实分析/有理数

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在我们建立有序域的概念之前，我们需要先了解一些代数的基本概念。

群

群在数学中扮演着重要的角色。它们描述了代数中最基本的结构。群论的研究对象是普通群的性质和结构。在这本书中，我们主要关注你已经熟悉的群，所以这一节只是为了设定一些标准术语。我们首先定义一个二元运算，它通常被认为是乘法或加法，具体取决于上下文。为了避免混淆，在讨论一般群时，我们将此运算表示为*，但在特定情况下，我们通常使用+或·

定义：集合S上的二元运算是从S×S到S的函数

定义：群是一个集合G以及G上的一个二元运算，满足以下公理。

• G在二元运算下封闭。也就是说，对于G中的所有x，y，x*y都在G中。
• 二元运算是结合的。也就是说，对于G中的所有x，y和z，x*(y*z)=(x*y)*z。
• 存在一个单位元，我们用e表示，它满足对于G中的所有x，e*x=x*e=x。
• 对于G中的所有x，都存在一个逆元，我们用x^-1表示，使得x*x^-1=x^-1*x=e。

例子

• 整数$\mathbb {Z}$以及加法二元运算构成一个群。
• 有理数$\mathbb {Q}$以及加法二元运算构成一个群。
• 非零有理数$\mathbb {Q} \setminus \{0\}$以及乘法二元运算构成一个群。
• 集合$\mathbb {Z}$以及乘法二元运算不是一个群。
• 集合$\{-1,1\}$以及乘法二元运算构成一个群。
• 集合$\{e,o\}$以及由$e+e=e$，$e+o=o$，$o+e=o$以及$o+o=e$给出的二元关系构成一个群。如果将$e$作为偶数的简写，将$o$作为奇数的简写，这些就是我们童年时代熟悉的规则，“偶数加偶数还是偶数”等等。

讨论两个群在本质上是否相同通常很有用。可能会发生两个群具有不同的底层集合，并且具有不同的二元运算，但从代数角度来看行为完全相同。当这种情况发生时，这两个群被称为同构。

定义 群(G,*)和(H,⊗)被称为同构，如果存在一个双射函数φ:G→H，满足以下两个性质

• φ(e_G)=e_H，其中e_G是G中的单位元，e_H是H中的单位元；
• φ(x*y)=φ(x)⊗φ(y)，对于G中的所有x和y。

域

整数集$\mathbb {Z}$和加法运算$+\$构成一个群，乘法$\times$则缺少逆元。如果我们允许乘法和加法作用于$\mathbb {Z}$，我们可以定义一个集合，其中除了零之外的每个元素都具有乘法逆元。这就是有理数集。

有理数

下一个标准扩展增加了商或除法的可能性，并为我们提供了有理数（或简称有理数）$\mathbb {Q}$，其中包括$\mathbb {Z} \setminus \{0\}$的乘法逆元，形式为${\frac {1}{z}}$，例如${\frac {1}{2}}$，以及这两个集合的乘积，形式为${\frac {z_{1}}{z_{2}}}$，例如${\frac {64}{7}},{\frac {17}{16\times 10^{5}}}$。有理数允许我们使用任意精度，并且它们足以进行测量。

有理数可以从整数构建，作为整数序对 (a,b) 的等价类，其中 (a,b) 和 (c,d) 在 ad=bc 时等价，使用整数乘法的定义。当然，这些有序对通常写成${\tfrac {a}{b}}$。可以使用整数加法和乘法的定义，将加法定义为 (a,b)+(c,d)=(ad+bc,bd)，将乘法定义为 (ac,bd)。

另请参阅

• 抽象代数
  • 域