量子观测理论/量子理论入门

本章针对初学者。对于已经了解一些量子物理的读者，可以跳过本章。

伟大原理：量子叠加的存在

量子物理可以用一个伟大的原理来概括，那就是态叠加原理，它的含义很难理解。

任何可以处于状态 $|1\rangle$ 和 $|2\rangle$ 的物理系统也可以处于状态 $\alpha |1\rangle +\beta |2\rangle$ ，其中 $\alpha$ 和 $\beta$ 是任何复数。

同一个原理可以用等价的方式表达

任何物理系统的状态空间都是一个复向量空间。

据我们所知，叠加原理的有效性没有限制：任何物理系统。量子系统（遵守叠加原理）和经典系统（不遵守叠加原理）之间没有界限。所有已知的系统从根本上来说都是量子系统，因为它们都是由量子粒子组成的。

量子叠加的普遍有效性有一些疯狂之处。假设 $|1\rangle$ 和 $|2\rangle$ 是月球在两个不同位置的状态。如果月球处于状态 ${\frac {1}{\sqrt {2}}}(|1\rangle +|2\rangle$)，它似乎同时出现在两个不同的地方。这应该是一个普遍现象。在量子叠加中，任何系统都可以同时出现在任意多个地方。唐璜能以量子方式增加他的风流韵事吗？

叠加原理不能直接简单地应用于唐璜的例子，但原因很难理解。为什么月球在它轨道上的特定位置？为什么它没有均匀地分布在天空？ (参见 4.6、4.18 和 4.19) 这就是所谓的薛定谔猫问题：猫能同时活着和死去吗？ (薛定谔 1935)

叠加原理的普遍有效性可以用许多例子来解释：波粒二象性和光偏振是它的直接应用。依赖于叠加原理的物理解释数量非常多：基本粒子的性质、原子、分子和材料的稳定性、放射性、金属、半导体和绝缘材料的存在、超导、超流、激光等等。叠加原理用统一的方式解释了所有这些不同的现象。

波粒二象性

光是粒子流还是波动现象？光线可以是粒子轨迹，牛顿在他的《光学》中就是这样认为的。那么，光在镜子上的反射可以用光粒子或光子像弹球一样的假设来解释。然而，惠更斯认为，这种现象以及其他现象可以用光线垂直于波前的假设来更好地解释。

摄影证明了光粒子的存在，因为光留下的痕迹总是像粒子撞击一样。

但是，如果光是由粒子组成的，我们如何解释像杨氏和菲涅耳发现的干涉图样？干涉总是波之间的干涉。似乎粒子之间不可能有任何干涉。干涉图样是光是一种波动现象的实验证据。它被麦克斯韦的电磁理论所证实，该理论将光定义为电磁波。

光是由粒子组成的这一事实并不与干涉图样的存在相矛盾。以下是当我们观察干涉图样在照相板上是如何出现时，我们能看到的

• 
  用电子进行的真实的双缝实验。单个粒子出现在探测器上，慢慢地形成干涉图样。
• 
  模拟的双缝实验。

波动现象，即干涉，是由粒子的撞击引起的。

叠加原理对波粒二象性给出了非常直接的解释。任何物理系统都是一个粒子或一个粒子系统，但这些粒子有时表现得像波一样，因为它们可以同时出现在多个地方。粒子的波决定了它扩散的存在。

例如，粒子的状态可以是一个波包

这个孤立的小波代表粒子的运动。粒子只能在其波不为零的地方被探测到，即在彩色区域。

因为它的状态用波来识别，所以粒子可以与其自身发生干涉。

这就是为什么用粒子可以得到干涉图样。

1923年，德布罗意将光的波粒二象性推广到电子。用这个假设，他证实了玻尔的原子行星模型的约束条件，并得到了氢光谱实验的证据支持。德布罗意的假设后来在1927年被电子干涉图案（戴维森和革末）所证实。1925年，薛定谔发现了一个原子模型的波动方程，海森堡发现了矩阵方程，泡利将其应用于同一个模型，所有这些都为氢光谱提供了新的理论解释。狄拉克随后证明了海森堡和薛定谔的形式主义是等价的——或者几乎等价的——并从这些形式主义中给出了量子力学的一般原理（狄拉克，1930）。在这些基础上，以叠加原理为首，所有量子物理都可以发展起来。

