观察的量子理论/基本概念和原理

量子物理学原理

四个原理（狄拉克1930年，冯·诺依曼1932年，科恩-塔努吉、迪乌与拉洛埃1973年，温伯格2012年）就足够了

• 量子系统的状态空间是一个复希尔伯特空间，即配备了标量积并对该积定义的范数完备的复向量空间（参见1.1）。

• 孤立系统在两个时刻之间的演化由酉算符决定。

• 复合系统的状态空间是其各部分空间的张量积。

• 最后一个原理，玻恩规则，说明了如何从被观察系统的状态向量计算测量结果的概率。它将在下面解释（参见2.4）。它赋予了希尔伯特空间中的标量积以物理意义（参见2.6）。

演化假设已经以其积分形式被表述。在其微分形式中，它是薛定谔方程，$i\hbar {\frac {d}{dt}}|\psi \rangle =H|\psi \rangle$。本书将不会使用它，因为积分形式更适合于观察理论。

第三个原理可以被视为第一个原理的推论。它不是严格的逻辑推论，但是一旦我们接受了第一个原理，并且我们认为一个系统可以由可能处于不同状态的各个部分组成，我们就不得不接受第三个原理。

第一个原理以其当前的略微不正确的形式被表述。更准确地说，它指出物理状态必须用希尔伯特空间中的射线 - 线性相关的向量子空间 - 来识别，或者，如果计算概率，用这种射线的单位向量集来识别。因此，零向量，其长度为零，不是状态向量。在实践中，向量和射线之间的差异不会在识别量子态方面带来困难。

在第一个原理中，完备性条款对于对无限维状态空间进行推理是必要的。通常，基态的可数性条款会被添加。当我们根据本书，在有限维复向量空间上进行推理时，这些条款是不必要的，因为它们始终是完备的。

这些原理中经常添加的是，物理量必须用可观测量来表示，也就是说，用被观察系统状态空间上的厄米算符来表示（参见5.2）。这种添加不是必要的（Zeh，在 Joos、Zeh &... 2003）。

另一个原理，状态向量（或波函数）坍缩假设，通常被认为是一个量子原理。它与酉演化原理和薛定谔方程相矛盾。因此，它不可能成为量子物理学的一部分，否则理论就会自相矛盾。然而，这种假设通常被认为是赋予量子数学以物理意义所必需的，但埃弗里特（1957）表明它不是（参见4.4和4.5）。

理想测量

测量由测量装置的状态基底决定：$|i\rangle _{A}$ 是指针态。 $i$ 索引测量可能的結果。当测量是理想的（冯·诺依曼1932）时，存在被观察系统的状态的正交规范基底$|i,j\rangle _{S}$，使得被检测系统与探测器之间的相互作用由以下描述：

$U|i,j\rangle _{S}|ready\rangle _{A}=|i,j\rangle _{S}|i\rangle _{A}$

对于所有 $i$ 和 $j$，其中 $U$ 是从初始时间（测量之前）到最终时间（测量完成）的演化算符，$|ready\rangle _{A}$ 是探测器的初始状态，$|i,j\rangle _{S}$ 是与结果 $i$ 相关的本征态。 $j$ 为与相同结果相关的本征态编制索引。

测量结果的本征态是指观察结果一定导致该结果的那些状态。当测量是理想的，并且仅在这种情况下，如果观察到的系统处于本征态，则它将保持在相同状态，它不会受到测量过程的干扰。

当单个本征态与测量结果相关联时，可以说它被测量检测到或指向。

$|i,j\rangle _{S}|ready\rangle _{A}$ 是 $|i,j\rangle _{S}\otimes |ready\rangle _{A}$ 的简写形式，其中 $\otimes$ 表示两个向量的张量积（参见 1.7）。

