实分析/第一节练习/答案

本维基教科书中的答案遵循这样的教学理念：你应该仍然能够逻辑地拼凑出一个足以回答问题的证明。因此，本页面上没有提供复制粘贴的答案。相反，答案部分只是列出了所有工具，足以充分证明问题。许多答案将提供隐藏的问题，因为你可能不知道某些假设。幸运的是，这些断言中的一些可以在维基教科书中的其他地方找到答案，或者可以独立解决。

请注意，所有解决方案都是建议。可以有多种方法来解决一个问题，而且由于这是一个协作式的维基教科书，你可以随意写下你的答案（只要它遵循指南）。

未排序

问题 4：证明 $0=-0$

1. 零的一个代数性质是 $\forall x\in \mathbb {R} :x-x=0$
2. 我们可以使用任何一个有效的定理
   • 用同一个变量减去方程的两边是有效的。
   • 将两边乘以负一是有效的。
3. 最后，对整个项进行替换是有效的。

代数

1. 以下是答案。
   1. 顺便说一下，这就是为什么你在“乘以-1”时要“不等号翻转”。

      ${\begin{aligned}a&<b\\a-a&<b-a\\0&<b-a\\-b&<b-a-b\\-b&<(b-b)-a\\-b&<0-a\\-b&<-a\\\square \end{aligned}}$

   2. 直觉解决！

      ${\begin{aligned}a&<b\\a+c&<b+c\\a+c&<b+c<b+d\\a+c&<b+d\\\square \end{aligned}}$

   3. 第一部分：让我们通过应用 (II) 从给定的语句中得到一个新的性质

      ${\begin{aligned}c&>d\\-c&<-d\end{aligned}}$

      第二部分：现在让我们来解决它

      ${\begin{aligned}a&<b\\a+(-c)&<b+(-c)\\a-c&<b+(-d)\\a-c&<b-d\\\square \end{aligned}}$

   4. 回答我
   5. 回答我
   6. 回答我
   7. 回答我
   8. 回答我
   9. 回答我
   10. 回答我
   11. 回答我
2. 回答我
3. 以下答案只概述了解决问题的方法
4. 以下答案只概述了解决问题的方法
   1. 最大的障碍是想到证明它的方法，因为幂项的分配还没有建立。但是，有一种方法
   2. 从 $1=1$
   3. 应用逆元的定义，例如：$(a\cdot 1/a)\cdot (b\cdot 1/b)=1$
   4. 重新分配变量，并将变量交换到另一边，直到出现等价性。作为最后的手段，请参考以下用文本格式显示的白色提示：<pre style="text-color: white;">(ab) × 1/a 1/b = 1 → 1/a × 1/b = 1/ab</pre>
   5. 假设问题 4I 已解决，这个问题就相对容易了。
   6. 假设问题 4I 已解决，这个问题就相对容易了。
   7. 回答我

绝对值

1. 以下是答案。
   1. 顺便说一句，在证明中通常不应该使用平方！但是，这里之所以有效，是因为我们处理的是绝对值，在反转平方运算后得到的结果数字。

      ${\begin{aligned}|a+b|&\leq |a|+|b|\\|a+b|^{2}&\leq (|a|+|b|)^{2}\\a^{2}+2ab+b^{2}&\leq |a|^{2}+2|a||b|+|b|^{2}\\a^{2}+2ab+b^{2}&\leq a^{2}+2|ab|+b^{2}\\2ab&\leq 2|ab|\\ab&\leq |ab|\\\square \end{aligned}}$

数论

问题 1：证明关于偶数和奇数的以下性质

1. 这些定义可以代入以下每个问题。
   • 偶数e的定义是$\exists k\in \mathbb {Z} :e=2k$
   • 奇数o的定义是$\exists j\in \mathbb {Z} :o=2j+1$
2. 乘法和加法在整数范围内是封闭的。
3. 分配律扩展到整数，这个公理可能是解决这些问题时用到的最难的定理。
4. 任何必要的因子都可以表示为一个变量来简化解释。

问题 2：证明任何完全平方数的连续数字都不是完全平方数

1. 用数学符号表示，问题要求$\forall x\in \{x^{2}:x\in \mathbb {N} \}:[(x+1)^{2}\neq x^{2}+1]\land [(x-1)^{2}\neq x^{2}-1]$
2. 一些有效的定理是自然数的分配律，以及在等式两边加相同的数。

问题 6：证明任何素数的平方根都是无理数

1. 素数不包括 1，并且应该只包含自身作为因子。
2. 如果 ${\sqrt {p}}$ 是有理数，则 ${\sqrt {p}}=r/s$ 对于一些互质整数 $s$ 和 $r$；$s$ 和 $r$ 处于最低项。
3. 得出矛盾的方法
   • 通过代数运算，可以证明 $s$ 和 $r$ 都可以被质数 $p$ 整除，从而打破了互质的定义。
     1. “任何自然数都有一个质数作为因子”是有效的。
   • 通过代数运算，可以证明质数 $p$ 有两个相同自然数平方作为因子，这打破了质数的定义。
     1. “任何自然数不能表示为其最小公倍数形式的分数，并且其分母不能为 1 之外的任何数”是有效的。