$ 和 $x^{-}$ 来自自旋 1/2 理论）。在这个新的基底中，$CNOT$ 算符由以下决定。

$CNOT|x^{+}x^{+}\rangle =|x^{+}x^{+}\rangle$

$CNOT|x^{-}x^{+}\rangle =|x^{-}x^{+}\rangle$

$CNOT|x^{+}x^{-}\rangle =|x^{-}x^{-}\rangle$

$CNOT|x^{-}x^{-}\rangle =|x^{+}x^{-}\rangle$

计算非常简单。例如

$CNOT|x^{+}x^{-}\rangle =CNOT[{\frac {1}{2}}(|0\rangle +|1\rangle )(|0\rangle -|1\rangle )]$

$=CNOT[{\frac {1}{2}}(|00\rangle -|01\rangle +|10\rangle -|11\rangle )]$

$={\frac {1}{2}}(|00\rangle -|01\rangle +|11\rangle -|10\rangle )$

$={\frac {1}{2}}(|0\rangle -|1\rangle )(|0\rangle -|1\rangle )=|x^{-}x^{-}\rangle$

经典的CNOT门将控制比特携带的信息复制到目标比特。这是一种信息的克隆。乍一看，量子门CNOT似乎对量子比特做了同样的事情。但这种表象是错误的。控制量子比特携带的量子信息并没有被复制到目标量子比特。量子信息的克隆实际上是被量子原理所禁止的（Dieks 1982，Wooters & Zurek 1982）。对于量子克隆，应该存在一个相互作用U，使得

$U|\phi \rangle |ready\rangle =|\phi \rangle |\phi \rangle$

对于克隆系统的所有状态$|\phi \rangle$。特别是，对于两个正交状态$|\phi _{1}\rangle$和$|\phi _{2}\rangle$

$U|\phi _{1}\rangle |ready\rangle =|\phi _{1}\rangle |\phi _{1}\rangle$

$U|\phi _{2}\rangle |ready\rangle =|\phi _{2}\rangle |\phi _{2}\rangle$

但是我们没有$U(|\phi _{1}\rangle +|\phi _{2}\rangle )|ready\rangle =(|\phi _{1}\rangle +|\phi _{2}\rangle )(|\phi _{1}\rangle +|\phi _{2}\rangle )$，因为相互作用必然是纠缠的

$U(|\phi _{1}\rangle +|\phi _{2}\rangle )|ready\rangle =|\phi _{1}\rangle |\phi _{1}\rangle +|\phi _{2}\rangle |\phi _{2}\rangle$

纠缠是量子克隆不可能的原因。

纠缠态的理想测量

如果我们分别观察纠缠系统的各个部分，我们必然会破坏它们的纠缠，因为我们会将确定的状态归因于每个部分。那么，我们如何在不破坏它们的情况下观察纠缠态呢？

我们希望进行一种理想测量，其本征态是双量子比特系统AB的贝尔态。

使用两个观测量子比特C和D来测量前两个量子比特A和B的贝尔态。

第一种测量方法涉及A和B的如下交互作用（Kaye & Laflamme 2007）

$U_{1}|00\rangle =|x^{+}0\rangle$

$U_{1}|01\rangle =|x^{+}1\rangle$

$U_{1}|10\rangle =|x^{-}1\rangle$

$U_{1}|11\rangle =|x^{-}0\rangle$,

其中 $|x^{+}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle +|1\rangle )$ 和 $|x^{-}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle -|1\rangle )$

$U_{1}$ 由在AB上操作CNOT门，然后在A上操作Hadamard H门组成

$U_{1}=H_{A}CNOT_{AB}$

$U_{1}$ 破坏了贝尔态的纠缠

$U_{1}|\beta _{00}\rangle =|00\rangle$

$U_{1}|\beta _{01}\rangle =|01\rangle$

$U_{1}|\beta _{10}\rangle =|10\rangle$

$U_{1}|\beta _{11}\rangle =|11\rangle$

然后C和D测量A和B的状态$|0\rangle$ 和 $|1\rangle$

$U_{2}=CNOT_{AC}CNOT_{BD}$

更明确地说

$U_{2}|0000\rangle =|0000\rangle$

$U_{2}|0100\rangle =|0101\rangle$

$U_{2}|1000\rangle =|1010\rangle$

$U_{2}|1100\rangle =|1111\rangle$

因此，$U_{1}$ 之后接着 $U_{2}$ 的演化，对于AB的贝尔态给出

$U_{2}U_{1}|\beta _{00}\rangle |00\rangle =|0000\rangle$

$U_{2}U_{1}|\beta _{01}\rangle |00\rangle =|0101\rangle$

$U_{2}U_{1}|\beta _{10}\rangle |00\rangle =|1010\rangle$

$U_{2}U_{1}|\beta _{11}\rangle |00\rangle =|1111\rangle$

这还不是一个理想的测量，因为A和B已经被干扰了。为了让它们回到初始状态，需要操作 $U_{1}^{-1}=CNOT_{AB}^{-1}H_{A}^{-1}=CNOT_{AB}H_{A}$，因为CNOT和H是它们自己的逆。

