实分析/Landau 符号

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实分析 Landau 符号

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Landau 符号是一个奇妙的工具，可应用于所有实分析。它之所以如此方便和广泛使用，是因为它强调了实分析的一个关键原则，即估计。简单来说，Landau 符号引入了两个运算符，可以称为“数量级”运算符，它们本质上比较了两个给定函数的大小。

小o

小o 提供一个比给定函数低数量级的函数，即函数 $o(g(x))$ 的数量级低于函数 $g(x)$。形式上，

定义

令 $A\subseteq \mathbb {R}$ 且令 $c\in \mathbb {R}$

令 $f,g:A\to \mathbb {R}$

如果 $\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=0$，那么我们说

"当 $x\to c$ 时，$f(x)=o(g(x))$"

例子

• 当 $x\to \infty$ 时，（且 $m<n$） $x^{m}=o(x^{n})$
• 当 $x\to \infty$ 时，（且 $n\in \mathbb {N}$） $\ln x=o(x^{n})$
• 当 $x\to 0$ 时，$\sin x=o(1)$

大 O 符号

大 O 符号 提供一个函数，其阶数至多与给定函数相同，也就是说函数 $O(g(x))$ 的阶数至多与函数 $g(x)$ 相同。形式上，

定义

令 $A\subseteq \mathbb {R}$ 且令 $c\in \mathbb {R}$

令 $f,g:A\to \mathbb {R}$

如果存在 $M>0$ 使得 $\lim _{x\to c}\left|{\frac {f(x)}{g(x)}}\right|<M$，那么我们说

"当 $x\to c$ 时，$f(x)=O(g(x))$"

例子

• 当 $x\to 0$ 时，$\sin x=O(x)$
• 当 $x\to {\tfrac {\pi }{2}}$ 时，$\sin x=O(1)$

应用

我们现在将考虑几个例子，这些例子展示了这种符号的强大之处。

可微性

设 $f:{\mathcal {U}}\subseteq \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ 且 $x_{0}\in {\mathcal {U}}$。

那么 $f$ 在 $x_{0}$ 处可微当且仅当

存在一个$\lambda \in \mathbb {R}$，使得当$x\to x_{0}$时，$f(x)=f(x_{0})+\lambda (x-x_{0})+o\left(|x-x_{0}|\right)$。

中值定理

设$f:[a,x]\to \mathbb {R}$在$[a,b]$上可微。则，

当$x\to a$时，$f(x)=f(a)+O(x-a)$

泰勒定理

设$f:[a,x]\to \mathbb {R}$在$[a,b]$上n阶可微。则，

当$x\to a$时，$f(x)=f(a)+{\tfrac {(x-a)f'(a)}{1!}}+{\tfrac {(x-a)^{2}f''(a)}{2!}}+\ldots +{\tfrac {(x-a)^{n-1}f^{(n-1)}(a)}{(n-1)!}}+O\left((x-a)^{n}\right)$