多重命运存在定理

根据幺正演化原理，如果观察到的系统的初始状态是 $\sum _{ij}\alpha _{ij}|i,j\rangle _{S}$，则测量后的最终状态必须是

$U(\sum _{ij}\alpha _{ij}|i,j\rangle _{S})|ready\rangle _{A}=\sum _{ij}\alpha _{ij}U|i,j\rangle _{S}|ready\rangle _{A}=\sum _{ij}\alpha _{ij}|i,j\rangle _{S}|i\rangle _{A}$

不同测量结果对应不同的$|i\rangle _{A}$。因此，$\sum _{ij}\alpha _{ij}|i,j\rangle _{S}|i\rangle _{A}$ 是测量结果的叠加。

因此，量子测量基本定理直接从量子物理学原理中得出：如果被观察系统最初处于测量本征态的叠加态，则整个系统（被观察系统加上测量装置）处于测量结果的叠加态。

这个定理非常令人惊讶。在测量结束时，观察到一个单一的结果$|i\rangle _{A}$。测量结果的叠加不是测量结果。我们如何理解量子物理学预测了$\sum _{ij}\alpha _{ij}|i,j\rangle _{S}|i\rangle _{A}$ 的存在？

休·埃弗雷特三世 (1957) 提出了以下答案

$\sum _{ij}\alpha _{ij}|i,j\rangle _{S}|i\rangle _{A}$ 描述了观察者命运的叠加。观察者获得单个测量结果，因为他只知道自己的一种命运。其他的测量结果也得到了，但在观察者的其他命运中。量子物理学描述了一个宇宙，其中生物有无数的命运。观察者所知的这个世界只是量子现实中的一小部分，无数命运中的一种。因此，量子测量基本定理也可以称为多重命运存在定理。它是量子物理学原理的直接结果。它是在理想测量的特定情况下提出的，但对所有形式的量子测量仍然有效。要否认它，就必须否认量子物理学正确地描述了现实。可能有一种新的物理学超越了量子物理学，并证明了这些其他命运并不存在，但到目前为止，量子物理学始终证明了其有效性。没有任何实验结果曾经反驳过它。

多重命运存在定理是可以经验验证的，但验证方式非常有限。我们将在后面关于量子纠缠的章节中展示，观察者不能观察到他的其他命运，但第二个观察者原则上可以观察到。原则上可以通过“薛定谔的猫”类型的实验来观察到，在观察之后，观察系统有多种命运。但这一结论仅限于可逆的观察过程，因为观察会破坏信息。由于生命过程是不可逆的，因此无法观察到一个生命体多重命运的同时存在。

观察对信息的破坏

对量子态叠加的观察必然会破坏每个叠加态所携带的信息。

令$|P_{i}\rangle$ 为指针态的基底，$|ready\rangle$ 为测量装置的初始态，$|S_{j}\rangle$ 为被观察系统的态基底，$U$ 为测量的演化算符。为了观察叠加态$\sum _{j}\alpha _{j}|S_{j}\rangle$，应该存在一个指针态$|P_{n}\rangle$ 使得

$U(\sum _{j}\alpha _{j}|S_{j}\rangle |ready\rangle )=|X\rangle |P_{n}\rangle$

其中 $|X\rangle$ 是被观测系统的状态。

如果观测不破坏每个 $|S_{j}\rangle$ 所携带的信息，那么必须有可能根据测量后的状态来了解测量前的被观测系统的状态，所以我们必须有状态 $|S'_{j}\rangle$，它们彼此正交，使得

$U(|S_{j}\rangle |ready\rangle )=|S'_{j}\rangle |Y_{j}\rangle$ 对于每个 $j$，其中 $|Y_{j}\rangle$ 是测量装置的状态。

这两个条件意味着所有 $|Y_{j}\rangle$ 必须等于 $|P_{n}\rangle$。这意味着测量装置没有测量任何东西，因为它只从 $|ready\rangle$ 跳转到 $|P_{n}\rangle$，无论被观测系统处于何种状态。因此，观测状态叠加的测量装置必然会破坏这些状态所携带的信息。这个简单的定理可以扩展到测量装置的更现实模型，其中初始状态和指针状态处于统计系综中。