因此，完整的理想测量由以下公式定义：

$U=U_{1}^{-1}U_{2}U_{1}=CNOT_{AB}H_{A}CNOT_{AC}CNOT_{BD}H_{A}CNOT_{AB}$

$U|\beta _{00}\rangle |00\rangle =|\beta _{00}\rangle |00\rangle$

$U|\beta _{01}\rangle |00\rangle =|\beta _{01}\rangle |01\rangle$

$U|\beta _{10}\rangle |00\rangle =|\beta _{10}\rangle |10\rangle$

$U|\beta _{11}\rangle |00\rangle =|\beta _{11}\rangle |11\rangle$

它实际上是对AB的贝尔态进行的理想测量。

这种测量方法要求A和B相互作用以解纠缠（如果它们最初是纠缠的），然后分别测量它们，然后再次相互作用以重新纠缠。如果A和B相距很远，无法直接相互作用，是否仍然可以对其纠缠态进行理想测量？

以下测量过程产生了这样的结果。首先，使用C通过CNOT相互作用依次测量A和B

$V_{1}=CNOT_{BC}CNOT_{AC}$

然后，使用D通过一个测量态为$|x^{+}\rangle$ 和 $|x^{-}\rangle$的相互作用W来测量A和B。

$W|x^{+}0\rangle =|x^{+}0\rangle$

$W|x^{+}1\rangle =|x^{+}1\rangle$

$W|x^{-}0\rangle =|x^{-}1\rangle$

$W|x^{-}1\rangle =|x^{-}0\rangle$

D对A和B的测量由以下公式定义：

$V_{2}=W_{BD}W_{AD}$

可以验证（计算很简单但有点繁琐）得到贝尔态的理想测量结果。明确地说

$V|\beta _{00}\rangle |00\rangle =|\beta _{00}\rangle |00\rangle$

$V|\beta _{01}\rangle |00\rangle =|\beta _{01}\rangle |10\rangle$

$V|\beta _{10}\rangle |00\rangle =|\beta _{10}\rangle |01\rangle$

$V|\beta _{11}\rangle |00\rangle =|\beta _{11}\rangle |11\rangle$

其中 $V=V_{2}V_{1}=W_{BD}W_{AD}CNOT_{BC}CNOT_{AC}$

所以我们有

$V=SWAP_{CD}U$

为什么测量纠缠态不能让我们观察到其他命运？

如果我通过CNOT测量观察一个处于状态${\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle +|1\rangle )$的量子比特，观察会导致状态向量变为${\frac {1}{\sqrt {2}}}(|00\rangle +|11\rangle )$，其中第二个量子比特记录了测量结果。${\frac {1}{\sqrt {2}}}(|00\rangle +|11\rangle )$可以解释为两种命运的叠加，一种是我得到结果$0$，另一种是我得到结果$1$。如果我们认真对待量子物理学，那么这两种命运都存在。观察量子比特会使我的命运分叉成两个独立的命运，但我只知道其中一个。然而，是否有可能验证这种其他命运的存在？如果它存在，我们希望看到它。我们能否制造一台电视机来展示我们其他的命运？

似乎纠缠态的理想测量使我们能够观察到这些其他的命运。观察第一个量子比特后，我将自己和它放置在一个测量设备前，该设备检测我们的纠缠状态。为了确保这样的实验（对处于状态${\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle +|1\rangle )$的量子比特进行制备，以及对我们纠缠态进行理想测量）总是使我们处于纠缠状态，我重复了许多次。如果纠缠测量设备每次都告诉我我们处于预期的纠缠状态，那么我将确认其他命运的存在。

然而，存在一个问题。当我进行观察时，我能够记住它。所以，我的一部分保留了这些信息。至少它需要一个保持相同状态的量子比特。但是，对两个量子比特纠缠的理想测量可能会扰乱它们。只有当被观测系统处于测量本征态时，理想测量才不会扰乱该系统。

假设被观测的量子比特最初处于状态$|0\rangle$，此观察导致状态向量$|00\rangle$。只有一个测量结果，因此没有分叉成多个命运。由于此状态不是纠缠态，因此它不是纠缠态理想测量的本征态。如果我将自己放置在一个执行此类测量的设备前，我将受到干扰。记录第一次观察结果的我的量子比特将无法保留其信息。因此，如果我正确地记住了第一次观察结果，则旨在验证另一个命运存在的提议协议将无法发挥作用。

这表明我们无法观察到一个我们记住了与在这个命运中记住的观察结果不同的观察结果的命运。

状态向量的明显坍缩足以证明我们无法观察到其他命运，因为在观察之后，一切都会发生，就像状态向量的未检测到的分量不再存在一样：它们不再能对后续观察产生影响。上述推理阐明了这一结论。正是对观察结果的记忆阻止了我们观察到我们获得了其他结果的命运。

约化密度算符

只要忽略剩余部分的状态，约化密度算符就表示关于系统一部分的最大信息。

当系统 AB 的状态$|\psi \rangle$以 Schmidt 分解给出时

$|\psi \rangle =\sum _{i}{\sqrt {p_{i}}}|a_{i}\rangle |b_{i}\rangle$

其中$|a_{i}\rangle$是正交归一向量，$|b_{i}\rangle$也是，则$|\psi \rangle \langle \psi |$的约化密度算符为：

