观测的量子理论/测量实例

用马赫-曾德尔干涉仪观测量子叠加

马赫-曾德尔干涉仪

这个经典实验是最简单的一种实际观测量子叠加的实验。

一束光遇到第一个平衡的束分束器，将它分成透射光束和反射光束。在这两束光的路径上，放置镜子，使它们在第二个束分束器上相遇。在第二个平板透射和反射的光束路径上，放置光子探测器。

对束分束器的极简模型是，将入射光子分配给两个量子态$|0\rangle$ 和 $|1\rangle$，对应于它可能遇到束分束器的两个垂直方向。如果透射，它保持其方向并保持在同一状态。如果它被反射，它会切换到另一个状态。当然，这是一个非常简化的模型，但足以解释实验。

用这种简化，平衡的束分束器可以用哈达玛门来描述。它是一个由以下定义的单量子位门

$H|0\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle +|1\rangle )$

$H|1\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle -|1\rangle )$

在两个束分束器之间，光子的演化用简单的相移来描述，相移取决于所遵循路径的长度

$U_{int}|0\rangle =e^{i\delta _{0}}|0\rangle$

$U_{int}|1\rangle =e^{i\delta _{1}}|1\rangle$

因此，光子在干涉仪中的传播由算符描述

$U_{MZ}=HU_{int}H$

如果 $|0\rangle$ 是光子的初始状态，它离开第二个束分束器时的状态为

$U_{MZ}|0\rangle ={\frac {1}{2}}[(e^{i\delta _{0}}+e^{i\delta _{1}})|0\rangle +(e^{i\delta _{0}}-e^{i\delta _{1}})|1\rangle ]$

如果 $\delta _{0}$ 和 $\delta _{1}$ 之间的差是 $\pi$ 的倍数，那么光子的输出路径始终相同。因此可以确定地预测它将遇到哪个探测器。这个结论令人惊讶，因为它迫使我们假设光子同时沿着两块板之间的两条中间路径传播。如果它只走其中一条路径，就无法预测它的输出路径。

因此，由分束器先行的探测器能够探测到量子叠加。在马赫-曾德尔实验中，一个探测器探测到处于 ${\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle +|1\rangle )$ 态的光子，另一个探测器探测到处于 ${\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle -|1\rangle )$ 态的光子。这种探测不是理想的测量，因为光子在被探测时会湮灭。

在马赫-曾德尔干涉仪中，第一个分束器将光子制备成非局域化的量子叠加态，第二个分束器后面跟着一个探测器，使我们能够观察到这种叠加态。

当光学路径相等时，我们可以忽略 $U_{int}$ 的影响。

$U_{MZ}=H^{2}=Id$

哈达玛德门是它自身的逆，概括了马赫-曾德尔干涉测量法的原理。

理想测量：CNOT 门

CNOT 门是一个量子门（Nielsen & Chuang 2010），具有由以下演化算子确定的两个量子位

$CNOT|00\rangle =|00\rangle$

$CNOT|01\rangle =|01\rangle$

$CNOT|10\rangle =|11\rangle$

$CNOT|11\rangle =|10\rangle$

第二个量子位的状态变化受第一个量子位的状态控制。这就是它们被称为目标量子位和控制量子位的原因。

$|00\rangle$ 是 $|0\rangle \otimes |0\rangle$ 的简写形式。

如果目标量子位的初始状态是$|0\rangle$ 或 $|1\rangle$（但不是这两个的叠加），则CNOT门通过目标量子位对控制量子位进行理想测量。CNOT门的目标量子位是最简单的量子探测器示例。指针状态是目标量子位的$|0\rangle$ 和 $|1\rangle$ 状态。测量结果是 $0$ 和 $1$。如果探测器的初始状态是$|ready\rangle =|0\rangle$，则与结果$i$相关的被探测量子位的本征态是 $|i\rangle$.