光的偏振

关于光偏振的实验可以很便宜、简单，并能直接解释主要的量子原理。

引入滤光片可以提高透明度。这可以被称为反滤光片。

这个实验可以用一个简化的模型来解释。光子的状态空间是一个二维复向量空间。 $|\leftrightarrow \rangle$ 和 $|\updownarrow \rangle$ 是这个空间的两个基向量。这两个偏振状态具有明确的实验意义。普通光不是偏振光，也就是说，所有光子都可以处于不同的偏振状态。但是，通过偏振片透过的光——比如太阳镜——总是偏振光，也就是说，所有光子都处于相同的偏振状态。如果偏振片以某个确定的方向定向，那么透过的光子都处于状态 $|\leftrightarrow \rangle$。如果旋转 90 度，那么透过的光子都处于状态 $|\updownarrow \rangle$。如果旋转 45 度，那么透过的光子都处于状态 ${\frac {1}{\sqrt {2}}}(|\leftrightarrow \rangle +|\updownarrow \rangle )$.

$|\leftrightarrow \rangle$ 和 $|\updownarrow \rangle$ 是正交状态。这里正交的意义不仅仅是几何的，也是量子力学的，也就是说，如果一个光子处于状态 $|\leftrightarrow \rangle$，它不可能被探测到状态 $|\updownarrow \rangle$，反之亦然。这意味着这里当两个垂直偏振片结合时，光不能透射，因为所有通过第一个偏振片透射的光都被第二个偏振片阻挡了。这可以在图中看到，其中黑色部分显示了两个垂直偏振片的结合。

$|\leftrightarrow \rangle$ 和 ${\frac {1}{\sqrt {2}}}(|\leftrightarrow \rangle +|\updownarrow \rangle )$ 不是正交的，$|\updownarrow \rangle$ 和 ${\frac {1}{\sqrt {2}}}(|\leftrightarrow \rangle +|\updownarrow \rangle )$ 也不正交。如果一个光子处于 $|\leftrightarrow \rangle$ 状态，它有 1/2 的概率被探测到 ${\frac {1}{\sqrt {2}}}(|\leftrightarrow \rangle +|\updownarrow \rangle )$ 状态，反之亦然。这个结果导致了反滤波器的存在。如果在两个垂直偏振器之间引入一个偏振器，角度为 45 度，那么通过第一个偏振器的所有光子都处于 $|\leftrightarrow \rangle$ 状态，其中一半 - 在理想的完美偏振器情况下 - 通过第二个，然后处于 ${\frac {1}{\sqrt {2}}}(|\leftrightarrow \rangle +|\updownarrow \rangle )$ 状态。这些后来的光子中的一半随后被第三个偏振器透射，也就是说，原始的 $|\leftrightarrow \rangle$ 光子的四分之一，而如果没有中间的“反滤波器”，则不会有光子被透射。这种反滤波器效应在图片中可以清楚地看到。

什么是复数？

为了构建复数，我们考虑平面中一个点 $O$ 的旋转。

我们称 $i$ 为逆时针方向旋转四分之一圈，数学家称之为直接旋转，因为这是惯例。

如果 $r_{1}$ 和 $r_{2}$ 是两个旋转，我们记 $r_{2}r_{1}$ 为先进行 $r_{1}$ 再进行 $r_{2}$ 所得到的旋转。 这是通常的约定，因为 $g(f(x))=(g\circ f)(x)=(gf)(x)$ 是 $x$ 先经 $f$ 旋转，再经 $g$ 旋转的图像。 我们记 $r^{2}=rr$

