实分析/戴德金构造

历史上，戴德金给出了实数的第一个构造。与 Cantor 的构造一样，戴德金的方法从有理数集构造实数。戴德金的构造给出了实数更几何的图像。

构造的思想是，每个实数 $r$ 应该将数轴分成两个子集，小于 $r$ 的数字和大于或等于 $r$ 的数字。这两个集合对于每个实数都是不同的，并且给定这些集合，我们可以确定 $r$ 。事实上，因为每个实数都将数轴分成两部分，所以它也将有理数分成两部分。如果我们知道这两个有理数集，那么我们也可以确定 $r$ 。因此，当寻找定义实数的方法时，我们可以将它们定义为将有理数划分为两个集合的方式的集合。今天，当讨论戴德金分割时，人们通常只跟踪这两个集合中的一个。我们对分割的定义可以非正式地认为是小于 $r$ 的数字。

定义

我们说 $\alpha \subset \mathbb {Q}$ 是一个分割当且仅当以下陈述为真

戴德金分割

x^{2}<2

集合 $\alpha$ 非空。也就是说，存在某个有理数 $p$ 使得 $p\in \alpha$ 。
如果 $p\in \alpha$ 并且 $q$ 是一个有理数，使得 $q<p$ ，那么 $q\in \alpha$ 。因此，对于分割的任何元素，小于它的任何有理数也是分割的元素。
存在一个有理数 $a$ ，使得对于所有 $p\in \alpha$ 都有 $p<a$ 。因此，存在一个有理数大于特定分割中的任何元素。
对于每个 $p\in \alpha$ ，存在一个 $r\in \alpha$ ，使得 $p<r$ 。因此，分割中的每个元素都有另一个比它更大的元素。如果这看起来不可能，想象一个有理数序列，它们逼近我们试图定义的实数。例如，分割 $x^{2}<2$ 包含一系列可数无限多个有理数，例如 1、1.2、1.4、1.41、1.414、1.4142 等，每个有理数都比上一个大，并且更接近于 ${\sqrt {2}}$ 。

构造

我们现在概述如何使 Dedekind 分割集形成一个满足最小上界公理的有序域。

顺序

首先，我们讨论如何比较两个分割的大小。

定义给定两个分割 $\alpha ,\beta$ ，如果它们是有理数的同一个子集，则我们称 $\alpha =\beta$ 。也就是说，如果 $\alpha \subseteq \beta$ 并且 $\beta \subseteq \alpha$ 。

练习证明上面定义的等价关系是等价关系。

定义给定两个分割 $\alpha ,\beta$ ，如果 $\alpha \subset \beta$ ，则我们称 $\alpha <\beta$ 。

练习证明上面的顺序满足顺序公理，并且 $\mathbb {R}$ 是全序的。

我们现在还假设对 $\geq ,<,>$ 的通常定义，我们将其留给读者提供正确的定义。

练习给定两个分割 $\alpha ,\beta$ ，证明如果 $\alpha <\beta$ 那么存在一个有理数 $p\in \beta$ 使得 $p\notin \alpha$ 。

练习（三等分律）证明在该序下，每个分割都恰好满足以下三个不等式中的一个： $\alpha <0,\alpha =0,\alpha >0$ 。

域公理

令 $\alpha ,\beta$ 是两个分割

定义加法为 $\alpha +\beta =\{p+q:p\in \alpha ,q\in \beta \}$ 。

定义否定为 $-\alpha =\{r\in \mathbb {Q} :r<-p{\text{ for some }}p\not \in \alpha \}$

令 0 为由 $\mathbf {0} =\{r:r<0\}$ 定义的分割。

练习对于两个分割 α, β，验证 α+β, −α 和 0 是分割。此外，证明在该加法定义下，分割集合形成一个阿贝尔群。单位元是什么？

定义乘法需要更多注意。我们定义

\alpha \cdot \beta ={\begin{cases}\{p\cdot q\mid p\in \alpha ,p>0,q\in \beta \}&{\text{if }}\alpha \geq \mathbf {0} ,\beta \geq \mathbf {0} ;\\\{p\cdot q\mid p\notin \alpha ,q\in \beta ,q>0\}&{\text{if }}\alpha \geq \mathbf {0} ,\beta <\mathbf {0} ;\\\{p\cdot q\mid p\in \alpha ,q\notin \beta ,q>0\}&{\text{if }}\alpha <\mathbf {0} ,\beta \geq \mathbf {0} ;\\\{r\mid r<p\cdot q,{\text{ with }}p\not \in \alpha ,q\not \in \beta ,{\text{ and }}p<0\}&{\text{if }}\alpha <\mathbf {0} ,\beta <\mathbf {0} .\end{cases}}

我们注意到在乘法定义中，我们需要小心选择具有特定符号的元素。这是通过涉及戴德金分割序的练习来实现的。

我们定义分割 1 为 1={r|r<1}。

对于分割 α ≠ 0，我们定义

\alpha ^{-1}={\begin{cases}\{r\mid r<{\frac {1}{p}},p\not \in \alpha \}&{\text{if }}\alpha >\mathbf {0} ;\\\{r\mid r<{\frac {1}{p}},p\not \in \alpha ,{\text{ and }}p<0\}&{\text{if }}\alpha <\mathbf {0} .\end{cases}}

练习：对于两个分割 α，β，验证 α·β，α^-1（假设 α ≠ 0）和 1 都是分割。证明这些定义使得德德金分割的集合构成一个有序域。

最小上界性质

我们现在将展示德德金分割的集合满足最小上界公理。

设 A 为一个非空的分割集合，并假设存在一个分割 β 使得对于所有的 α，α<β。换句话说，A 是一个非空的分割集合，且有由 β 给出的上界。

现在我们定义一个有理数子集 δ，通过对 A 中所有分割给出的子集进行并集。也就是说 $\delta =\displaystyle \bigcup _{\alpha \in A}\alpha$

现在我们想要证明 δ 是一个分割。假设 p∈δ，则意味着 p∈α₀，其中 α₀ 是 A 中的一个分割。那么，如果 q<p，则 q∈α₀，因此 q∈δ。这证明了第一个性质。此外，存在某个 r∈α₀ 且 r>p，但此时 r∈δ。因此，第三个性质成立。为了看到第二个性质成立，注意到 δ⊆β，因为每个 α⊆β。根据 β 的分割性质，存在一个有理数 b 使得 b>p 对所有 p∈β 成立。因此，b>p 对所有 p∈δ 成立。所以 δ 是一个分割。

现在，根据顺序的定义，δ 是 A 的上界。如果 η 是任何满足 η<δ 的分割，那么存在一个有理数 p∈δ 且 p∉η。但 p∈α₀，其中 α₀ 是 A 中的一个分割。因此，η 不大于 α₀，所以 η 不是 A 的上界。因此，δ 是最小上界。这表明德德金分割的集合满足最小上界公理。

参考文献

W. Rudin， *数学分析原理*， McGraw-Hill 国际