观测的量子理论/量子测量的一般理论

冯·诺依曼最初提出的理想测量理论，由于以下几个原因并不完全令人满意

a) 它假设存在被观测系统的本征态基底。这些状态产生确定性的结果，并且不会受到测量的干扰。但一般来说，产生确定性结果的状态并不存在。探测器并不完美。它们的探测率几乎从未达到 100%。即使本征态存在，也无法阻止它们受到测量的干扰。SWAP 门就是一个例子。还可能发生在测量过程中被观测系统被破坏的情况。例如，大多数光探测器会吸收它们检测到的光子。

b) 为了进行理想测量，探测器必须始终处于相同的初始状态 $|ready\rangle _{A}$ 。但一般来说，探测器的初始状态并不精确已知。同样，最终状态 $|i\rangle _{A}$ 也不精确已知。

测量算符是对 a 的反对意见做出回应。测量超算符是对 b 的反对意见做出回应。

测量算符

通常， $|i\rangle _{A}$ 是测量仪器指针态的正交归一基底。

$|j\rangle _{S}$ 是被观测系统状态的任何正交归一基底。

$U$ 是描述测量过程的演化算符。

如果 $|\psi \rangle _{S}$ 是被观测系统的初始状态，最终状态是

$U|\psi \rangle _{S}|ready\rangle _{A}=\sum _{ij}\alpha (\psi )_{ji}|j\rangle _{S}|i\rangle _{A}$

测量算符 $M(i)$ 由以下定义

$M(i)|\psi \rangle _{S}=\sum _{j}\alpha (\psi )_{ji}|j\rangle _{S}$

这些算符由 $U$ 确定。它们是线性的，因为 $U$ 是线性的。

获得结果 $i$ 的概率是 $\sum _{j}|\alpha (\psi )_{ji}|^{2}=|M(i)|\psi \rangle _{S}|^{2}$ 。这是对波恩规则的推广。观察到的系统在测量 $i$ 后的状态是 ${\frac {M(i)|\psi \rangle _{S}}{|M(i)|\psi \rangle _{S}|}}$ 。它是相对于测量仪器的最终状态 $|i\rangle _{A}$ 的相对状态，在埃弗雷特的意义上。

${\frac {1}{|M(i)|\psi \rangle |}}$ 是一个归一化因子。

为了解释破坏观察系统的测量，引入一个新的状态 $|destroyed\rangle _{S}$ 来表示这种破坏。当然，这不是真正的量子态，因为它代表了不再存在的系统的状态。它只是一个数学技巧，用于将测量算符的形式主义适应破坏性测量的情况。使用量子场论和湮灭算符可以实现更严格的方法。

例子

CNOT 门

从

我们推断

$M(0)(\alpha |0\rangle +\beta |1\rangle )=\alpha |0\rangle$

$M(1)(\alpha |0\rangle +\beta |1\rangle )=\beta |1\rangle$

$M(0)$ 和 $M(1)$ 分别是状态 $|0\rangle$ 和 $|1\rangle$ 上的正交投影。

SWAP 门 从

我们推断

$M(0)(\alpha |0\rangle +\beta |1\rangle )=\alpha |0\rangle$

$M(1)(\alpha |0\rangle +\beta |1\rangle )=\beta |0\rangle$

破坏性和低效的测量

假设如果被观测系统处于状态 $|1\rangle$ ，则检测率为 10%。如果它处于状态 $|0\rangle$ ，则永远不会被检测到。这种测量可以用以下演化来描述

$U(\alpha |0\rangle +\beta |1\rangle )|0\rangle =\alpha |00\rangle +{\sqrt {0.9}}\beta |10\rangle +{\sqrt {0.1}}\beta |destroyed\rangle |1\rangle$

其中 $|0\rangle$ 是探测器的初始状态，而 $|1\rangle$ 是它检测到被观测系统时的状态。我们可以推断出

$M(0)(\alpha |0\rangle +\beta |1\rangle )=\alpha |0\rangle +{\sqrt {0.9}}\beta |1\rangle$

