集合论/基数

无限集和基数

有限集的大小

在确定有限集的大小的时候，我们通常计算集合中元素的个数，并认为两个集合的大小相同，如果它们具有相同的元素个数。然而，这种方法不适用于无限集，因为我们无法计算无限集中的元素个数。

然而，有一种方法可以定义两个集合大小相同时，该方法适用于有限集和无限集。我们说两个集合 $A$ 和 $B$ 大小相同，如果我们能定义一个函数 $f:A\to B$，它满足以下性质

• $f(a)$ 对每个 $a\in A$ 都有定义。
• $\forall b\in B$，$\exists a\in A$，使得 $f(a)=b$。我们说 f 是 *满射* 或 *满射*。
• $\forall a_{1},a_{2}\in A$，$f(a_{1})=f(a_{2})\implies a_{1}=a_{2}$。我们说 f 是 *单射* 或 *单射*。

满足这些性质的函数称为 *双射*。

示例

集合 $\{1,2,3\}$ 和 $\{4,5,6\}$ 都有三个元素。我们可以像这样定义它们之间的双射：$f(1)=6,f(2)=4,f(3)=5$。

所有正整数的集合，$\{1,2,3,...\}$，与所有非负整数的集合大小相同，$\{0,1,2,...\}$。设 $f(1)=0,f(2)=1$，更一般地，$f(n)=n-1$。

练习

证明以上函数是双射。

通常，在两个基数相同的集合之间构建显式双射是困难的，因此以下定理可以派上用场。

康托尔-施罗德-贝尔施泰因定理

参见证明：康托尔-施罗德-贝尔施泰因定理

如果 $A$ 和 $B$ 是两个集合，并且存在单射函数 $f:A\to B$ 和 $g:B\to A$，那么 $A$ 和 $B$ 之间存在双射。

定义

有许多方法可以定义基数，其中一种方法是使用序数作为参考。一个集合的基数可以定义为与该集合一一对应的最小序数。但是，在谈论基数时，通常将它与实数集等进行比较，当谈论大于可数基数的基数时，因此在实践中，基数被认为是两个集合之间简单比较的结果。这样做的一个原因是，序数的可能大小通常取决于所使用的公理。