这个定理表明了多重命运存在定理在经验上可验证的条件。如果测量是不可逆的，如果收集的信息无法擦除，那么量子叠加将无法被观测到。由于有意识的命运是不可逆信息获取的连续过程（做过的事情无法撤销，过去无法擦除，获得的信息无法破坏），因此它们的叠加无法被观测到。但这并不禁止用可逆测量验证多重命运存在定理。我们可以在微观测量系统上验证它，例如原子、囚禁光子或离子。量子计算机是一种验证构成它的量子比特的多重命运存在的方法。

玻恩规则

叠加态$\sum _{ij}\alpha _{ij}|i,j\rangle _{S}|i\rangle _{A}$ 中的复数$\alpha _{ij}$ 被认为是概率幅。观察到结果$i$ 的概率是$\sum _{j}|\alpha _{ij}|^{2}$。这可以被认为是一个原则

如果被观察系统的初始状态是$|\psi \rangle =\sum _{ij}\alpha _{ij}|i,j\rangle _{S}$，其中$|i,j\rangle _{S}$ 是测量本征态的正交归一基，那么结果$i$ 的概率是$\sum _{j}|\alpha _{ij}|^{2}$。

为了应用这条规则，$|\psi \rangle$ 必须是归一化的：$\sum _{ij}|\alpha _{ij}|^{2}=1$。

人们可以尝试从前三个原则中证明第四个原则（埃弗雷特 1957，祖雷克 2003 ...）。这些证明是有争议的，这里不讨论。

玻恩规则只适用于理想测量。将证明它可以推广到所有形式的测量（参见 5.1 和 5.3）。

我们能观察量子态吗？

为了观察，观察系统（探测器、测量仪器）在测量后的状态必须提供测量前被观察系统状态的信息。如果能够从测量结果中准确推断出被检测系统的状态，那么观察就是完美的。量子测量永远不会是完美的。如果被检测系统的初始状态事先未知，那么探测器的最终状态永远不足以知道被检测系统的状态，因为被检测系统的许多不同状态可以导致相同的结果。只要它们有非零概率产生这个结果就足够了。观察提供的唯一信息是被观察系统的状态没有零概率产生这个结果。如果结果$i$ 已经获得，我们唯一知道的关于被观察系统初始状态$\sum _{ij}\alpha _{ij}|i,j\rangle _{S}$ 的信息是$\sum _{j}|\alpha _{ij}|^{2}>0$

那么我们如何才能知道量子系统的状态向量呢？

自然自发产生的未知系统的量子态是无法检测的。另一方面，物质系统可以被制备成处于单一量子态。如果存在一个其本征态是唯一的测量结果，那么就可以验证该量子态确实存在。只需多次重复制备，并验证每次都得到相同的测量结果。

仅凭观察不足以了解量子态。需要对物质进行操作，将其制备成想要观察的态。

理想测量是制备态的一种方式，当测量结果每个都具有单一本征态时。如果测量的结果是 $i$，那么就可以确定地知道观察到的系统状态是 $|i\rangle _{S}$，在测量之后立即。这可以通过对刚制备的系统重复测量来验证。

为了摆脱多重命运的存在定理，许多物理学家断言，状态向量只是用来计算概率的理论工具，它们并不真正代表现实（佩雷斯 1995）。但是，当观察到的系统被正确制备后，人们可以确定地知道它的状态向量，人们可以毫无疑问地进行检查。物理学家现在知道如何制备、操纵和观察他们想象的状态向量（例如，哈罗奇和雷蒙德 2006），这是否足以断言状态向量确实代表了观察到的系统的物理状态？