$M(1)(\alpha |0\rangle +\beta |1\rangle )={\sqrt {0.1}}\beta |destroyed\rangle$

对于如此微不足道的有效测量，没有本征态的基础。唯一的本征态是 $|0\rangle$ 。所有其他状态 $\alpha |0\rangle +\beta |1\rangle$ ，其中 $\beta$ 不等于零，不是本征态，因为它们不会导致确定性的结果。

可观测量和投影算符

量子物理学原理通常在没有参考量子测量理论或测量算符的情况下解释。为了解释状态向量和观察之间的联系，我们说物理量，也就是可测量量，由厄米算符表示，这些算符被称为可观测量。测量结果是这些算符的特征值。与特征值相关的特征向量是导致确定性测量该特征值的态。此外，状态向量坍缩的假设通常被接受，即当获得测量结果时，系统的状态向量被投影到所测量结果的特征态子空间上。因此，这样的观察是理想的测量，因为如果系统处于可观测量的一个特征态，则它不会受到测量的影响。

当测量是理想的时，测量算符 $M(i)$ 正是 $i$ 特征态子空间上的投影算符 $P(i)$ 。这就是为什么理想测量也被称为投影测量。

可观测量，作为厄米算符 $O$ ，可以从 $P(i)$ 定义

$O=\sum _{i}iP(i)$

因此，通过厄米算符定义可观测量是更一般的测量算符理论的一个特例，仅限于理想测量。

关于探测器状态的不确定性和测量超算符

当获得结果 $i$ 时，假设探测器的状态是未知的，但已知它处于其状态空间的子空间 $H(i)_{A}$ 中。由于必须区分测量结果，因此 $H(i)_{A}$ 必须是相互正交的。它们是指示态的子空间。

测量装置的指针状态的正交归一基是 $|i,j\rangle _{A}$ 。 $|i,j\rangle _{A}$ 在 $H(i)_{A}$ 中。

假设探测器的初始状态是 $|ready,k\rangle _{A}$ ，概率为 $p_{k}$ 。因此，测量之前，探测器由密度算符 $\sum _{k}p_{k}|ready,k\rangle _{A}\langle ready,k|_{A}$ 描述。

$|l\rangle _{S}$ 是观测系统的任何正交归一基状态。

$U$ 是描述测量过程的演化算符。

如果 $|\psi _{m}\rangle _{S}|ready,k\rangle _{A}$ 是系统的初始状态，那么最终状态是

$U|\psi _{m}\rangle _{S}|ready,k\rangle _{A}=\sum _{lij}\alpha (m,k)_{lij}|l\rangle _{S}|i,j\rangle _{A}$

令 $|\phi (i,m,k)\rangle =\sum _{lj}\alpha (m,k)_{lij}|l\rangle _{S}|i,j\rangle _{A}$

测量超算符 $M(i)$ 作用于密度算符集。它们定义为

$M(i)(|\psi _{m}\rangle _{S}\langle \psi _{m}|_{S})=\sum _{k}p_{k}Tr_{A}(|\phi (i,m,k)\rangle \langle \phi (i,m,k)|)$

适用于纯态。我们可以将其推广至

$M(i)(\sum _{m}p_{m}|\psi _{m}\rangle _{S}\langle \psi _{m}|_{S})=\sum _{m}p_{m}M(i)(|\psi _{m}\rangle _{S}\langle \psi _{m}|_{S})=\sum _{mk}p_{m}p_{k}Tr_{A}(|\phi (i,m,k)\rangle \langle \phi (i,m,k)|)$

适用于混合态 $\rho _{S}=\sum _{m}p_{m}|\psi _{m}\rangle _{S}\langle \psi _{m}|_{S}$ .

