实分析/弧长

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实分析 弧长

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假设我们在三维空间中有一个参数曲线，$f(t)=(x_{1}(t),x_{2}(t),x_{3}(t))$。当然，要求所有三个函数都是连续的。这实际上定义了一条曲线，因为它是一个连续的实数到三维空间的图像。

现在，我们可以在一个区间上定义这条曲线的弧长。假设区间是[a,b]。现在将[a,b]分成多个分区，$a=a_{0}<a_{1}<a_{2}<a_{3}<...<a_{n}=b$，并将此分区称为P。取距离的总和$|f(a_{n})-f(a_{n-1})|$，得到$\sum _{i=1}^{n}{\sqrt {\sum _{j=1}^{3}(x_{j}(a_{i})-x_{j}(a_{i-1}))^{2}}}$，并将此总和称为L(P)。现在，取长度的supremum，$\sup\{L(P)\in R|P$ 是一个分区$\}$。如果这个数字是有限的，我们称它为 **可求长曲线**。

现在我们建立一个三维空间曲线可求长的充分必要条件（注意：这可以通过类似的论证轻松扩展到n空间）。

定理
三维空间中的一条连续曲线是可求长的当且仅当它所有分量函数都是有界变差函数。
证明

定理
如果三维空间中的一条曲线f(x) 在所有三个分量上都是连续可微的，那么它是可求长的，从f(a) 到f(b) 的长度是$\int _{a}^{b}|f'(x)|dx$。
证明