量子态的正交性和不完全可辨性

有时人们会不恰当地说，当一个物质存在于诸如 ${\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle +|1\rangle )$ 的状态叠加中时，它同时处于 $|0\rangle$ 和 $|1\rangle$ 态。例如，在评论杨氏实验时，人们会说光子同时穿过两个狭缝。这听起来很荒谬。如果光子在一个狭缝中，它不可能在另一个狭缝中。因此，说它同时处于两个狭缝中是一个矛盾。人们之所以说它穿过两个狭缝，只是为了说明，如果要检测它的通过，人们会发现它在一个狭缝或另一个狭缝中。但它永远不会同时出现在两个狭缝中。

如果一个存在处于 $|0\rangle$ 态，它就不处于 $|1\rangle$ 态，反之亦然。当它处于 ${\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle +|1\rangle )$ 态时，它既不处于 $|0\rangle$ 态，也不处于 $|1\rangle$ 态，而是在第三种状态中，不同于前两种（格里菲斯 2004）。

如果一个实体处于状态 $|0\rangle$，它在准备状态 $|1\rangle$ 后无法立即检测到，因为 $|0\rangle$ 和 $|1\rangle$ 是正交的，即它们的标量积 $\langle 1|0\rangle$ 为零。另一方面，如果一个实体处于状态 ${\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle +|1\rangle )$，则以二分之一的概率检测到它处于状态 $|0\rangle$，同样也以二分之一的概率检测到它处于状态 $|1\rangle$，因为 $\left|\langle 0|{\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle +|1\rangle )\right|^{2}=\left|{\frac {1}{\sqrt {2}}}\langle 0|0\rangle \right|^{2}={\frac {1}{2}}$。当两个状态正交时，它们是完全可区分的，因为它们可以都是同一个测量仪器的本征态。当它们不正交时，它们的差异部分模糊，尤其是当它们的标量积接近 1 时。它们不是完全可区分的，因为无法进行测量以区分它们，因为它们不能是同一测量仪器的本征态，而这些测量仪器与不同的值相关联。

有时人们会说，$|\langle \phi |\psi \rangle |^{2}$ 是一个处于状态 $|\psi \rangle$ 的实体处于状态 $|\phi \rangle$ 的概率。这听起来很荒谬，因为如果 $|\psi \rangle$ 和 $|\phi \rangle$ 不同，一个实体不可能同时处于两种状态。但是，如果我们宽容地理解这句话，我们就会明白它仅仅意味着，一个处于状态 $|\psi \rangle$ 的实体被检测到处于状态 $|\phi \rangle$ 的概率为 $|\langle \phi |\psi \rangle |^{2}$。这就是为什么我们倾向于说，如果 $|\phi \rangle$ 与 $|\psi \rangle$ 不正交，处于状态 $|\psi \rangle$ 的实体部分处于状态 $|\phi \rangle$。

量子测量的不可兼容性

如果 $|0\rangle$ 和 $|1\rangle$ 是某个测量的本征态，那么它们可以被认为是被观测到的或指向的状态。另一方面，$|0\rangle$ 和 $|1\rangle$ 的叠加态不是可以通过这种测量观测到的状态。

设$|x^{+}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle +|1\rangle )$ 和 $|x^{-}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle -|1\rangle )$ 是两个新的基向量（名称 $x^{+}$ 和 $x^{-}$ 来自自旋 1/2 理论）。

$|x^{+}\rangle$ 和 $|x^{-}\rangle$ 也可以是测量值的本征态，因此是这种测量观测到的状态。另一方面，{$0,1$} 和 {$|x^{+}\rangle$ , $|x^{-}\rangle$} 是不相容的。观测系统不存在像 $|0x^{+}\rangle$ 这样的状态，因为没有量子态是两种测量的本征态。如果对系统进行连续两次测量，每次都会得到随机的结果。无法使观测系统处于一种状态，使其在两次连续测量中都能得到确定的结果。如果第一次测量的结果是确定的，那么第二次测量就无法确定。