通常情况下 $M(i)\rho _{S}$ 不是密度算符，因为它们的迹不等于 1。

与测量算符类似，测量超算符决定了观测结果的概率以及观测系统最终的状态（广义的 Born 规则）

如果初始状态为 $\rho _{S}$ ，无论是纯态还是混合态，观测到结果 $i$ 的概率为 $Tr(M(i)\rho _{S})$ 。观测到 $i$ 后的最终状态通常为混合态，由算符 ${\frac {M(i)\rho _{S}}{Tr(M(i)\rho _{S})}}$ 表示。

我们可以得出结论，测量结果的概率仅取决于 $\rho _{S}$ 。不同的状态混合物，只要它们确定了相同的 $\rho _{S}$ ，就无法通过观测来区分。

测量 $i$ 后观察到的系统的最终状态，是相对于测量仪器的最终状态 ${\frac {\sum _{mk}p_{m}p_{k}Tr_{S}(|\phi (i,m,k)\rangle \langle \phi (i,m,k)|)}{Tr[\sum _{mk}p_{m}p_{k}Tr_{S}(|\phi (i,m,k)\rangle \langle \phi (i,m,k)|)]}}$ 的相对状态（以埃弗雷特的意义）。

广义玻恩规则展示了如何将关于理想测量的主定理（多重命运存在定理、测量结果概率计算、状态矢量的表观坍缩）推广到所有测量过程。

广义玻恩规则的证明

$Tr_{A}(|\phi (i,m,k)\rangle \langle \phi (i,m,k)|)=Tr_{A}(\sum _{ljl'j'}\alpha (m,k)_{lij}\alpha ^{*}(m,k)_{l'ij'}|l\rangle _{S}|i,j\rangle _{A}\langle l'|_{S}\langle i',j'|_{A}$

$=\sum _{ljl'}\alpha (m,k)_{lij}\alpha ^{*}(m,k)_{l'ij}|l\rangle _{S}\langle l'|_{S}$

因此

$Tr(M(i)\rho _{S})=\sum _{ljkm}p_{m}p_{k}|\alpha (m,k)_{lij}|^{2}$

玻恩规则允许我们得出结论，获得结果 $i$ 的概率为 $Pr(i)$ 。

测量完成后，SA 系统处于以下状态的混合状态： ${\frac {|\phi (i,m,k)\rangle }{||\phi (i,m,k)\rangle |}}$ ，其概率为 $Pr(i,m,k)=||\phi (i,m,k)\rangle |^{2}p_{m}p_{k}$ ，对所有 $i$ 、 $m$ 和 $k$ 值都适用。

已知结果为 $i$ 时，SA 系统处于以下状态的混合状态： ${\frac {|\phi (i,m,k)\rangle }{||\phi (i,m,k)\rangle |}}$ ，其概率为 ${\frac {Pr(i,m,k)}{Pr(i)}}={\frac {||\phi (i,m,k)\rangle |^{2}p_{m}p_{k}}{Tr(M(i)\rho _{S})}}$ ，对所有 $m$ 和 $k$ 值都适用。因此，它由以下密度算符表示。

$\rho _{SA}^{f}=\sum _{m,k}{\frac {p_{m}p_{k}}{Tr(M(i)\rho _{S})}}|\phi (i,m,k)\rangle \langle \phi (i,m,k)|$

因此，观测系统SA的密度算符为： $\rho _{S}^{f}$

$\rho _{S}^{f}=Tr_{A}(\rho _{SA}^{f})={\frac {\sum _{mk}p_{m}p_{k}Tr_{A}(|\phi (i,m,k)\rangle \langle \phi (i,m,k)|)}{Tr(M(i)\rho _{S})}}={\frac {M(i)\rho _{S}}{Tr(M(i)\rho _{S})}}$

指针状态和环境压力的选择

量子物理学没有先验地对物质系统的希尔伯特空间强加任何特定的状态基底。任何基底都可以起作用。不存在基本状态，其他状态可以通过叠加获得。特别是， $|0\rangle$ 和 $|1\rangle$ 作为叠加态，与 ${\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle +|1\rangle )=|x^{+}\rangle$ 和 ${\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle -|1\rangle )=|x^{-}\rangle$ 一样，因为 $|0\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|x^{+}\rangle +|x^{-}\rangle )$ 和 $|1\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|x^{+}\rangle -|x^{-}\rangle )$ .