$\rho _{A}=\sum _{i}p_{i}|a_{i}\rangle \langle a_{i}|$

以及

$\rho _{B}=\sum _{i}p_{i}|b_{i}\rangle \langle b_{i}|$

通常，约化密度算符是通过为系统一部分的基态分配等于其在系统状态中的权重的概率而获得的。

如果 AB 处于状态$\sum _{ij}\alpha _{ij}|a_{i}\rangle |b_{j}\rangle$，则

$\rho _{A}=\sum _{i}(\sum _{j}|\alpha _{ij}|^{2})|a_{i}\rangle \langle a_{i}|$

以及

$\rho _{B}=\sum _{j}(\sum _{i}|\alpha _{ij}|^{2})|b_{j}\rangle \langle b_{j}|$

$\rho _{A}$ 当其与B分离时，足以确定仅在A上进行观测结果的所有概率。因此，我们可以认为它代表了A的混合态。

约化密度算符可以用偏迹运算来定义。

$\rho _{A}=Tr_{B}(\rho _{AB})$

以及

$\rho _{B}=Tr_{A}(\rho _{AB})$

其中 $Tr_{X}(O)$ 是算符 $O$ 在 $X$ 上的偏迹。

它可以定义如下：

令 $O=\sum _{ijkl}O_{ijkl}|a_{i}\rangle |b_{j}\rangle \langle a_{k}|\langle b_{l}|$

其中 $|a_{i}\rangle$ 是A的状态空间的一组基，而 $|b_{i}\rangle$ 是B的状态空间的一组基，则

$Tr_{A}(O)=\sum _{jlm}O_{mjml}|b_{j}\rangle \langle b_{l}|$

以及

$Tr_{B}(O)=\sum _{ikm}O_{imkm}|a_{i}\rangle \langle a_{k}|$

特别是

$Tr_{A}(O_{A}\otimes O_{B})=Tr(O_{A})O_{B}$

以及

$Tr_{B}(O_{A}\otimes O_{B})=Tr(O_{B})O_{A}$

如果一个$\rho _{AB}$密度算符是可分离的（$\rho _{AB}=\rho _{A}\otimes \rho _{B}$），那么$\rho _{A}$和$\rho _{B}$是其约化密度算符。

无论是否可分离，$\rho _{AB}$始终足以确定约化算符$\rho _{A}$和$\rho _{B}$。可以得出结论，AB 的状态足以确定 A 和 B 的状态。利用约化密度算符，可以从整体状态确定部分的状态。但这不足以使纠缠之谜消失，因为如果它表示一个纠缠态，$\rho _{AB}$不是由$\rho _{A}$和$\rho _{B}$确定的。

例如，如果$|\psi \rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle _{A}|0\rangle _{B}+|1\rangle _{A}|1\rangle _{B})$，那么

$\rho _{A}={\frac {1}{2}}(|0\rangle _{A}\langle 0|_{A}+|1\rangle _{A}\langle 1|_{A})$

以及

$\rho _{B}={\frac {1}{2}}(|0\rangle _{B}\langle 0|_{B}+|1\rangle _{B}\langle 1|_{B})$

但是$|\psi \rangle \langle \psi |$是纠缠的，而$\rho _{A}\otimes \rho _{B}$是可分离的。

相对密度算符

设$\rho _{AB}$为系统AB的密度算符。

设$\rho '_{B}$为B的任意给定密度算符。

$\rho _{B}'=\sum _{i}p_{i}|b_{i}\rangle \langle b_{i}|$

当AB处于状态$\rho _{AB}$时，A相对于B的状态$\rho '_{B}$的相对状态$\rho '_{A}$定义为

$\rho '_{A}=\sum _{i}p_{i}|a_{i}\rangle \langle a_{i}|$

其中$|a_{i}\rangle$是A相对于B的状态$|b_{i}\rangle$的相对状态。

然后我们可以定义宇宙任何部分相对于任何其他部分的纯态或混合态的相对状态，通常是混合状态。

假设宇宙由两个部分A和B以及它们的环境E组成。宇宙的状态是一个密度算符$\rho _{ABE}$。然后我们可以定义AE相对于B的任意状态$\rho '_{B}$的状态$\rho '_{AE}$。通过部分迹运算，我们得到A相对于B的状态$\rho '_{B}$的状态$\rho '_{A}$。

$\rho '_{A}=Tr_{E}(\rho '_{AE})$

为什么纠缠对不能用于通信？

设A和B是AB系统中的两个部分。假设它们在过去发生过相互作用，并且AB现在处于一个纠缠状态，并且它们彼此相距很远。如果我们只观察其中的一部分，并且如果我们根据状态矢量的归约进行推理，就好像它是一个真实的效应，那么我们会得出结论：在被观察的部分与未被观察的部分之间应该存在瞬时超距作用，因为测量后B的状态与它之前的状态不同。因此，令人惊讶的是，这种被认为是真实的效应并不能使我们能够进行瞬时超距通信。如果确实存在作用，那么应该存在通信的可能性。

一般来说，无论作用是瞬时的还是延迟的，纠缠对都不能以状态矢量归约所暗示的方式使我们进行通信。从这个角度来看，量子物理与经典物理没有区别。因为要进行通信或信息传输，必须存在以光速或更低速度传播的作用或相互作用。当观察纠缠对的远端部分时，与未观察的部分之间没有相互作用。无法检测到前者对后者的任何可测量效应。

