实分析/戴德金构造

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实分析 戴德金构造

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历史上，戴德金给出了实数的第一个构造。与康托尔的构造一样，戴德金的方法从有理数集构造实数。戴德金的构造对实数给出了一个更几何的图像。

构造的思想是，每个实数 $r$ 应该将数轴分成两个子集，小于 $r$ 的数和大于或等于 $r$ 的数。这两个集合对于每个实数都是不同的，并且给定这些集合，我们可以确定 $r$ 。事实上，因为每个实数都将数轴分成两部分，它也将有理数分成两部分。如果我们知道这两组有理数，那么我们也可以确定 $r$ 。因此，当寻找定义实数的方法时，我们可以将它们定义为将有理数分成两个集合的方法的集合。今天在讨论戴德金分割时，通常只跟踪这两个集合中的一个。我们对分割的定义可以非正式地理解为小于 $r$ 的数。

定义

我们说 $\alpha \subset \mathbb {Q}$ 是一个分割 当且仅当以下陈述为真

戴德金分割 $x^{2}<2$

1. 集合 $\alpha$ 不是空的。也就是说，存在某个有理数 $p$ 使得 $p\in \alpha$ 。
2. 如果 $p\in \alpha$ 且 $q$ 是一个有理数，使得 $q<p$ ，那么 $q\in \alpha$ 。所以对于分割的任何元素，小于它的每个有理数也是分割的元素。
3. 存在一个有理数 $a$ 使得 $p<a$ 对于所有 $p\in \alpha$ 。因此，存在一个有理数，它大于某个特定的分割中的任何元素。
4. 对于每个 $p\in \alpha$ ，存在一个 $r\in \alpha$ 使得 $p<r$ 。因此，分割中的每个元素都存在另一个比它更大的元素。如果这似乎不可能，想象一系列近似于我们试图定义的实数的有理数。例如，分割 $x^{2}<2$ 包含一系列可数无限个有理数，如 1、1.2、1.4、1.41、1.414、1.4142 等，它们中的每一个都比上一个大，并且更接近 ${\sqrt {2}}$ 。

构造

我们现在概述如何使 Dedekind 割集形成满足最小上界公理的有序域。

顺序

首先，我们讨论如何比较两个分割的大小。

定义 给定两个分割 $\alpha ,\beta$ ，我们说 $\alpha =\beta$ 如果它们是有理数的相同子集。也就是说，如果 $\alpha \subseteq \beta$ 并且 $\beta \subseteq \alpha$ 。

练习 证明上面定义的等价关系是等价关系。

定义 给定两个分割 $\alpha ,\beta$ ，我们说 $\alpha <\beta$ 如果 $\alpha \subset \beta$ 。

练习 证明上面的顺序满足顺序公理，并且 $\mathbb {R}$ 是全序的。

我们现在也假设对 $\geq ,<,>$ 的通常定义，我们把这些定义留给读者自行补充。

练习 给定两个切口 $\alpha ,\beta$ ，证明如果 $\alpha <\beta$ ，那么存在一个有理数 $p\in \beta$ 使得 $p\notin \alpha$ 。

练习 （三等分律）证明，在这种顺序下，每个切口恰好满足以下三个不等式中的一个： $\alpha <0,\alpha =0,\alpha >0$ 。

域公理

设 $\alpha ,\beta$ 是两个切口

定义加法为 $\alpha +\beta =\{p+q:p\in \alpha ,q\in \beta \}$ 。

定义否定为 $-\alpha =\{r\in \mathbb {Q} :r<-p{\text{ for some }}p\not \in \alpha \}$

令 0 为由 $\mathbf {0} =\{r:r<0\}$ 定义的切口。

练习 对于两个切口 α，β 验证 α+β，−α 和 0 都是切口。此外，证明切口集合在这种加法定义下形成一个阿贝尔群。单位元是什么？

定义乘法需要更多小心。我们定义

$\alpha \cdot \beta ={\begin{cases}\{p\cdot q\mid p\in \alpha ,p>0,q\in \beta \}&{\text{if }}\alpha \geq \mathbf {0} ,\beta \geq \mathbf {0} ;\\\{p\cdot q\mid p\notin \alpha ,q\in \beta ,q>0\}&{\text{if }}\alpha \geq \mathbf {0} ,\beta <\mathbf {0} ;\\\{p\cdot q\mid p\in \alpha ,q\notin \beta ,q>0\}&{\text{if }}\alpha <\mathbf {0} ,\beta \geq \mathbf {0} ;\\\{r\mid r<p\cdot q,{\text{ with }}p\not \in \alpha ,q\not \in \beta ,{\text{ and }}p<0\}&{\text{if }}\alpha <\mathbf {0} ,\beta <\mathbf {0} .\end{cases}}$

我们注意到，在乘法定义中，我们需要小心地选择具有特定符号的元素。这是通过涉及 Dedekind 切口的顺序的练习来实现的。

我们定义切口 1 为 1={r|r<1}。

对于一个非零分割 α ≠ 0，我们定义

$\alpha ^{-1}={\begin{cases}\{r\mid r<{\frac {1}{p}},p\not \in \alpha \}&{\text{if }}\alpha >\mathbf {0} ;\\\{r\mid r<{\frac {1}{p}},p\not \in \alpha ,{\text{ and }}p<0\}&{\text{if }}\alpha <\mathbf {0} .\end{cases}}$

练习 对于两个分割 α，β，验证 α·β，α^-1（假设 α ≠ 0）和 1 都是分割。证明在这些定义下，德德金分割的集合构成一个有序域。

最小上界性质

我们现在将证明德德金分割的集合满足最小上界公理。

设 *A* 是一个非空的分割集合，假设存在一个分割 β，使得对所有 α，α < β。换句话说，*A* 是一个非空的分割集合，并具有由 β 给出的上界。

现在，我们通过对 *A* 中所有分割给出的子集取并集，来定义有理数的一个子集 δ。即 $\delta =\displaystyle \bigcup _{\alpha \in A}\alpha$

现在，我们想证明 δ 是一个分割。假设 *p*∈δ，则意味着 *p*∈α₀，对于 *A* 中的某个 α₀。那么，如果 *q* < *p*，则 *q*∈α₀，因此 *q*∈δ。这说明了第一个性质。此外，存在某个 *r*∈α₀，使得 *r* > *p*，但此时 *r*∈δ。因此，第三个性质成立。为了证明第二个性质成立，注意到 δ⊆β，因为每个 α⊆β。根据 β 的分割性质，存在有理数 *b*，使得 *b* > *p*，对于所有 *p*∈β。因此，*b* > *p*，对于所有 *p*∈δ。因此，δ 是一个分割。

现在，根据定义，δ 是 *A* 的上界。如果 η 是任何满足 η < δ 的分割，则存在有理数 *p*∈δ 且 *p*∉η。但 *p*∈α₀，对于 *A* 中的某个 α₀。因此，η 不大于 α₀，因此 η 不是 *A* 的上界。因此，δ 是最小上界。这说明了德德金分割的集合满足最小上界公理。

参考文献

• W. Rudin, *数学分析原理*，McGraw-Hill International