我们记 $1$ 为没有位移。 因此对于任何旋转 r，有 $r1=1r=r$。 半周旋转记为 $-1$ ，因为两个半周旋转等于一周，且 $(-1)(-1)=1$。 所以我们有 

$i^{2}=-1$

这仅仅意味着两个四分之一周旋转等于一个半周旋转。

由于普通数字的平方总是正数，所以无法将 $i$ 与它们中的任何一个等同。 但是，这并不妨碍我们将 $i$ 当作普通数字一样进行计算。 由于普通数字被称为实数，所以我们称 $i$ 为虚数。

为了完成构造，我们在旋转的基础上添加了放大和缩小，也就是称为“相似变换”的缩放操作。 以点 $O$ 为中心，比例因子为 $\rho$ 的相似变换，是以点 $O$ 为中心，比例因子为 $\rho$ 的缩放。 如果 $\rho >1$，则为放大；如果 $0\leq \rho <1$，则为缩小。 比例因子为 $1$ 的相似变换表示没有位移，因此它与数字 $1$ 相同。

相同中心的旋转和相似变换是可交换的。 这意味着一系列操作的结果与它们的顺序无关。 $z_{1}z_{2}=z_{2}z_{1}$ 对于所有 $z_{1}$ 和 $z_{2}$ 成立。 通过组合多个旋转和多个相似变换，最终结果与单个旋转和单个相似变换的结果相同。 这些平面变换的集合称为复数集合。 变换的复合定义了这些数字的乘积。

复数仅由两个实数决定。 一个是幅角，它是从 $0$ 到 $2\pi =1$ 旋转的旋转角 $=360$ 度。 另一个是模长，它是相似变换的比例因子，始终为正数。

对于以 $O$ 为中心的正交坐标系，令 $A$ 是坐标为 $(1,0)$ 的点。每个复数都可以通过它定义的平面变换与 $A$ 的图像相关联。通过这种方式，每个复数都与平面上唯一的点相关联，而平面上每个点都与唯一的复数相关联。也就是说，平面上的点与复数之间存在双射。因此，每个复数都可以通过它所关联的平面点的坐标来识别。例如，$1$ 与点 $A$ 相关联，因此它的坐标是 $(1,0)$，即 $i$ 的坐标是 $(0,1)$，复数 $0$ 的坐标是 $(0,0)$.

复数的第一个坐标称为实部，第二个称为虚部。实部为零的复数称为纯虚数。 $i$ 是纯虚数。

复数集可以通过定义坐标相加来配备加法运算。因此，我们有 $z=a+ib$ 表示一个实部为 $a$，虚部为 $b$ 的复数。

我们说，这样构造的复数集，配备加法和乘法运算，构成一个域。这仅仅意味着可以用复数进行计算，就像用普通数一样。

从复指数的定义出发，可以证明模为 $\rho$，辐角为 $\phi$ 的复数等于 $\rho e^{i\phi }$，因此我们有

$e^{i\phi }=cos\phi +isin\phi$

特别地，

$e^{i\pi }=-1$

这个欧拉公式被认为是数学中最漂亮的公式之一，因为它简单地将四个最重要的数字连接起来。

为什么量子现实用复数表示？

经典物理学宣称了几种叠加原理：波的叠加、力的叠加、概率分布的叠加……但没有一种使用复数。复数在经典物理学中的作用被弱化了。它们对于研究正弦函数特别有用，但并不扮演基本角色。根据经典物理学，描述现实的量始终是实数。

初学者倾向于将量子叠加解释为概率分布。但这是一种死胡同，因为概率分布是用实数定义的。

复数使量子态超越了普通的概率分布。它们对于量子存在方式至关重要。为什么是这样？没有人知道。

标量积和酉算符

对于平面几何，两个向量 $u=(u_{1},u_{2})$ 和 $v=(v_{1},v_{2})$ 的标量积是 $\langle u,v\rangle =u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}$，在更高维空间中推广为 $\langle u,v\rangle =\sum _{i}u_{i}v_{i}$。向量 $v$ 与自身的标量积是其长度的平方 $|v|$：${v_{1}}^{2}+{v_{2}}^{2}=|v|^{2}$。这仅仅是勾股定理。

