实分析/第 1 节练习

←实数性质

实分析 练习

序列→

这些是维基教科书实数部分的练习题。大多数这些问题都可以被描述为代数问题，尽管这套习题也包括了来自数论的定理和概念。数论不是本维基教科书的主要主题，但有一个附录部分专门用于形式化数论中的几个概念。建议做一些数论标题中的问题，因为它的讨论范围——与自然数及其超集整数和有理数相关的定理——很少被清晰地讨论，通常留给直觉来理解。

未排序

1. 证明 $-1<0\$
2. 证明 $\forall z\in \mathbb {Z} ,\ z^{2}\geq 0$
3. 完成上面给出的简单结果的证明。
4. 证明复数 $\mathbb {C}$ 不能被构成一个有序域。
5. 通过给出$x<1$ 情况的细节来完成平方根定理的证明。
6. 假设A 是一个非空的实数集合，它有上界，并设 s = sup A。证明如果s 不在A 中，那么对于任何 ε > 0，都存在A 中的一个元素a，使得s − ε < a < s。

代数

以下问题旨在将你在初等数学中可能仅仅记忆的代数规则形式化，作为公理成立。然而，即使在实数部分中建立了前几个定律，例如交换律和代数运算（例如，在等号两边移动变量），以下问题应该是一种简单的方法，可以让你习惯于应用定理来证明你的主张——这是数学中一项非常重要的技能。

1. 证明以下关于不等式的定理（假设变量，除非明确限制，可以在其假定的域中取任何值）

1. 如果 0 ≤ x，那么 -x ≤ 0
2. 如果 a < b，那么 -b < -a
3. 给定 x < 0，如果 y < z，那么 xy > xz
4. 如果 a < b 且 c < d，那么 a + c < b + d
5. 如果 a < b 且 c > d，那么 a - c < b - d
6. 如果 0 ≤ a < b 且 0 ≤ c < d，那么 ac < bd

2. 证明以下不等式（假设变量，除非明确限制，可以在其假定的域中取任何值）

1. 如果 1 ≤ x，那么 x ≤ x²
2. 如果 1 ≤ x，那么 1 ≤ x²
3. 如果 0 < x < 1，那么 x² < x
4. 如果 0 ≤ x < y，那么 x² < y²
5. 给定 x, y 使得 0 ≤ x, y，如果 x² < y²，那么 x < y
6. 给定一个奇数 n，如果 x < y，那么 xⁿ < yⁿ
7. 给定一个自然数 n，如果 0 ≤ x < y，那么 xⁿ < yⁿ

3. 证明以下与本章中提供的定律相关的结论性定理

1. 如果存在数字 0，那么 $0=-0$
2. $\forall x,y\in \mathbb {Z} ,\ -(xy)=(-x)y=x(-y)$

4. 证明以下关于有理数的定理

1. 给定 $a\neq 0,b\neq 0$，${\frac {1}{ab}}={\frac {1}{a}}\cdot {\frac {1}{b}}$
2. 给定 $b\neq 0,c\neq 0$，${\frac {a}{b}}={\frac {ac}{bc}}$
3. 给定 $b\neq 0,d\neq 0$，${\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}={\frac {ac}{bd}}$
4. 给定 $b\neq 0,d\neq 0$，${\frac {a}{b}}\div {\frac {c}{d}}={\frac {ad}{bc}}$

方法提示（一般 1）

大多数问题不应该太难；记住你的代数定律！它们仍然是有效的公理，即使在不等式中也是如此。

方法提示（一般 2a）

如果需要协调，这些问题是为了强化你解决不等式问题时可以使用的特殊性质。

方法提示（一般 2b）

作为提示 2a 的延续，此属性类似于你可以在方程中用变量代入的方式。然而，它仍然适用于不等式，只要进行一个更改。

提示（问题 III）

你可以使用问题 II 中证明的 x 的替代定义。另外，请记住你不必一步到位。

评论和进一步阅读

问题 1ii 提供了一种证明当乘以 -1 时不等号“翻转”的原因。

问题 1vii 对于不等式问题非常重要，在不等式问题中，将不等式插入其他不等式之间通常不是有效的操作。它提供了一个在该操作有效的示例。

答案

绝对值

1. 证明以下不等式（假设变量除非受限，可以是任何数字）

1. |a| + |b| ≤ |a + b|

方法提示（一般 1）

记住你的代数定律！它们仍然是有效的公理，即使在不等式中也是如此。

方法提示（一般 2a）

绝对值根据定义是正数。

方法提示（一般 2b）

有一种代数运算可以保证正输出，并且其对输出数字的逆运算最好表示为绝对值（在初等数学中，如果逻辑上可行，则将其分解成不同的情况）。

进一步阅读（1i）

这是对 三角不等式 的证明。请注意，此版本适用于实数轴，但该网页上显示的一般版本是也适用的泛化。

答案

数论

1. 证明关于偶数和奇数的以下性质
   1. 如果将两个偶数相加，则和为偶数。
   2. 如果将两个奇数相加，则和为偶数。
   3. 如果将一个奇数与一个偶数相乘，则积为偶数。
   4. 如果将两个奇数相乘，则积为奇数。
2. 证明对于所有自然数，不存在任何连续的完全平方数也是完全平方数。对于此问题，你不必考虑 0。
3. 证明不存在任何原始毕达哥拉斯三元组 $a,b,c$ 使得 a 和 b 都是偶数或 a 和 b 都是奇数。
4. 给定 $\forall a\in \mathbb {Z} :[\exists b\in \mathbb {N} :\exists r,q\in \mathbb {Z} :a=bq+r]$，证明如果给定条件成立，则余数 r 具有以下性质 $0\leq r<b$。
5. 证明 ${\sqrt {2}}$ 是无理数。
6. 证明任何质数的平方根都是无理数。
7. 给定方程 $x-c=A(x-d)+B(x-e)$，其中 $A,B,c,d,e$ 是常数，证明如果 $x$ 是除了 $d$ 或 $e$ 以外的任何数，那么 $A$ 和 $B$ 都不能定义。

提示 (问题 2 第一部分)

尝试用数学符号写出你要证明的内容，而不是在脑子里完整地解决它。

提示 (问题 2 第二部分)

连续数的定义，用通俗的语言来说，对于自然数来说，就是指使用自然数的总排序属性，下一个紧挨着该数的数。

提示 (问题 6 第一部分)

无理数的定义是什么？不是有理数，这意味着如果我们假设它是理数，那么应该会出现矛盾。

提示 (问题 6 第二部分)

素数是指大于 1 的任何自然数，它只有自身作为素因数，也可以表示为 $p=1*p$，其中 p 是素数。1 用于突出显示素因数 p，但 1 从技术上讲不是素因数。

提示 (问题 7)

尝试定义常数 A 或 B，并注意每个 变量 代表什么。

进一步阅读 (5)

证明 2 的平方根是无理数是一个著名的证明，相对于其他数字来说，它比较容易解决，因为这可以使用一个互质的理数来轻松证明，而这通常是理数的最初假设属性。

桥接问题

以下问题可以使用更高级的工具更容易、更快速地解决。但是，在你的数学工具有限的情况下解决这些问题，可以让你很好地理解数学作为一个整体是如何相互作用的。作为一般规则，这些问题的答案应该更长，并且依赖于更多属性。

1. 给定一个自然数 n，证明 $|x|<x^{n}$