形式上，部分之间缺乏通信导致未观察部分在观察结束时的约化密度算符保持不变。未观察的部分不会改变其状态，它不受对另一部分观察的干扰。可以理解，未受扰动的状态是一个混合状态。只要没有关于对其他部分进行测量结果的信息，约化密度算符就决定了对一部分进行的所有测量的概率（参见2.8）。由于观察不会改变未观察部分的约化密度算符，因此它对它们不可能有任何可测量的效应。

通过纠缠的退相干

当一个系统处于纯态时，如$\sum _{i}\alpha _{i}|i\rangle$这样的叠加被称为相干的。这几乎是同义反复。真正的量子叠加总是相干的。但状态$|i\rangle$以概率$p_{i}$的混合有时被错误地称为非相干叠加。

密度算符的形式化指定了这种差异。相干叠加的密度算符是

$(\sum _{i}\alpha _{i}|i\rangle )(\sum _{i}\alpha _{i}^{*}\langle i|)=\sum _{ij}\alpha _{i}\alpha _{j}^{*}|i\rangle \langle j|$，而非相干叠加的密度算符是

$\sum _{i}p_{i}|i\rangle \langle i|$

相干叠加态的密度矩阵的非对角线元素$\alpha _{i}\alpha _{j}^{*}$ 与非相干叠加态产生了本质区别。它们有时被称为该密度矩阵的相干性。$\alpha _{i}\alpha _{j}^{*}$ 代表状态$|i\rangle$ 和 $|j\rangle$ 之间的相干性。

当测量是理想的时，测量算符的本征态不会受到观测的干扰。另一方面，任何与不同本征值相关的本征态的相干叠加都会被破坏：假设一个系统最初处于状态$\sum _{i}\alpha _{i}|i\rangle _{S}$，为了简化书写，这里假设每个测量结果都对应一个唯一的本征态。观测后，它与测量仪器纠缠在一起，因为全局系统的最终状态是$\sum _{i}\alpha _{i}|i\rangle _{S}|i\rangle _{A}$。

测量后，被观测系统的状态可以被认为是与所有可能结果相关联的状态的混合。对于理想测量，我们已经知道，根据玻恩规则，表示这种混合的密度算符，但是详细计算一下还是值得的，以便将其与比理想测量更一般的相互作用进行比较。

$\rho _{S}^{f}=Tr_{A}[(\sum _{i}\alpha _{i}|i\rangle _{S}|i\rangle _{A})(\sum _{i}\alpha _{i}^{*}\langle i|_{S}\langle i|_{A})]=Tr_{A}(\sum _{ij}\alpha _{i}\alpha _{j}^{*}|i\rangle _{S}|i\rangle _{A}\langle j|_{S}\langle j|_{A})$

$=\sum _{ij}\alpha _{i}\alpha _{j}^{*}Tr_{A}(|i\rangle _{S}|i\rangle _{A}\langle j|_{S}\langle j|_{A})=\sum _{ij}\alpha _{i}\alpha _{j}^{*}|i\rangle _{S}\langle j|_{S}Tr(|i\rangle _{A}\langle j|_{A})$

$=\sum _{i}\alpha _{i}\alpha _{i}^{*}|i\rangle _{S}\langle i|_{S}$

其中最后一个等式源于$|i\rangle _{A}$是正交归一的。

由于密度矩阵的非对角元素消失了，初始叠加态的相干性被破坏了。这种测量干扰效应称为退相干（Zurek 2003）。在理想测量的特定情况下，与不同结果相关的本征态叠加的相干性被测量完全破坏。它们的退相干是完全的。另一方面，与相同结果相关的本征态叠加的相干性不会被理想测量破坏。这种本征态的子空间不受退相干影响。

如果一个系统保持孤立，没有与其环境相互作用，则不会发生退相干，因为孤立系统的演化是幺正的。

$U(\sum _{i}\alpha _{i}|i\rangle )=\sum _{i}\alpha _{i}U|i\rangle$

由此可见，相干性$\alpha _{i}\alpha _{j}^{*}$是守恒量，其含义如下：如果一个系统是孤立的，则最终状态$U|i\rangle$和$U|j\rangle$之间的相干性等于初始状态$|i\rangle$和$|j\rangle$之间的相干性。

如果系统S受到环境E的干扰，则相干性不再一定守恒。它们取决于S与其环境的纠缠程度。有时人们认为相互作用或干扰足以导致退相干，但这并不完全正确。例如，SWAP门是一种没有纠缠的相互作用。如果与SWAP相互作用的两个量子比特处于纯态，则它们将保持在纯态。没有相干性损失，因为没有纠缠。退相干由与环境的纠缠程度来衡量。

令S为一个受环境E影响的系统。让我们考虑S的两个正交态$|j\rangle _{S}$和$|k\rangle _{S}$。这两个状态之间的相干性程度$|C_{jk}|^{2}$是多少？

$|i\rangle _{S}$ 是 S 的一个正交归一基，其中包含 $|j\rangle _{S}$ 和 $|k\rangle _{S}$。 $|l\rangle _{E}$ 是 E 的任意正交归一基。则系统 SE 的任何纯态都可以由以下公式确定：

$|\psi \rangle =\sum _{il}\alpha _{il}|i\rangle _{S}|l\rangle _{E}$ $=\sum _{i}|i\rangle _{S}\sum _{l}\alpha _{il}|l\rangle _{E}$ $=\sum _{i}|i\rangle _{S}|\phi (i)\rangle _{E}$