非理想测量：SWAP门

SWAP门是一个由以下演化算子决定的具有两个量子位的量子门

$SWAP|00\rangle =|00\rangle$

$SWAP|01\rangle =|10\rangle$

$SWAP|10\rangle =|01\rangle$

$SWAP|11\rangle =|11\rangle$

每个量子位都处于另一个量子位的态。因此，每个量子位都对另一个量子位敏感。这就是为什么SWAP门可以被解释为一个量子位对另一个量子位的量子测量。例如，第二个量子位可以被解释为一个探测器，我们为其选择了初始态$|ready\rangle =|0\rangle$，以及指针态$|0\rangle$ 和 $|1\rangle$。测量结果是 $0$ 和 $1$，它们分别具有作为特征态的态$|0\rangle$ 和 $|1\rangle$，它们对应于第一个量子位的态。如果该量子位的初始态为$\alpha |0\rangle +\beta |1\rangle$，则测量后的最终态为

$SWAP(\alpha |0\rangle +\beta |1\rangle )|ready\rangle =SWAP(\alpha |00\rangle +\beta |10\rangle )=\alpha |00\rangle +\beta |01\rangle )$

SWAP门不是一个理想的测量，因为观察系统的特征态之一会受到测量的干扰。

量子门的实验实现

原子与腔的相互作用使我们能够构建量子门。

可以用原子制造量子位。例如，态$|0\rangle _{A}$ 被定义为原子处于基态或激发态的态$|g\rangle _{A}$，而$|1\rangle _{A}$ 是另一个激发态$|e\rangle _{A}$。类似地，腔可以被用作量子位。态$|0\rangle _{C}$ 是其没有光子的状态，态$|1\rangle _{C}$ 是其包含一个光子的状态。如果原子以交换能量的方式穿过腔，则可以得到以下相互作用 (Haroche & Raimond, 2006, p.282)

$U|0\rangle _{C}|0\rangle _{A}=|0\rangle _{C}|0\rangle _{A}$

$U|0\rangle _{C}|1\rangle _{A}=|1\rangle _{C}|0\rangle _{A}$

$U|1\rangle _{C}|0\rangle _{A}=-|0\rangle _{C}|1\rangle _{A}$

$U|1\rangle _{C}|1\rangle _{A}=|1\rangle _{C}|1\rangle _{A}$

它并非SWAP门，但看起来很像。例如，

$U|0\rangle _{C}(\alpha |0\rangle _{A}+\beta |1\rangle _{A})=(\alpha |0\rangle _{C}+\beta |1\rangle _{C})|0\rangle _{A}$

$U(\alpha |0\rangle _{C}+\beta |1\rangle _{C})|1\rangle _{A}=|1\rangle _{C}(\alpha |0\rangle _{A}+\beta |1\rangle _{A})$

能量的交换也可能导致状态变化

$U|1\rangle _{C}(\alpha |0\rangle _{A}+\beta |1\rangle _{A})=(-\alpha |0\rangle _{C}+\beta |1\rangle _{C})|1\rangle _{A}$

$U(\alpha |0\rangle _{C}+\beta |1\rangle _{C})|0\rangle _{A}=|0\rangle _{C}(\alpha |0\rangle _{A}-\beta |1\rangle _{A})$

通过修改实验参数，并引入原子的另一个激发态$|i\rangle _{A}$，也可以安排原子穿过腔体的过程，用以下公式描述（第 320-322 页）

$U'|0\rangle _{C}|g\rangle _{A}=|0\rangle _{C}|g\rangle _{A}$

$U'|0\rangle _{C}|i\rangle _{A}=|0\rangle _{C}|i\rangle _{A}$

$U'|1\rangle _{C}|g\rangle _{A}=-|1\rangle _{C}|g\rangle _{A}$

$U'|1\rangle _{C}|i\rangle _{A}=|1\rangle _{C}|i\rangle _{A}$

如果我们重新定义状态 $|0\rangle _{A}$ 和 $|1\rangle _{A}$ 为

$|0\rangle _{A}={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|g\rangle _{A}+|i\rangle _{A})$

$|1\rangle _{A}={\frac {1}{\sqrt {2}}}(-|g\rangle _{A}+|i\rangle _{A})$

那么上面提到的 $U'$ 算符决定了一个 CNOT 门，其中腔是控制量子比特，原子是目标量子比特。通过这种方式，人们能够在不破坏光子的情况下检测到光子。

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