当两个测量具有共同的本征态基底时，它们被称为相容的。如果它们是理想测量，它们就不会互相干扰。其中一个测量可以在另一个测量之前进行，而不会影响另一个测量的结果。

不相容测量的存在是量子叠加原理的直接结果。它是一种典型的量子效应，在经典物理学中没有等效的现象。

当观测系统处于 $|0\rangle$ 状态时，关于 $x^{+}$ 和 $x^{-}$ 的现实性可以说什么？

由于 $|0\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|x^{+}\rangle +|x^{-}\rangle )$，系统处于 $x^{+}$ 和 $x^{-}$ 的叠加状态。两者都不是真实的。只有它们的叠加才是真实的。

海森堡证明了量子粒子的位置和动量测量是不相容的（海森堡 1930）。它们只能互相干扰。因此，不可能将精确定义的位置和动量同时归因于同一个粒子。这种不相容性用 $\Delta x\Delta p\geq \hbar$ 的关系来表示，其中 $\Delta x$ 是位置测量的非确定性，$\Delta p$ 是动量测量的非确定性，而 $\hbar$ 是普朗克常数 $h$ 除以 $2\pi$。如果这个关系不成立，那么任何量子态都不能是两种测量的本征态。

必须将其称为海森堡的不确定性关系，而不是不确定性关系，因为后者暗示我们不知道粒子的位置和动量，但它们是可以知道的。为了存在不确定性，必须有我们不知道的东西。但量子测量的不相容性并不意味着存在我们观察到的以外的东西。相反，它说明不存在位置和动量被精确定义的真实状态。这些状态是无法观测的，因为它们不存在。海森堡的关系不是源于我们的无知或不确定性，而是源于现实的非确定性。量子态不能同时成为所有可能测量的本征态，这是因为它们不相容。

不确定性和密度算符

密度算符 $\rho$ 用于描述系统量子态未知或不确定的情况。它由一组状态 $|j\rangle$ 定义，这些状态被假定为归一化的，但不必正交，每个状态都分配一个概率 $p_{j}$。根据定义 $\rho =\sum _{j}p_{j}|j\rangle \langle j|$，其中 $|j\rangle \langle j|$ 是状态 $|j\rangle$ 上的正交投影。

如果 $|j\rangle$ 是正交的，那么 $p_{j}$ 是 $|j\rangle$ 在 $\rho$ 中的权重。为了方便描述，我们可以说 $p_{j}$ 是状态 $|j\rangle$ 的存在密度。

我们称 $\rho$ 描述了一个状态混合物，或称为混合态。同一个密度算符可以由不同的混合物定义，但我们将在后面 (4.3) 证明，这些混合物是无法通过观测来区分的。密度算符包含了对观察到的系统状态的所有可用信息。

如果所有 $p_{j}$ 都等于零，除了 $p_{0}=1$，那么状态向量 $|0\rangle$ 是已知的，并且是精确的。此时，系统被称为处于纯态。在这种情况下 $\rho =|0\rangle \langle 0|$。因此，密度算符的形式主义可以应用于混合态和纯态。

密度算符的迹总是等于1

$Tr(\rho )=Tr(\sum _{j}p_{j}|j\rangle \langle j|)=\sum _{j}p_{j}Tr(|j\rangle \langle j|)=\sum _{j}p_{j}=1$

如果一个系统处于混合态$\rho$，则检测到纯态$|\psi \rangle$ 的概率为$Tr(\rho |\psi \rangle \langle \psi |)$。

证明：$Tr(\rho |\psi \rangle \langle \psi |)=Tr(\sum _{j}p_{j}|j\rangle \langle j|\psi \rangle \langle \psi |)=\sum _{j}p_{j}\langle j|\psi \rangle Tr(|j\rangle \langle \psi |)=\sum _{j}p_{j}|\langle j|\psi \rangle |^{2}$

密度算符决定了所有量子态检测概率，因此也决定了所有可能测量结果的概率。从这个意义上说，它完全决定了系统的物理状态。

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