其中 $|\phi (i)\rangle _{E}=\sum _{l}\alpha _{il}|l\rangle _{E}$

S 的约化密度算符为

$\rho _{S}=Tr_{E}(|\psi \rangle \langle \psi |)=Tr_{E}(\sum _{ili'l'}\alpha _{il}{\alpha ^{*}}_{i'l'}|i\rangle _{S}|l\rangle _{E}\langle i'|_{S}\langle l'|_{E})$

$=\sum _{ili'}\alpha _{il}{\alpha ^{*}}_{i'l}|i\rangle _{S}\langle i'|_{S}$

我们可以推导出：$C_{jk}=\sum _{l}\alpha _{jl}{\alpha ^{*}}_{kl}$ $=\langle \phi (j)|_{E}\phi (k)\rangle _{E}$

$|C_{jk}|^{2}$ 因此等于 $|\langle \phi (j)|_{E}\phi (k)\rangle _{E}|^{2}$。它衡量了 $|\phi (j)\rangle _{E}$ 和 $|\phi (k)\rangle _{E}$ 之间的量子相似性。$|\phi (j)\rangle _{E}$ 和 $|\phi (k)\rangle _{E}$ 越不同，$|j\rangle _{S}$ 和 $|k\rangle _{S}$ 之间的相干性就越受环境影响而降低。如果 $|\phi (j)\rangle _{E}$ 正交于 $|\phi (k)\rangle _{E}$，则 $|j\rangle _{S}$ 和 $|k\rangle _{S}$ 之间的退相干是完全的，并且 S 和 E 之间的纠缠是最大的。如果 $|\phi (j)\rangle _{E}$ 等于 $|\phi (k)\rangle _{E}$，则 $|j\rangle _{S}$ 和 $|k\rangle _{S}$ 之间的相干性最大，并且对于这两个 S 的状态，S 和 E 之间没有纠缠。实际上，纠缠是导致退相干的原因。

费曼规则

当系统不处于理想测量的本征态时，观测会在被观测系统和测量仪器之间产生一个纠缠态。

$U(\sum _{i}\alpha _{i}|i\rangle _{S})|ready\rangle _{A}=\sum _{i}\alpha _{i}|i\rangle _{S}|i\rangle _{A}$

其中假设$i$的结果只有一个本征态$|i\rangle _{S}$，以简化书写。

因此，表示测量后观察到的系统混合态的约化密度算符为

$\sum _{i}|\alpha _{i}|^{2}|i\rangle _{S}\langle i|_{S}$

我们得出结论，当测量不是系统的本征态时，观察会使被观察的系统从纯态转变为混合态。

这解释了费曼规则在量子物理学中计算概率的方法（费曼 1966）

假设一个系统从初始状态$a$过渡到最终状态$b$，途径中间状态$i$。

如果中间状态$i$没有被观察到，我们必须对所有路径$a$→$i$→$b$的概率幅$[A(a$→$i)A(i$→$b)]$进行求和，然后取此和的模的平方，以找到系统从$a$到$b$的概率。

如果中间状态$i$ 未被观测，则从状态 $a$ 到状态 $b$ 的概率为：$Pr(a$→$b)=|\sum _{i}A(a$→$i)A(i$→$b)|^{2}$

如果中间状态 $i$ 被观测到，则我们必须对所有路径 $a$→$i$→$b$ 的概率进行求和 $[Pr(a$→$i)Pr(i$→$b)]$，来找到系统从状态 $a$ 跃迁到状态 $b$ 的概率。

因此，如果中间状态被观测，从状态 $a$ 到状态 $b$ 的概率为：$Pr(a$→$b)=\sum _{i}Pr(a$→$i)Pr(i$→$b)$

其中，$Pr(x$→$y)=|A(x$→$y)|^{2}$

第一个规则是量子物理学的典型规则。它源于幺正演化的假设。第二个规则是概率加和的经典规则。它源于观测导致的退相干。当中间状态$i$被观测到时，被观测的系统由状态混合表示。然后必须应用概率加和的经典规则。因此，观测导致的纠缠解释了费曼的第二个规则。

干涉图案的事后重建

干涉图案的事后重建以一种引人注目的方式说明了在埃弗里特意义上，观测到的状态相对于观测者的相对性。

在马赫-曾德尔干涉仪中，一个观测量子比特放置在光子轨迹之一上。然后可以用算符描述系统的演化

$H_{1}CNOT_{12}H_{1}|00\rangle ={\frac {1}{2}}(|00\rangle +|10\rangle +|01\rangle -|11\rangle )$

$={\frac {1}{2}}[(|0\rangle +|1\rangle )|0\rangle +(|0\rangle -|1\rangle )|1\rangle =|\psi \rangle$

其中第一个量子比特表示光子，第二个表示观测者。

第二个分束器输出端光子的约化密度算符为

${\frac {1}{2}}(|0\rangle \langle 0|+|1\rangle \langle 1|)$

因此，光子以1/2的概率被每个探测器吸收。因此，观测光子经过的路径破坏了两个路径之间干涉效应。

然后我们将Hadamard门应用于观测量子比特

$H_{2}|\psi \rangle ={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}[(|0\rangle +|1\rangle )(|0\rangle +|1\rangle )+(|0\rangle )-|1\rangle )(|0\rangle -|1\rangle )]$

