实分析/第 2 节练习

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以下是维基教科书中“序列与级数”部分的习题列表。此处列出的问题也包含与泰勒多项式和泰勒级数相关的题目，因为它们包含序列和级数性质。只有在你对导数有一定的了解时才做这些题目。否则，以下问题应该不会依赖于其部分以外的太多概念。

未分类

对于以下序列列表，直接从收敛定义确定以下序列是否收敛或发散
1. 序列 $\textstyle ({\frac {n-1}{n}})_{n=2}^{\infty }$ ;
2. 序列 $\textstyle ({\frac {{\sqrt {2n-1}}+2}{\sqrt {n+3}}})_{n=1}^{\infty }$ ;
3. 序列 $\textstyle \left({\frac {2n-7}{n^{2}+1}}\right)_{n=1}^{\infty }$ ;
4. 由以下定义的递归序列
  $x_{0}=2$
  
  $x_{n}={\sqrt {x_{n-1}}}$
令
$x_{n}={\begin{cases}{\frac {n-1}{n}}&{\text{if }}n{\text{ is odd;}}\\{\frac {1}{n}}&{\text{if }}n{\text{ is even.}}\end{cases}}$ .
求 lim sup x_n。
对于以下序列，确定对于哪些实数x，给定序列收敛，以及序列收敛到的值
1. $\textstyle ({\frac {x}{n}})_{n=1}^{\infty }$ ;
2. $\textstyle (x^{n})_{n=1}^{\infty }$ ;
3. $\textstyle ({\frac {1}{n^{x}}})$ 对于任意实数x;
给定任何实数c，找到一个收敛于 ${\sqrt {c}}$ 的递归定义序列。
给定一个序列 (x_n) 和一个自然数k，通过y_n = x_n+k 定义一个序列y_n。证明 (x_n) 收敛当且仅当 (y_n) 收敛。进一步证明当它们收敛时，它们收敛到相同的极限。
假设序列 (x_n) 和 (y_n) 收敛到实数a。证明由
$z_{n}={\begin{cases}x_{2n-1}&{\text{if }}n{\text{ is odd;}}\\y_{2n-3}&{\text{if }}n{\text{ is even.}}\end{cases}}$
证明z_n → a。
令 (x_n) 为实数序列，并令 (y_n) 为子序列。假设 (y_n) 收敛，证明 (x_n) 可能不一定收敛。
假设 (x_n) 是一个收敛但不收敛于 0 的序列。进一步假设对于N 中的所有n，x_n ≠ 0。证明存在δ > 0 使得 |x_n| > δ 且 |lim x_n | > δ。
Cesaro 均值收敛：如果平均数序列 y_n = (x₁ + x₂ + … + x_n)/n 收敛到 x，则称序列 (x_n) 按 Cesaro 均值 收敛到 x。假设 (x_n) 收敛到实数 x，证明 (x_n) 按 Cesaro 均值收敛到 x。举一个例子说明发散序列 (x_n) 可能按 Cesaro 均值收敛。
求 (1, 1, -1, 1, 1, -1...) 的 Cesaro 均值序列，并判断其是否收敛。如果收敛，求极限。
考虑由 x₁ = 1 和 x_n = 1 + 1/x_n 递归定义的序列。证明 x_n 收敛，并求其极限。
在我们关于伸缩级数的讨论中，我们证明了伸缩级数收敛到 a₁ − lim a_N+1，并且为了使此成立，不需要 lim a_N+1 = 0。实际上，这是正确的，这不是必要的。另一方面，我们后来证明了对于收敛级数，项的极限必须为 0。两者如何都正确？解释一下为什么，在我们的设置中，我们可以有一个收敛的伸缩级数使得 lim a_N+1 ≠ 0，但对于每个收敛级数，项的极限仍为 0。
假设对于所有自然数 n，c_n ≤ a_n ≤ b_n。证明如果 ∑ c_n 和 ∑ b_n 都收敛，则 ∑ a_n 收敛。