当向量用复数定义时，它们的标量积定义为

$\langle u|v\rangle =\sum _{i}{u_{i}}^{*}v_{i}$

其中 $z^{*}$ 是 $z$ 的共轭复数。它定义为 $z^{*}=a-ib$，其中 $z=a+ib$。复数平面上的共轭操作是相对于水平轴的反射。

当平面或空间的变换 $T$ 保持标量积时，它会保持长度

$\langle T(u),T(v)\rangle =\langle u,v\rangle$

然后它被称为等距变换。它是旋转、反射或它们的组合。

如果 $T$ 是复向量空间的变换，并且它保持标量积，那么它被称为酉算符。   量子叠加不定义概率分布（它们是实数），而是定义概率幅（它们是复数）。概率是通过对概率幅取平方模来计算的。这些概率被归因于实验的所有可能结果。因此，它们的总和必须等于 1。这就是为什么在计算概率时，量子态总是与长度为 1 的向量相关联。

描述两个连续时刻之间状态变化的演化算符不能改变状态向量的长度，以便它们的成分可以解释为概率幅。酉演化的原理（参见 2.1，第二原理）规定了酉演化算符，从而保证了概率解释的可能性。

酉算符 $U$ 是线性的

$U(\alpha u+\beta v)=\alpha U(u)+\beta U(v)$

这是量子物理学最重要的公式之一（参见 2.3）。

物理学家通常习惯将 $|v\rangle$ 表示为状态向量 $v$。这是狄拉克符号。使用对偶符号 $\langle v|$，它可以非常方便地进行线性代数运算，即使你对线性代数一无所知，也可以正确地计算结果。但有时它也会造成误导。这就是为什么某些物理学家（佩雷斯 1995，温伯格 2012）反对这种符号的原因。本书中始终使用这种符号。

张量积和纠缠

$|a_{i}\rangle$ 是 A 状态空间 $H_{A}$ 的基， $|b_{j}\rangle$ 是 B 状态空间 $H_{B}$ 的基。

一对对向量 $(|a_{i}\rangle ,|b_{j}\rangle )$，记为 $|a_{i}\rangle \otimes |b_{j}\rangle$，可以被看作是一个新的向量空间的向量，记为 $H_{A}\otimes H_{B}$，即 $H_{A}$ 和 $H_{B}$ 的张量积。它可以通过将所有 $|a_{i}\rangle \otimes |b_{j}\rangle$ 作为基态来构建。它不依赖于基 $|a_{i}\rangle$ 和 $|b_{j}\rangle$ 的选择。

如果 $|u\rangle =\sum _{i}u_{i}|a_{i}\rangle$ 以及 $|v\rangle =\sum _{j}v_{j}|b_{j}\rangle$ 是 $H_{A}<Math>and<math>H_{B}$ 中的向量，则它们的张量积定义为

$|u\rangle \otimes |v\rangle =(\sum _{i}u_{i}|a_{i}\rangle )\otimes (\sum _{j}v_{j}|b_{j}\rangle )=\sum _{ij}u_{i}v_{j}(|a_{i}\rangle \otimes |b_{j}\rangle )$

$|u\rangle \otimes |v\rangle$ 是一个可分离的向量。它将单个向量 $|u\rangle$ 分配给 A，并将单个向量 $|v\rangle$ 分配给 B。 $H_{A}\otimes H_{B}$ 中的向量并不总是可分离的，因为通常情况下，两个可分离向量的加和并非一个可分离向量。不可分离态，也被称为纠缠态，在量子物理学中具有根本的重要性（参见第四章）。

量子比特

最简单的量子态空间是量子比特的态空间。它是一个二维空间。如果它的维度为一，量子体就无法演化，就不会有运动，因此也就没有物理学。

所有量子系统的态空间都可以由有限维空间构建，如果我们希望它们是无限维的，则可以取极限，特别是从最简单的量子比特的态空间构建。

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