测量算符和超算符的形式主义并没有先验地强加任何指针态的基础。对于任何指针态的基础 $|i\rangle _{A}$ ，以及任何初始态 $|ready\rangle _{A}$ ，我们可以定义测量算符 $M(i)$ 。对于 $H_{A}$ 的任何分解为相互正交的子空间 $H(i)_{A}$ ，以及任何表示初始态的密度算符，测量超算符 $M(i)$ 就可以被定义。

但是，测量结果的叠加不是测量结果。是什么迫使我们选择一个指针态的基础而不是另一个基础，而另一个基础是通过前一个基础的叠加获得的？（Zurek 1981）

如果测量装置是宏观的，那么选择指针态或指针子空间自然而然是必要的，因为非定域的宏观态非常脆弱（参见 4.18）并且通常不可观测。为了使测量提供确定的结果，该结果必须具有最小的持续时间，至少是将结果保存到硬盘、纸张或仅仅是我们记忆中的时间。如果测量结果在获得后立即被破坏，而没有被记录下来，那么它就不是结果。这就是为什么宏观仪器的指针态始终或几乎始终是定域态，而指针子空间只包含定域态。除非环境对相干性的破坏足够低，使得对非定域宏观态的观测成为可能，否则没有其他选择。

微观探针的指针态

光子，更一般地说，任何粒子或分子，都可以被视为测量装置，即微观探针。在这种情况下，环境对相干性的破坏不发生作用，或者作用很小。那么指针态的基础是什么？它可能先验地是任意的。只要这些指针态是可观测的，即它们本身是被另一个测量装置所指向的态，那么微观探针就可以充当观测仪器。然而，存在一个标准，它有时足以选择正确的指针态基础：我们希望观察者系统的状态能够为我们提供尽可能多的关于被观察系统的的信息。

例如，在 CNOT 门中，如果我们希望目标量子比特能够为我们提供关于控制量子比特的最佳信息，那么需要 { $|0\rangle ,|1\rangle$ } 基础。我们还必须选择 $|0\rangle$ 或 $|1\rangle$ 作为目标量子比特的初始态。任何其他选择指针态的基础或其初始态都会阻止目标量子比特实现理想的测量。特别地，如果我们选择 { $|x^{+}\rangle ,|x^{-}\rangle$ } 作为指针态的基础，那么目标量子比特就无法提供关于控制量子比特的任何信息。

一般来说，当一个相互作用使理想的测量成为可能时，只有一个指针态基础，在这种基础上测量是理想的。任何其他选择指针态的基础都会通过阻止测量成为理想的而妨碍观测。

被观测系统和测量装置之间的相互作用有时足以选择一个优选的指针态基础。但并非总是如此。对于 SWAP 相互作用，任何指针态基础的选择先验地都与其他选择一样好。

观测仪器设计中的双重约束

由于所有物质存在都与其他物质存在相互作用，因此它们都可以被视为观测仪器，并用于此目的。但是，当我们设计测量仪器时，我们希望优化其操作。然后，有两个约束条件指导我们：当然，观测仪器必须以最佳方式收集关于被观测系统的所需信息，但也必须确保我们能够访问收集到的信息，并且在我们将其清除之前能够记录它。被观测系统和观测仪器之间的相互作用使后者能够获得关于前者的信息。由此获得的信息的可访问性取决于观测仪器与其环境之间的相互作用。这两个约束条件共同决定了指针状态基础的选择。如果它们不能同时得到满足，那么就没有好的观测仪器。

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