$={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|00\rangle +|11\rangle )$

因此，第一个量子比特相对于第二个量子比特的状态为$|0\rangle$相对于$|0\rangle$，以及$|1\rangle$相对于$|1\rangle$。如果我们观测第二个量子比特，我们可以推断出第一个量子比特的状态。通过这种方式，即使在第一个量子比特被观测很久之后，也可以重建干涉图案。这种重建即使在第二个量子比特被观测很久之后也可以进行。

有时人们会说，干涉图样由于放置在所跟踪路径上的探测器的干扰而被破坏。这并不完全准确，因为在这些干扰发生后，这些图样可以被重建。探测器不一定破坏干涉图样，而只是破坏了对其的观察条件。被观察对象与探测器的纠缠改变了这些条件，因为观察到的状态始终是相对于观察者的状态，从埃弗雷特的意义上来说。

非局域宏观状态的脆弱性

由于通过纠缠产生的退相干，单个光子足以破坏非局域宏观状态。

例如，假设一个非局域宏观状态为${\frac {1}{\sqrt {2}}}(|1\rangle _{M}+|2\rangle _{M})$，并且入射光子处于状态$|0\rangle _{p}$。光子可能是局域的，也可能不是局域的。

假设它最初位于$|1\rangle _{M}$附近。相互作用后，得到以下状态

${\frac {1}{\sqrt {2}}}(|1\rangle _{p}|1'\rangle _{M}+|0\rangle _{p}|2\rangle _{M})$

由于M是宏观的，其局域状态$|1\rangle _{M}$受光子撞击的影响很小。$|1'\rangle _{M}$几乎等于$|1\rangle _{M}$，因为它们的标量积与1相差不大。但这并不能阻止非局域状态的破坏，因为$|1\rangle _{p}$通常与$|0\rangle _{p}$非常不同。如果$\langle 0_{p}|1\rangle _{p}$为零，则状态$|1\rangle _{M}$和$|2\rangle _{M}$之间的退相干是完全的。因此，由于与单个光子的纠缠，非局域状态被完全破坏。

如果光子最初没有局域化，则相互作用导致以下状态

${\frac {1}{\sqrt {2}}}(|1\rangle _{p}|1'\rangle _{M}+|2\rangle _{p}|2'\rangle _{M})$

$|1\rangle _{p}$ 通常与 $|2\rangle _{p}$ 非常不同。同样，如果 $\langle 2_{p}|1\rangle _{p}$ 等于零，则退相干是完全的。

只要宏观物体不在超冷真空中，它们就会持续受到环境空气中大量粒子、光子和分子的影响。如果 $\langle 2_{p}|1\rangle _{p}$ 不接近零，那么其中一个粒子可能不足以导致非局域态的完全退相干。但少量入射粒子总是足以使退相干完全发生。因此，非局域宏观态的退相干是一种非常强大且非常迅速的效应。它几乎是不可避免的。物体越大，它们对这种非局域态破坏的敏感性就越高。另一方面，微观生物、粒子和小分子则不那么敏感，因为它们可以在长距离内传播而无需与其他粒子或分子相互作用，或者仅与之发生很少的相互作用。

即使在超冷真空中，如果非局域宏观态本身不是超冷的，它们也会经历非常快速的退相干，因为它们会发射与之纠缠的光子。

非局域宏观态非常脆弱，因为通常，宏观物体无法被隔离，或者隔离得不好，并且因为它们的非局域态会被与环境的纠缠所破坏。局域宏观态没有那么脆弱，因为相互作用总是局部的。一切似乎都像是宏观物体被其环境持续观测着。由于相互作用是局部的，因此局域态可以成为这种观测的本征态。如果这是一个理想的测量，它们就不会受到干扰。相互作用的局部性从宏观物体的所有状态中选择了局域态，因为它们是最稳健的，受其环境干扰最少的（Joos、Zeh 等 2003，Zurek 2003，Schlosshauer 2007）。

“薛定谔的猫”型实验

量子原理并不禁止观测宏观态的量子叠加。它们只是预测这样的观测非常困难，因为有必要隔离被观测的系统，以保护它免受其环境的退相干影响。

薛定谔发明了一个不幸地相当阴险的思想实验来说明量子叠加原理的非常反直觉的特性，他帮助发现了这个原理，因为这个原理必然伴随着他著名的方程。一只猫被关在一个装有邪恶装置的盒子里：一个放射性原子与一个毒药瓶相连，只有当原子衰变时，毒药才会扩散。假设原子的半衰期为一个小时，并且在实验开始时已经验证了原子尚未衰变。实验包括将猫封闭一个小时，然后打开盒子（薛定谔 1935）。

如果盒子完全与其环境隔离，则可以使用作用于一个量子比特和一个量子三态系统的幺正算符来描述此实验。量子比特表示原子，如果它已经衰变，则可以处于 $|0\rangle$ 状态，否则处于 $|1\rangle$ 状态。量子三态系统表示盒子中的所有其他内容：如果存在，则表示衰变产物、毒药瓶、猫和盒子本身。 $|alive_{0}\rangle$ 是实验开始时盒子及其内容（原子除外）的状态，此时猫还活着， $|alive\rangle$ 是实验结束时盒子及其内容（原子除外）的状态，如果猫还活着， $|dead\rangle$ 是如果它死了的状态。然后实验由以下公式描述：

