实分析/第二节练习/答案

关于序列

问题 1

严格递增

1. 我们需要确定它是否单调，以及是什么类型（是严格递增、严格递减、非递增、非递减，还是什么？）。根据题目，我们假设严格递增。
2. 首先，我们应该证明基本情况。这意味着证明a₁ < a₂。

   ${\begin{aligned}a_{1}&<a_{2}\\{\frac {1}{2}}&<{\frac {2}{3}}\\3&<4\end{aligned}}$

3. 接下来，我们应该证明这适用于任何数字n

   ${\begin{aligned}a_{n}&<a_{n+1}\\{\frac {n}{n+1}}&<{\frac {n+1}{n+2}}\\n(n+2)&<(n+1)(n+1)\\n^{2}+2n&<n^{2}+2n+1\\0&<1\\\end{aligned}}$

4. 你完成了！一切都检查无误且有效。

一般

对于问题 2，我们看到 supx_n = 1，因为 n/(n+1) 接近 1。