$U|1,alive_{0}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|1,alive\rangle +|0,dead\rangle )$

因此，实验结束时系统的状态是原子、猫和盒子其余部分之间的纠缠态，其中猫同时处于死和活的状态。

任何制备和观察诸如${\frac {1}{\sqrt {2}}}(|alive\rangle +|dead\rangle )$状态的宏观系统实验被称为“薛定谔的猫”型实验。显然，没有必要杀死一只猫。

薛定谔最初的实验并没有制备猫的${\frac {1}{\sqrt {2}}}(|alive\rangle +|dead\rangle )$状态，而只是猫与其环境之间的纠缠态。为了制备${\frac {1}{\sqrt {2}}}(|alive\rangle +|dead\rangle )$状态，应该将猫完全隔离在其环境之外，并将魔鬼装置放入其腹部。但活着的生物无法在超低温真空环境中生存，因此它永远不可能处于像${\frac {1}{\sqrt {2}}}(|alive\rangle +|dead\rangle )$这样的状态。

薛定谔的思想实验表明，原则上没有任何东西可以阻止量子叠加原理应用于宏观系统，只要它可以被完美地隔离。

迄今为止，还没有使用真正宏观的系统实现“薛定谔的猫”型实验，因为我们不知道如何将其充分地与环境隔离开来。另一方面，它可以用各种方法在介观物体、小粒子系统、原子或分子中实现。

电磁腔的激发模式是其中包含的光子的量子态。Haroche 和他的合作者能够制造一个腔，在其中他们可以相当自由地制备、操纵和观察他们设想的量子态。腔态是使用作为微观探针的巨型原子制备和观察的。因此，他们用一个包含几个光子的超冷腔实现了“薛定谔的猫”型实验。

电磁场的某些量子态非常类似于经典态，尤其是在它们平均包含许多光子时。它们被称为格劳伯态。

电磁场的模式在数学上类似于谐振子，因为场像任何其他振子一样周期性地振荡。在量子物理学中，谐振子的可及能量是量子化的。它们对应于电磁腔模式中激发的光子数。当振子的能量相对于两个连续状态之间的能量差非常大时，可以构建非常类似于振子经典状态的量子态。它们可以具有精确定义的位置和动量。这些是格劳伯态。它们不是具有确定光子数的态（福克态），福克态是纯量子态，在经典物理学中没有等价物，即使它们包含非常多的光子。格劳伯态也称为“相干态”。

格劳伯态可以通过简单地将最初为空的腔体短暂耦合到传统的电磁辐射源来制备。可以安排巨型原子通过引起格劳伯态的相移来扰乱腔体中的场，就像振子在不改变其能量的情况下被移动一样，就像原子对场进行了射击。根据其初始状态$|g\rangle$或$|e\rangle$，原子在相反的方向引起相移（Haroche & Raimond 2006，第 377-378 页）。原子与腔之间的相互作用由以下公式描述：

$U|g\rangle |G_{0}\rangle =|g\rangle |G_{\phi }\rangle$

$U|e\rangle |G_{0}\rangle =e^{-i\phi }|e\rangle |G_{-\phi }\rangle$

其中$|G_{0}\rangle$ 是初始Glauber态，而$|G_{\phi }\rangle$ 是通过相移$\phi$得到的Glauber态。

如果原子被制备在状态${\frac {1}{\sqrt {2}}}(|g\rangle +|e\rangle )$，则得到

$U{\frac {1}{\sqrt {2}}}(|g\rangle +|e\rangle )|G_{0}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|g\rangle |G_{\phi }\rangle +e^{-i\phi }|e\rangle |G_{-\phi }\rangle )$

由于实验条件能够达到大于弧度的$\phi$值，因此所获得的状态可以被视为原子+场系统“薛定谔猫”型态的状态。为了制备腔体的状态${\frac {1}{\sqrt {2}}}(|G_{\phi }\rangle +|G_{-\phi }\rangle )$，只需将原子最初置于状态${\frac {1}{\sqrt {2}}}(|g\rangle +|e\rangle )$，然后在腔体输出端观察其处于状态${\frac {1}{\sqrt {2}}}(|g\rangle +e^{-i\phi }|e\rangle )$ 或 ${\frac {1}{\sqrt {2}}}(|g\rangle -e^{-i\phi }|e\rangle )$ 中的一种。

例如，如果在输出端观察到它处于状态${\frac {1}{\sqrt {2}}}(|g\rangle +e^{-i\phi }|e\rangle )$

则相对于该观测，腔体的状态为

${\frac {1}{\sqrt {2}}}(|G_{\phi }\rangle +|G_{-\phi }\rangle )$

因为

$U{\frac {1}{\sqrt {2}}}(|g\rangle +|e\rangle |G_{0}\rangle )={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|g\rangle |G_{\phi }\rangle +e^{-i\phi }|e\rangle |G_{-\phi }\rangle )$

$={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}[(|g\rangle +e^{-i\phi }|e\rangle )(|G_{\phi }\rangle +|G_{-\phi }\rangle )+(|g\rangle -e^{-i\phi }|e\rangle )(|G_{\phi }\rangle -|G_{-\phi }\rangle )]$

为了验证所需“薛定谔猫”态是否已正确制备，观测系统使用的是差分探测（Haroche & Raimond 2006，第374-375页）。

通过这种方式，Haroche 及其合作者制备了许多“薛定谔猫”态，并观察到了它们的脆弱性。他们能够通过与环境的纠缠，用实验证明了退相干理论。即使包含少量光子，“薛定谔猫”态也容易受到超冷且高度隔离的腔体中的微小扰动的快速破坏。

以下思想实验以之前的实验为模型，展示了如何制备和观察镜子的非局域宏观状态。实验存在很大困难，因为镜子必须与其环境完全隔离。镜子与其环境之间的任何相互作用都可能破坏希望观察到的非局域状态。

我们假设镜子的一个状态$|1\rangle _{m}$处于不稳定的平衡状态。如果它受到处于$|1\rangle _{p}$状态的光子的撞击，它就会落入$|0\rangle _{m}$状态，而反射的光子则进入$|2\rangle _{p}$状态。如果镜子最初处于$|0\rangle _{m}$状态，则它不会影响光子。因此，得到以下测量过程

$U|1\rangle _{m}|1\rangle _{p}=|0\rangle _{m}|2\rangle _{p}$

$U|0\rangle _{m}|1\rangle _{p}=|0\rangle _{m}|1\rangle _{p}$

为了制备非局域宏观状态${\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle _{m}+|1\rangle _{m})$，我们利用一个处于状态${\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle _{p}+|1\rangle _{p})$的光子（例如通过分束器制备），其中$|0\rangle _{p}$是光子不与镜子相互作用的状态。在将镜子制备到状态$|1\rangle _{m}$后，我们得到

$U{\frac {1}{\sqrt {2}}}|1\rangle _{m}(|0\rangle _{p}+|1\rangle _{p})={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|1\rangle _{m}|0\rangle _{p}+|0\rangle _{m}|2\rangle _{p})$

$={\frac {1}{2}}[(|0\rangle _{m}+|1\rangle _{m})(|0\rangle _{p}+|2\rangle _{p})+(|0\rangle _{m}-|1\rangle _{m})(|2\rangle _{p}-|0\rangle _{p})]$

如果随后检测到（通过分束器和光电探测器）光子处于状态${\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle _{p}+|2\rangle _{p})$，我们就制备了镜子处于状态${\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle _{m}+|1\rangle _{m})$。利用此非局域宏观状态和一个处于状态$|1\rangle _{p}$的新光子，我们得到

$U{\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle _{m}+|1\rangle _{m})|1\rangle _{p}={\frac {1}{\sqrt {2}}}|0\rangle _{m}(|1\rangle _{p}+|2\rangle _{p})$

如果多次重复该实验，并使用能够检测到光子处于${\frac {1}{\sqrt {2}}}(|1\rangle _{p}+|2\rangle _{p})$状态的探测器，那么每次都会探测到光子。由此可以得出结论，观测到了镜子的非定域态。

这个例子主要是在理论上进行探讨。在实验上进行操作会面临巨大的困难，因为镜子必须完全与其环境隔离。镜子与其环境之间的任何相互作用都可能破坏我们想要观测的非定域态。

因此，“薛定谔的猫”类型的实验在原则上是可行的。原则上，可以观测到不同宏观状态的叠加。

多重命运的存在定理是否可以通过实验证实？

在上面设想的实验中，处于不稳定平衡状态的镜子可以被视为一个观察系统，其设计目的是检测和记录光子的存在。该实验使得验证观察系统多重命运的存在成为可能。我们由此推断，多重命运的存在定理是可以被实验证实的。但这一令人惊讶的结论伴随着严苛的限制。

观察系统必须完全与其环境隔离，例如在超低温超高真空的环境中。如果这种隔离不完美，环境造成的退相干足以破坏我们想要验证其存在的命运叠加态。我们可以想象能够完全隔离一个生物体的腔室，但这在实践上是不可行的。即使是隔离对环境不太敏感的非常小的系统，通常也极具挑战性。

另一个根本原因阻止了我们观察活着的生物的多重命运。为了观察两个观察结果的叠加，这些结果必须以可逆的方式记录下来，以便观察者系统能够“忘记”它们。在上述实验中，镜子的最终状态$|0\rangle _{m}$没有跟踪它同时经过的先前状态$|0\rangle _{m}$和$|1\rangle _{m}$。这是普遍的。对于一个状态$|\psi _{0}\rangle$ 能够被观察到，我们需要一个探测器和一个初始状态$|0\rangle _{d}$，使得$|\psi _{0}\rangle |0\rangle _{d}$导致$|\psi _{1}\rangle |1\rangle _{d}$，其中$|1\rangle _{d}$是探测器检测到$|\psi _{0}\rangle$时的状态，而$|\psi _{1}\rangle$是被观察系统的最终状态。如果$|\psi _{0}\rangle$是观察结果的叠加，例如${\frac {1}{\sqrt {2}}}(|a\rangle +|b\rangle )$，则获得的结果$a$和$b$都不能同时存储在状态$|\psi _{1}\rangle$中。至少两个结果之一，甚至可能两者都被清除了。我们可以得出结论，当观察结果被不可逆地记录时，不同命运的叠加是不可观察的。由于生物的命运是一系列过程和不可逆观察的连续，因此它们的叠加不可观察。因此，由于生命过程的不可逆性，生物的多重命运的存在在经验上是不可验证的。

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